第一章

群、环、域

在接下来的四章中，我们将介绍最基本的四种代数结构（群、环、域以及向量空间），其中着重介绍的是向量空间。同时呢，也会对线性代数的基本概念进行介绍，其中包括向量空间、子空间、线性组合、线性无关、基、商空间、线性映射、矩阵、基变换、直和、线性形式、对偶空间、超平面、线性变换等。

我们首先引入笛卡尔积的概念：假设我们有集合 A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3}A=\{a_1,a_2,a_3\},B=\{b_1,b_2,b_3\}A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3}，那么 AAA 与 BBB 的笛卡尔积记作 A∘BA \circ BA∘B，计算结果为有序数对，即 A∘B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A \circ B=\{(a,b)|a \in A,b \in B\}A∘B={(a,b)∣a∈A,b∈B} 。不难发现当 A,BA,BA,B 的元素均为实数时，笛卡尔积表示平面直角坐标系。当然我们也可以定义某一种具体的运算方式，例如 A+BA+BA+B （除此之外，我们还可以定义 “−-−” 以及 “×\times×” 运算），此时 A+B={a+b∣a∈A,b∈B}A+B=\{a+b|a \in A,b \in B\}A+B={a+b∣a∈A,b∈B}。当然，集合的元素不仅仅局限在实数范围内，更一般的，我们可以用字符串作为其元素，例如：A={东，西}，B={南，北}A=\{东，西\}，B=\{南，北\}A={东，西}，B={南，北} 那么 A∘B={(东，南)，(东，北)，(西，南)，(西，北)}A \circ B = \{(东，南)，(东，北)，(西，南)，(西，北)\}A∘B={(东，南)，(东，北)，(西，南)，(西，北)}。那么经过笛卡尔积的运结果包含多少个元素呢？不难发现，当被作用的集合均为有限集时，最终计算结果的元素个数就是各个集合元素个数的乘积。

1.1 群、子群、陪集

实数组成的集合RRR有两种运算操作：加法+：R+R→RR + R \rightarrow RR+R→R ，以及乘法 ×\times×：R×R→RR \times R \rightarrow RR×R→R，实数集之间的加法和乘法运算本质上是一个阿贝尔群。接下来我们回忆一下群的定义。
定义1.1： 两个集合GGG通过二元运算符操作 ⋅\cdot⋅ 便可得到一个群（注：这里的 ⋅\cdot⋅ 可取 ×\times× 或 +，下同），例如：G×G→GG \times G \rightarrow GG×G→G （当且仅当三个 GGG 都相同的情况下才叫二元运算，且本章仅对二元运算进行讨论），该运算操作可以将集合中的每一组元素a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G进行有效的结合，从而得到a⋅b∈Ga\cdot b\in Ga⋅b∈G。我们先对一些计算的结果是否为二元运算进行讨论：

1、我们有 Z⋅Z→ZZ \cdot Z \rightarrow ZZ⋅Z→Z，其中 ZZZ 表示整数集

(1)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 + 时，是二元运算；

(2)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 - 时，是二元运算；

(3)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ×\times× 时，是二元运算；

(4)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ÷\div÷ 时，不是二元运算，因为分母不能为0。

2、我们有 Z⋅Z→ZZ \cdot Z \rightarrow ZZ⋅Z→Z，其中 Z=Z−{0}Z=Z-\{0\}Z=Z−{0} 表示非零整数集

(1)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 + 时，不是二元运算，因为相反数的和为0；

(2)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 - 时，不是二元运算，因为相同数的差为0；

(3)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ×\times× 时，是二元运算；

(4)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ÷\div÷ 时，不是二元运算，因为除法计算结果不一定为整数。

3、我们有 R+⋅R+→R+R^+ \cdot R^+ \rightarrow R^+R+⋅R+→R+，其中 R+R^+R+ 表示正实数集

(1)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 + 时，是二元运算；

(2)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 - 时，不是二元运算，因为计算结果可能为0或者负数；

(3)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ×\times× 时，是二元运算；

(4)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ÷\div÷ 时，是二元运算。

4、我们有 Q⋅Q→QQ \cdot Q \rightarrow QQ⋅Q→Q，其中 Q=Q−{0}Q=Q-\{0\}Q=Q−{0} 表示非零有理数集

(1)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 + 时，不是二元运算，因为相反数的和为0；

(2)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 - 时，不是二元运算，因为相同数的差为0；

(3)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ×\times× 时，是二元运算；

(4)、当 ⋅\cdot⋅ 表示 ÷\div÷ 时，是二元运算。

5、我们有 V⋅V→VV \cdot V \rightarrow VV⋅V→V，其中 VVV 表示元素为实数的向量，即 V={ai∣ai∈R}V=\{a_i|a_i \in R\}V={ai∣ai∈R}，由于向量加法的运算方式为：{a1,a2,a3}+{b1,b2,b3}={a1+b1,a2+b2,a3+b3}\{a_1,a_2,a_3\}+\{b_1,b_2,b_3\}=\{a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\}{a1,a2,a3}+{b1,b2,b3}={a1+b1,a2+b2,a3+b3}，即对应位置相加，不难发现其计算结果的元素仍然为实数，所以该运算过程为二元运算。

