第二章群、环、域

在接下来的4章中,会复习一下基本代数结构(群，环，域，向量空间)，并且会着重强调向量空间。

会介绍一些线性代数的基本观念，例如：向量空间、子空间、线性组合、线性无关、基(bases)、商空间、线性映射(linear maps)、矩阵、基的变换、直和、线性形式(linear forms 不知道是什么)、对偶空间、超平面、线性映射的转置。

2.1 群、子群、陪集

实数集R包含两个操作 +:R×R→R+:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}+:R×R→R 和 ∗:R×R→R(乘法)*:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}(乘法)∗:R×R→R(乘法)并且满足：1. R\mathbb{R}R是 + 下的阿贝尔群，2. R−{0}=R∗\mathbb{R} - \{0\} = \mathbb{R}^*R−{0}=R∗是* 下的阿贝尔群。现在复习群的定义。

定义2.1 群是一个集合G。其中G包含二元操作 ⋅:G×G→G\cdot:G\times G \to G⋅:G×G→G 将G中的每一对元素a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G都与一个元素a⋅b∈Ga \cdot b \in Ga⋅b∈G关联起来。⋅\cdot⋅满足结合律(associative)，有一个恒等元 e∈Ge \in Ge∈G,并且(对于⋅\cdot⋅)G中的每个元素都可逆。即：

(G1)a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c(结合律);(G2)a⋅e=e⋅a=a.(有恒等元)(G3)对任意a∈G,都存在某个a−1∈G使得a⋅a−1=a−1⋅a=e.(有逆元)(G1) a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c (结合律);\\ (G2) a \cdot e = e \cdot a = a . (有恒等元) \\ (G3) 对任意 a \in G,都存在某个 a^{-1} \in G 使得 a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e .(有逆元) (G1)a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c(结合律);(G2)a⋅e=e⋅a=a.(有恒等元)(G3)对任意a∈G,都存在某个a−1∈G使得a⋅a−1=a−1⋅a=e.(有逆元)

一个群 G 是阿贝尔群(或交换群) 如果：
a⋅b=b⋅a对所有a,b∈G成立.a \cdot b = b \cdot a 对所有 a,b \in G 成立. a⋅b=b⋅a对所有a,b∈G成立.

如果群M 存在操作⋅:M×M→M\cdot:M \times M \to M⋅:M×M→M与一个元素 e ，并且仅满足 (G1)和(G2)两个条件，那么M就叫做幺半群(monid)。
例如：自然数集合 N={0,1,…,n,…}\mathbb{N}=\{0,1, \ldots,n,\ldots\}N={0,1,…,n,…}是一个加法下的(交换)幺半群。当然，它并不是一个群(因为没有包含负数，不满足(G3))。

下面给出几个群的例子：

例 2.1

汗没想到写的这么费劲，有时间再补充吧。
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