6、我们有 Mn⋅Mn→MnM_n \cdot M_n \rightarrow M_nMn⋅Mn→Mn，其中 MnM_nMn 表示实数组成的 nnn 阶方阵，不难发现 nnn 阶实数方阵相加的结果仍为 nnn 阶实数方阵， nnn 阶实数方阵相减的结果仍为 nnn 阶实数方阵， nnn 阶实数方阵相乘的结果仍为 nnn 阶实数方阵，所以上述运算均为二元运算。

我们通常将二元运算称为 ⋅\cdot⋅ 运算在 AAA 上封闭。那么如果 AAA 是有限集如何判断封闭性呢？其实只需要判断是否满足下图即可：

图1.1 判断有限集是否封闭

第一行表示集合 AAA，第一列也表示集合 AAA，剩余部分表示二元运算结果，可见运算结果和集合包含的元素是一致的。所以，判断是否封闭，我们只需要判断每一部分元素是否均相同即可。

群具有四个性质：封闭性、结合律、单位元素、逆元素。我们定义a,b,ca,b,ca,b,c为数组GGG中的元素，即a,b,c∈Ga,b,c\in Ga,b,c∈G，eee为数组的GGG的单位元素，即e∈Ge\in Ge∈G，数组GGG中的每一个元素均可逆，那么有下述等式恒成立：

（等式1：结合律）a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot ca⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
（等式2：单位元）a⋅e=e⋅a=aa \cdot e=e \cdot a=aa⋅e=e⋅a=a
（等式3：逆元素）对于集合GGG中的每一个元素aaa，a∈Ga \in Ga∈G，都有a−1∈Ga^{-1} \in Ga−1∈G，满足a⋅a−1=a−1⋅a=ea \cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot a=ea⋅a−1=a−1⋅a=e
对于群GGG中任意的两个元素a,ba,ba,b，即a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G，若a⋅b=b⋅aa \cdot b=b \cdot aa⋅b=b⋅a，那么我们称群GGG是可交换的。
两个实数集MMM使用二元运算符 ⋅\cdot⋅ 进行运算：M×M→MM \times M \rightarrow MM×M→M，若元素eee仅仅满足结合律和单位元，那么我们将其称作独异点。例如，两个由自然数组成的集合 N={0,1,⋯,n,⋯}N=\{0,1,\cdots,n,\cdots \}N={0,1,⋯,n,⋯} 进行加法运算，构成可交换独异点，但由于其不满足等式3，所以不能被称为群。我们接下来给出几个群的例子供大家学习。

示例1.1：
1. 将两个数组 Z={⋯,−n,⋯,−1,0,1,⋯,n,⋯}Z=\{\cdots,-n,\cdots,-1,0,1,\cdots,n,\cdots\}Z={⋯,−n,⋯,−1,0,1,⋯,n,⋯} 进行相加便构成一个单位元为0的阿贝尔群。但是两个 Z∗Z^*Z∗ 进行相乘并不能得到群，其中 Z∗=Z−{0}Z^*=Z-\{0\}Z∗=Z−{0} 。分析过程如下：
（1）相加
a、封闭性：∀a,b∈Z\forall a,b \in Z∀a,b∈Z，我们都有 a+b∈Za+b \in Za+b∈Z，所以满足封闭性。
b、结合律：∀a,b,c∈Z\forall a,b,c \in Z∀a,b,c∈Z，我们都有 (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，所以满足结合律。
c、单位元：∀a∈Z\forall a \in Z∀a∈Z，我们都有 a+0=0+a=aa+0=0+a=aa+0=0+a=a，所以满足单位元。
d、逆元素：∀a∈Z\forall a \in Z∀a∈Z，我们都有 a+b=0a+b=0a+b=0，且 b∈Zb \in Zb∈Z，所以满足逆元素。
e、交换律：∀a,b∈Z\forall a,b \in Z∀a,b∈Z，我们都有 a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a，所以满足交换律。
综上，ZZZ 是单位元为0的阿贝尔群。
（2）相乘
a、封闭性：∀a,b∈Z∗\forall a,b \in Z^*∀a,b∈Z∗，我们都有 a×b∈Z∗a \times b \in Z^*a×b∈Z∗，所以满足封闭性。
b、结合律：∀a,b,c∈Z∗\forall a,b,c \in Z^*∀a,b,c∈Z∗，我们都有 (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c=a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c)，所以满足结合律。
c、单位元：∀a∈Z∗\forall a \in Z^*∀a∈Z∗，我们都有 a×1=1×a=aa \times 1=1 \times a=aa×1=1×a=a，所以满足单位元。
d、逆元素：∀a∈Z∗\forall a \in Z^*∀a∈Z∗，我们不一定有 b×a=1,b∈Zb \times a=1,b \in Zb×a=1,b∈Z，所以不满足逆元素。
综上，ZZZ 不是群，仅为独异点。需要注意的是 Z,Z∗Z,Z^*Z,Z∗ 的元素均为无限的。

2. 通过将两个有理数组成的集合 QQQ（集合中的元素均可写为 p/qp/qp/q 的形式，其中 p,q∈Zp,q\in Zp,q∈Z 且 q≠0q\neq0q=0）进行相加，可以得到一个单位元为0的阿贝尔群。将两个集合 Q∗Q^*Q∗ 进行相乘也可得到一个单位元为1的阿贝尔群，其中 Q∗=Q−{0}Q^*=Q-\{0\}Q∗=Q−{0}。分析过程如下：
（1）相加
a、封闭性：∀a,b∈Q\forall a,b \in Q∀a,b∈Q，我们都有 a+b∈Qa+b \in Qa+b∈Q，所以满足封闭性。
b、结合律：∀a,b,c∈Q\forall a,b,c \in Q∀a,b,c∈Q，我们都有 (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，所以满足结合律。
c、单位元：∀a∈Q\forall a \in Q∀a∈Q，我们都有 a+0=0+a=aa+0=0+a=aa+0=0+a=a，所以满足单位元。
d、逆元素：∀a∈Q\forall a \in Q∀a∈Q，我们都有 a+b=0,b∈Qa+b=0,b \in Qa+b=0,b∈Q，所以满足逆元素。
e、交换律：a,b∈Qa,b \in Qa,b∈Q，我们都有 a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a，所以满足交换律。
综上，QQQ 是单位元为0的阿贝尔群。
（2）相乘
a、封闭性：∀a,b∈Q∗\forall a,b \in Q^*∀a,b∈Q∗，我们都有 a×b∈Q∗a \times b \in Q^*a×b∈Q∗，所以满足封闭性。
b、结合律：∀a,b,c∈Q∗\forall a,b,c \in Q^*∀a,b,c∈Q∗，我们都有 (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c=a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c)，所以满足结合律。
c、单位元：∀a∈Q∗\forall a \in Q^*∀a∈Q∗，我们都有 a×1=1×a=aa \times 1=1 \times a=aa×1=1×a=a，所以满足单位元。
d、逆元素：∀a∈Q∗\forall a \in Q^*∀a∈Q∗，我们都有 a×b=1,b∈Q∗a \times b=1,b \in Q^*a×b=1,b∈Q∗，所以满足逆元素。
e、交换律：a,b∈Q∗a,b \in Q^*a,b∈Q∗，我们都有 a×b=b×aa \times b=b \times aa×b=b×a，所以满足交换律。
综上，Q∗Q^*Q∗ 是单位元为1的阿贝尔群。需要注意的是 Q,Q∗Q,Q^*Q,Q∗ 的元素均为无限的。
我们发现上述的群都满足交换律，那么有没有不满足交换律的群呢？我们在这里给出一个例子加以说明。 M+M^+M+ 为 n×nn \times nn×n 的可逆方阵（行列式不为0，且元素均为实数），那么 M+×M+M^+ \times M^+M+×M+ 是不是群呢?分析过程如下：
a、封闭性：我们取 ∀A,B∈M+\forall A,B \in M^+∀A,B∈M+，都有 A×B∈M+A \times B \in M^+A×B∈M+，所以满足封闭性。
b、结合律：∀A,B,C∈M+\forall A,B,C \in M^+∀A,B,C∈M+，都有 (A×B)×C=A×(B×C)(A \times B) \times C=A \times (B \times C)(A×B)×C=A×(B×C)，所以满足结合律（矩阵乘法满足结合律）。
c、单位元：∀A∈M+\forall A \in M^+∀A∈M+，都有 A×In=In×A=AA \times I_n = I_n \times A=AA×In=In×A=A，所以满足单位元，其中 InI_nIn 为 nnn 阶单位阵。
d、逆元素：∀A∈M+\forall A \in M^+∀A∈M+，都有 A×B=InA \times B=I_nA×B=In，其中 B=A−1B=A^{-1}B=A−1，所以满足逆元素。
e、交换律：∀A,B∈M+\forall A,B \in M^+∀A,B∈M+，一般而言 A×B≠B×AA \times B \neq B \times AA×B=B×A，所以不满足交换律。
综上，M+M^+M+ 是一个单位元为 InI_nIn 的群。

3. 给定一个非空集合 SSS，若有作用方式 fff 可以使两个相同集合 SSS 之间满足双射关系（也可称为 SSS 的排列），即 f:S→Sf:S\rightarrow Sf:S→S，此时，通过函数与函数之间的运算便可构成一个群（例如，将函数 fff 和函数 ggg 通过复合运算得到计算结果 f∘gf \circ gf∘g，其中 fff 和 ggg 均可使集合 SSS 到其自身之间满足一一映射），当集合 SSS 中的元素个数超过两个时，所构成的群并不是一个阿贝尔群。集合 S={1,⋯,n}S=\{1,\cdots,n\}S={1,⋯,n} 所构成的置换群通常被记作 SnS_nSn，也被称为 nnn 个元素构成的对称群。举例如下：
设 S={1,2,3}S=\{1, 2, 3\}S={1,2,3}，我们定义 fff 的映射关系为：
f:S→S,f={(1,2),(2,3),(3,1)}f−1:S→S,f−1={(1,3),(2,1),(3,2)}f:S\rightarrow S,f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\} \\ f^{-1}:S\rightarrow S,f^{-1}=\{(1,3),(2,1),(3,2)\} f:S→S,f={(1,2),(2,3),(3,1)}f−1:S→S,f−1={(1,3),(2,1),(3,2)}
同时定义 ggg 的映射关系为：
g:S→S,g={(1,3),(2,1),(3,2)}g−1:S→S,g−1={(1,2),(2,3),(3,1)}g:S\rightarrow S,g=\{(1,3),(2,1),(3,2)\} \\ g^{-1}:S\rightarrow S,g^{-1}=\{(1,2),(2,3),(3,1)\} g:S→S,g={(1,3),(2,1),(3,2)}g−1:S→S,g−1={(1,2),(2,3),(3,1)}
则，我们有 f∘gf \circ gf∘g 的计算结果：
f∘g:S→S,f∘g={(1,1),(2,2),(3,3)}f \circ g:S\rightarrow S,f \circ g=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} f∘g:S→S,f∘g={(1,1),(2,2),(3,3)}
可知，f∘gf \circ gf∘g 的复合结果依然为满射，且其逆过程为：
(f∘g)−1:S→S,(f∘g)−1={(1,1),(2,2),(3,3)}(f \circ g)^{-1}:S\rightarrow S,(f \circ g)^{-1}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} (f∘g)−1:S→S,(f∘g)−1={(1,1),(2,2),(3,3)}
接下来我们利用群的相关定义进行验证：
结合律：1×(2×3)=(1×2)×3单位元：2×1=1×2=2逆映射：对于每一个a∈S，均有f∘g以及(f∘g)−1的对应法则，使得对应元素b满足b∈S故而f∘g的复合结果为群，且为对称群结合律：1 \times (2 \times 3) = (1 \times 2) \times 3\\ 单位元：2 \times 1 = 1 \times 2 = 2\\ 逆映射：对于每一个a \in S，均有 f \circ g 以及 (f \circ g)^{-1}的对应法则，使得对应元素b满足 b \in S\\ 故而 f \circ g 的复合结果为群，且为对称群结合律：1×(2×3)=(1×2)×3单位元：2×1=1×2=2逆映射：对于每一个a∈S，均有f∘g以及(f∘g)−1的对应法则，使得对应元素b满足b∈S故而f∘g的复合结果为群，且为对称群
4. 对于任意的正整数 p∈Np \in Np∈N，定义在 ZZZ 上的同余关系记作 m≡n(modp)m \equiv n \ (mod\ p)m≡n (mod p)，具体定义如下：
m≡n(modp)⇔m−n=kp,存在k∈Zm \equiv n \ (mod\ p) \ \Leftrightarrow \ m-n=kp \ ,存在k \in Z m≡n (mod p) ⇔ m−n=kp ,存在k∈Z
其中，≡\equiv≡ 表示同余符号，即 mmodp≡nmodpm \ mod \ p \equiv n \ mod \ pm mod p≡n mod p ，读者很容易证明这是一个恒等关系，此外，将同余号两边同时进行相加或相乘，相等关系不变，即若 m1≡n1(modp)m_1 \equiv n_1 \ (mod\ p)m1≡n1 (mod p) 且 m2≡n2(modp)m_2 \equiv n_2 \ (mod\ p)m2≡n2 (mod p) ，则 m1+m2≡n1+n2(modp)m_1+m_2 \equiv n_1+n_2 \ (mod\ p)m1+m2≡n1+n2 (mod p) ， m1m2≡n1n2(modp)m_1m_2 \equiv n_1n_2 \ (mod\ p)m1m2≡n1n2 (mod p) 。我们在这里给出一个算例：
5≡3(mod2)11≡7(mod2)⇒加运算：16≡10(mod2)⇒乘运算：55≡21(mod2)5 \equiv 3 \ (mod \ 2)\\ 11 \equiv 7 \ (mod \ 2)\\ \Rightarrow 加运算：16 \equiv 10 \ (mod \ 2)\\\Rightarrow 乘运算：55 \equiv 21 \ (mod \ 2) 5≡3 (mod 2)11≡7 (mod 2)⇒加运算：16≡10 (mod 2)⇒乘运算：55≡21 (mod 2)
我们将一组等价类对 ppp 取余的相加和相乘操作用如下记号进行表示：
[m]+[n]=[m+n][m]⋅[n]=[mn][m]+[n]=[m+n]\\ [m] \cdot [n]=[mn] [m]+[n]=[m+n][m]⋅[n]=[mn]
读者很容易证明将一组对 ppp 取余的同余类进行相加可以得到单位元为0的阿贝尔群，我们将这个群记作 Z/pZZ/pZZ/pZ 。我们继续利用上例进行分析：
加运算得到的结果为：{0,0}\{0,0\}{0,0}，该集合同时满足结合律、单位元为0、逆元素
乘运算得到的结果为：{1,1}\{1,1\}{1,1}，该集合同时满足结合律、单位元为1、逆元素
5. 将一组系数为实数或复数的 n×nn \times nn×n 的可逆矩阵进行相乘可以得到一个单位元为单位矩阵 InI_nIn 的群，这个群被称为一般线性群，对于系数为实数的记作 GL(n,R)GL(n,R)GL(n,R) 对于系数为复数的记作 GL(n,C)GL(n,C)GL(n,C) 。假设我们有可逆矩阵 A,BA,BA,B 以及实数 λ,β\lambda,\betaλ,β，则有如下计算过程：
结合律：(λA×β)B=λ(A×βB)单位元：λA×βB×I=I×λA×βB=λA×βB逆元素：(λA×βB)−1×(λA×βB)=I结合律：(\lambda A \times \beta )B = \lambda (A \times \beta B)\\ 单位元：\lambda A \times \beta B \times I = I \times \lambda A \times \beta B = \lambda A \times \beta B\\ 逆元素：(\lambda A \times \beta B)^{-1} \times (\lambda A \times \beta B) = I 结合律：(λA×β)B=λ(A×βB)单位元：λA×βB×I=I×λA×βB=λA×βB逆元素：(λA×βB)−1×(λA×βB)=I
注：∵\because∵ 矩阵可逆的充要条件之一是它的行列式不等于0，∴\therefore∴ 两个可逆矩阵相乘得到矩阵仍然是可逆矩阵。
6. 将一组系数为实数或复数的 n×nn \times nn×n 的可逆矩阵 AAA 进行相乘，其中矩阵的行列式为1，即 det(A)=1det(A)=1det(A)=1 ，可以得到一个单位元为单位矩阵 InI_nIn 的群，这个群被称为特殊线性群，对于系数为实数的记作 SL(n,R)SL(n,R)SL(n,R) 对于系数为复数的记作 SL(n,C)SL(n,C)SL(n,C) 。证明方式如5。
7. 将一组系数为实数的 n×nn \times nn×n 的矩阵 QQQ 进行相乘，可以得到一个单位元为单位矩阵 InI_nIn 的群，其中矩阵 QQQ 满足 QQT=QTQ=InQQ^T=Q^TQ=I_nQQT=QTQ=In 。我们有 Q−1=QTQ^{-1}=Q^TQ−1=QT ，这个群被称为正交群，记作 O(n)O(n)O(n)。
8. 将一组系数为实数的 n×nn \times nn×n 的矩阵 QQQ 进行相乘，可以得到一个单位元为单位矩阵 InI_nIn 的群，其中矩阵 QQQ 满足 QQT=QTQ=In且det(Q)=1QQ^T=Q^TQ=I_n \ 且 \ det(Q)=1QQT=QTQ=In 且 det(Q)=1 。就像示例7中一样，我们有 Q−1=QTQ^{-1}=Q^TQ−1=QT ，这个群被称为特殊正交群或旋转群，记作 SO(n)SO(n)SO(n)。
在示例5~8中，除了 SO(2)SO(2)SO(2) 为阿贝尔群以外，当 n≥2n \geq 2n≥2 时均为非阿贝尔群。我们通常将数组相加后得到的阿贝尔群用 GGG 进行表示，此时元素 a∈Ga \in Ga∈G 的逆元 a−1a^{-1}a−1 可以表示为 −a-a−a 。群的单位元（幺元）是独一无二的，我们可以得到一些更一般的结论。
命题1.1： 若有二元运算符 ⋅\cdot⋅ : 使得 M+M→MM + M \rightarrow MM+M→M 的计算结果是一个群，且 e′∈Me' \in Me′∈M 是左单位元，e′′∈Me'' \in Me′′∈M 是右单位元，也即：

G2l:对于任意的a∈M都有e′⋅a=aG2r:对于任意的a∈M都有a⋅e′′=aG2l:\ \ 对于任意的\ a \in M \ \ 都有 \ \ e' \cdot a = a \\ G2r:\ \ 对于任意的\ a \in M \ \ 都有 \ \ a \cdot e'' = a G2l: 对于任意的 a∈M 都有 e′⋅a=aG2r: 对于任意的 a∈M 都有 a⋅e′′=a
那么我们有 e′=e′′e'=e''e′=e′′ 。
证明过程如下：若我们令等式 G2lG2lG2l 中 a=e′′a=e''a=e′′，那么我们有：
e′⋅e′′=e′′e' \cdot e'' = e'' e′⋅e′′=e′′
若我们令等式 G2rG2rG2r 中 a=e′a=e'a=e′，我们有：
e′⋅e′′=e′e' \cdot e'' = e' e′⋅e′′=e′
那么，我们得到如下等式：
e′=e′⋅e′′=e′′e' = e' \cdot e'' = e'' e′=e′⋅e′′=e′′
综上，我们便得到了 e′=e′′e'=e''e′=e′′。
命题1.1说明了独异点的幺元是唯一的，而所有的群都是独异点，所以群的幺元都是唯一的。此外，群中的每一个元素都有其对应的逆元，接下来我们给出一个命题：
命题1.2： 在独异点 MMM 中有幺元 eee ，若某元素 a∈Ma \in Ma∈M 有左逆元 a′∈Ma' \in Ma′∈M 和右逆元 a′′∈Ma'' \in Ma′′∈M，也即：
G3l:a′⋅a=eG3r:a⋅a′′=eG3l:\ \ a' \cdot a = e\\ G3r:\ \ a \cdot a'' = e G3l: a′⋅a=eG3r: a⋅a′′=e
则有 a′=a′′a'=a''a′=a′′。
证明过程如下：结合公式 G3lG3lG3l 以及 eee 为群的幺元，我们可以得到
(a′⋅a)⋅a′′=e⋅a′′=a′′(a' \cdot a) \cdot a'' = e \cdot a'' = a'' (a′⋅a)⋅a′′=e⋅a′′=a′′
同样的，结合公式 G3rG3rG3r 以及 eee 为群的幺元，我们可以得到
a′⋅(a⋅a′′)=a′⋅e=a′a' \cdot (a \cdot a'') = a' \cdot e = a' a′⋅(a⋅a′′)=a′⋅e=a′
由于 MMM 是独异点，所以二元运算符 ⋅\cdot⋅ 符合结合律，故而有
a′=a′⋅(a⋅a′′)=(a′⋅a)⋅a′′=a′′a' = a' \cdot (a \cdot a'') = (a' \cdot a) \cdot a'' = a'' a′=a′⋅(a⋅a′′)=(a′⋅a)⋅a′′=a′′
得证 a′=a′′a'=a''a′=a′′。
注意： 群的单位元（等式2）以及群的逆元素（等式3）的证明可以被弱化为仅要求 G2rG2rG2r （右单位元存在）和 G3rG3rG3r （对于群中每一个元素均存在右逆元）存在（或者是 G2lG2lG2l 和 G3lG3lG3l 存在）。通过证明 G2lG2lG2l 和 G3lG3lG3l 成立来证明等式2（公理2）以及等式3（公理3）成立是一个行之有效的方法。
定义1.2： 若群 GGG 由有限的 nnn 个元素组成，我们称群 GGG 为 nnn 阶群。若群 GGG 的元素个数是无穷的，我们称群 GGG 为无限阶群。若群为有限群，那么其阶数我们使用符号 ∣G∣|G|∣G∣ 进行表示。
对于给定的群 GGG ，对于任意的两个子集 R,S⊆GR,S \subseteq GR,S⊆G，我们令
RS={r⋅s∣r∈R,s∈S}RS=\{r \cdot s\ |\ r \in R,\ s \in S\} RS={r⋅s ∣ r∈R, s∈S}
特殊的，对于任意的 g∈Gg \in Gg∈G，如果 R={g}R=\{g\}R={g}，我们记作
gS={g⋅s∣s∈S}gS=\{g \cdot s\ |\ s \in S\} gS={g⋅s ∣ s∈S}
同样的，如果 S={g}S=\{g\}S={g}，我们记作
Rg={r⋅g∣r∈R}Rg=\{r \cdot g\ |\ r \in R\} Rg={r⋅g ∣ r∈R}
从现在开始，我们将乘法运算符进行省略，将 g1⋅g2g_1 \cdot g_2g1⋅g2 写作 g1g2g_1g_2g1g2。
定义1.3： GGG 为一个群，对于任意的 g∈Gg \in Gg∈G，我们令 LgL_gLg 表示用 ggg 左平移，具体计算方式为对于任意的 a∈Ga \in Ga∈G 有 Lg(a)=gaL_g(a)=gaLg(a)=ga。同样的，我们令 RgR_gRg 表示用 ggg 右平移，计算方式为对于任意的 a∈Ga \in Ga∈G 有 Rg(a)=agR_g(a)=agRg(a)=ag。
我们会经常用到下面这些简单的结论。
命题1.3： 给定群 GGG，其左平移 LgL_gLg 和右平移 RgR_gRg 得到的结果均满足双射。我们在这里仅给出左平移 LgL_gLg 的证明过程，右平移 RgR_gRg 的证明方式类似，证明方式如下：
若 Lg(a)=Lg(b)L_g(a)=L_g(b)Lg(a)=Lg(b)，那么有 ga=gbga=gbga=gb，我们在等式两边同乘 g−1g^{-1}g−1，便可得到 a=ba=ba=b，所以 LgL_gLg 满足单射。对于任意的 b∈Gb \in Gb∈G，我们有 Lg(g−1b)=gg−1b=bL_g(g^{-1}b)=gg^{-1}b=bLg(g−1b)=gg−1b=b，所以 LgL_gLg 满足满射。因此，LgL_gLg 满足双射。
我们在这里给出单射、满射以及双射的图解表示：

图1.1 单射、满射、双射的示意图

特殊的，若映射过程的定义域和值域一样，我们将这个过程称之为变换，即有作用方式 φ\varphiφ，使得 A→AA \rightarrow AA→A。为了方便起见，我们在这里将映射后的结果记为 Aˉ\bar{A}Aˉ。
若我们定义 AAA 上的二元运算为 ⋅\cdot⋅，Aˉ\bar{A}Aˉ 上的二元运算为 ⋅ˉ\bar{\cdot}⋅ˉ （此处的 AAA 和 Aˉ不一定相同\bar{A} 不一定相同Aˉ不一定相同），对于 AAA 中的元素 aaa 经过作用方法 φ\varphiφ 后得到 aˉ\bar{a}aˉ。那么，若我们定义 AAA 上有两个元素进行二元运算 a⋅ba \cdot ba⋅b，经过函数映射后其计算结果为 φ(a⋅b)=a⋅b‾\varphi(a \cdot b)= \overline{a \cdot b}φ(a⋅b)=a⋅b，而对于每一个元素又都有 φ(a)=aˉ∈Aˉ\varphi(a)=\bar{a} \in \bar{A}φ(a)=aˉ∈Aˉ，φ(b)=bˉ∈Aˉ\varphi(b)=\bar{b} \in \bar{A}φ(b)=bˉ∈Aˉ，如果满足 a⋅b→aˉ⋅ˉbˉa \cdot b \rightarrow \bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}a⋅b→aˉ⋅ˉbˉ （或者写成 a⋅b‾=aˉ⋅ˉbˉ\overline{a \cdot b}=\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}a⋅b=aˉ⋅ˉbˉ），称 φ\varphiφ 是 AAA 到 Aˉ\bar{A}Aˉ 的同态映射。我们在这里给出一些例子方便大家理解：

图1.3 同态的判断方式其中“象”指函数对变量的映射结果。

1、我们令 A=RA=RA=R，Aˉ=R+\bar{A}=R^+Aˉ=R+，其中 AAA 上的二元运算为 +++，Aˉ\bar{A}Aˉ 上的二元运算为 ×\times×，作用方式 φ\varphiφ 为 x→exx \rightarrow e^xx→ex，即求某一个变量的指数函数值。那么，∀x,y∈A,x+y‾=ex+y=exey=xˉyˉ=xˉ×yˉ\forall x,y \in A,\overline{x+y}=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\bar{x}\bar{y}=\bar{x} \times \bar{y}∀x,y∈A,x+y=ex+y=exey=xˉyˉ=xˉ×yˉ，故而为同态映射。

2、我们有 A=ZA=ZA=Z，AAA 上的二元运算为 +++，Aˉ={1,−1}\bar{A}=\{1,-1\}Aˉ={1,−1}，Aˉ\bar{A}Aˉ 上的二元运算为 ×\times×，作用方式 φ1:∀a∈A,a→1\varphi_1: \forall a \in A, a \rightarrow 1φ1:∀a∈A,a→1。不难发现，∀a,b∈A\forall a,b \in A∀a,b∈A 有 a⋅b=a+b∈Aa \cdot b = a+b \in Aa⋅b=a+b∈A，所以 a+b‾=φ1(a+b)=1\overline{a+b}=\varphi_1(a+b)=1a+b=φ1(a+b)=1。而对于 aˉ⋅ˉbˉ=φ1(a)×φ1(b)=1×1=1\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}=\varphi_1(a) \times \varphi_1(b)=1 \times 1=1aˉ⋅ˉbˉ=φ1(a)×φ1(b)=1×1=1，综上，a+b‾=aˉ⋅ˉbˉ\overline{a+b}=\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}a+b=aˉ⋅ˉbˉ，所以为同态映射。

3、在2中若把映射方式改为 φ2:∀a∈A,a→−1\varphi_2: \forall a \in A, a \rightarrow -1φ2:∀a∈A,a→−1，此时不难发现 a+b‾=φ2(a+b)=−1\overline{a+b}=\varphi_2(a+b)=-1a+b=φ2(a+b)=−1，aˉ⋅ˉbˉ=φ2(a)×φ2(b)=(−1)×(−1)=1\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}=\varphi_2(a) \times \varphi_2(b)=(-1) \times (-1)=1aˉ⋅ˉbˉ=φ2(a)×φ2(b)=(−1)×(−1)=1，故而不为同态映射。

定义1.4： 给定一个群 GGG ，GGG 的子集 HHH 是其子群的充要条件是：
（1） GGG 的幺元 eee 也是 HHH 的元素（e∈He \in He∈H）;
（2）对于所有的 h1,h2∈Hh_1,h_2 \in Hh1,h2∈H，都有 h1h2∈Hh_1h_2 \in Hh1h2∈H;
（3）对于所有的 h∈Hh \in Hh∈H，都有 h−1∈Hh^{-1} \in Hh−1∈H。
命题1.4的证明过程我们留作练习。
命题1.4： 给定一个群 GGG，其子集 H⊆GH \subseteq GH⊆G 是群 GGG 的子群 ⇔\Leftrightarrow⇔ HHH 非空且对于任意的 h1,h2∈Hh_1,h_2 \in Hh1,h2∈H，都有 h1h2−1∈Hh_1h_2^{-1} \in Hh1h2−1∈H。
若群 GGG 是有限群，那么可以使用下述判断方法。
命题1.5： 给定有限群 GGG，其子集 H⊆GH \subseteq GH⊆G 是群 GGG 的子群 ⇔\Leftrightarrow⇔ （1） e∈He \in He∈H; （2）两个 HHH 做乘积运算后得到的结果是封闭的。
证明：我们仅需要证明定义1.4中的条件（3）。对于任意的 a∈Ha \in Ha∈H，由于左平移 LaL_aLa 满足双射，这导致 HHH 满足单射，并且因为 HHH 的元素个数是有限的，所以其满足双射。由于 e∈He \in He∈H，所以有唯一的 b∈Hb \in Hb∈H 使等式 La(b)=ab=eL_a(b)=ab=eLa(b)=ab=e 成立。但是，如果 a−1a^{-1}a−1 是 a∈Ga \in Ga∈G 的逆元，我们同样能得到 La(a−1)=aa−1=eL_a(a^{-1})=aa^{-1}=eLa(a−1)=aa−1=e，通过将此式和其前一个等式进行联立可以得到 a−1=b∈Ha^{-1}=b \in Ha−1=b∈H。
示例1.2：
1. 对于任意的整数 n∈Zn \in Zn∈Z，集合 nZ={nk∣k∈Z}nZ=\{nk\ |\ k \in Z\}nZ={nk ∣ k∈Z} 是群 ZZZ 的子群。
2. 对于 n×nn \times nn×n 的可逆矩阵而言，若其满足 GL+(n,R)={A∈GL(n,R)∣det(A)>0}GL^{+}(n,R)=\{A \in GL(n,R)\ |\ det(A)>0\}GL+(n,R)={A∈GL(n,R) ∣ det(A)>0}，此时 GL+(n,R)GL^{+}(n,R)GL+(n,R) 是群 GL(n,R)GL(n,R)GL(n,R) 的子群。
3. 群 SL(n,R)SL(n,R)SL(n,R) 是群 GL(n,R)GL(n,R)GL(n,R) 的子群。
4. 群 O(n)O(n)O(n) 是群 GL(n,R)GL(n,R)GL(n,R) 的子群。
5. 群 SO(n)SO(n)SO(n) 是群 O(n)O(n)O(n) 的子群，同时也是群 SL(n,R)SL(n,R)SL(n,R) 的子群。
6. 不难发现，每一个 2×22 \times 22×2 的旋转矩阵 R∈SO(2)R \in SO(2)R∈SO(2) 都可以被写作
R=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ),其中0≤θ<2πR= \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right),\ \ \ 其中\ 0 \leq \theta < 2\pi R=(cosθsinθ−sinθcosθ), 其中 0≤θ<2π
在下例中，SO(2)SO(2)SO(2) 可以被看作是 SO(3)SO(3)SO(3) 的子群

R=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ),Q=(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001)R= \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right),\ \ Q= \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) R=(cosθsinθ−sinθcosθ), Q=⎝⎛cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎠⎞
我们在这里给出旋转矩阵的定义，首先观察下图：

图1.2 绕原点二维旋转

首先我们需要明确的是，二维旋转是围绕坐标原点旋转，如图1.2所示。图中点 VVV 绕原点逆时针转过 θ\thetaθ 角到达 V′V'V′ 点处。假设点 VVV 的坐标为 (x,y)(x,y)(x,y)，那么 V′V'V′ 点的坐标为 (x′,y′)(x',y')(x′,y′)，其中点 VVV 到原点的距离为 rrr，且射线 OVOVOV 与 xxx 轴的夹角为 ϕ\phiϕ。那么我们能得到如下等式：
x=rcos⁡ϕ,y=rsin⁡ϕx′=rcos⁡(θ+ϕ),y′=rsin⁡(θ+ϕ)x = r \cos \phi, \ \ \ \ y = r \sin \phi\\ x' = r \cos (\theta + \phi), \ \ \ \ y' = r \sin (\theta + \phi) x=rcosϕ, y=rsinϕx′=rcos(θ+ϕ), y′=rsin(θ+ϕ)
我们对 x′x'x′ 和 y′y'y′ 的等式进行展开可得：
x′=rcos⁡θcos⁡ϕ−rsin⁡θsin⁡ϕy′=rsin⁡θcos⁡ϕ+rcos⁡θsin⁡ϕx' = r \cos \theta \cos \phi - r \sin \theta \sin \phi\\ y' = r \sin \theta \cos \phi + r \cos \theta \sin \phi x′=rcosθcosϕ−rsinθsinϕy′=rsinθcosϕ+rcosθsinϕ
我们将 xxx 和 yyy 的表达式代入上式可得：
x′=xcos⁡θ−ysin⁡θ,y′=xsin⁡θ+ycos⁡θx' = x \cos \theta - y \sin \theta, \ \ \ \ y' = x \sin \theta + y \cos \theta x′=xcosθ−ysinθ, y′=xsinθ+ycosθ
我们将上述结果用矩阵进行表示可得：
[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy]\left[ \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right] [x′y′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][xy]
不难发现此处的系数矩阵便是我们的二阶旋转矩阵。那么我们尝试考虑一下三维空间内绕 zzz 轴旋转的情况是什么样子的呢，我们先给出一个直观的感受。

图1.3 绕x轴三维旋转

如图1.3所示，我们对 OYOYOY 和 OZOZOZ 绕 xxx 轴旋转 θ\thetaθ 角度，分别到达 OY′OY'OY′ 以及 OZ′OZ'OZ′ 的位置，那么 Y′Y'Y′ 的坐标为 (0,rcos⁡θ,rsin⁡θ)(0,r \cos \theta,r \sin \theta)(0,rcosθ,rsinθ)，Z′Z'Z′ 的坐标为 (0,−rsin⁡θ,rcos⁡θ)(0,-r \sin \theta,r \cos \theta)(0,−rsinθ,rcosθ)，为了简单起见，我们取 r=1r=1r=1，那么 YYY 的坐标为 (0,1,0)(0,1,0)(0,1,0)，ZZZ 的坐标为 (0,0,1)(0,0,1)(0,0,1)，而 XXX 的坐标始终不变。所以我们有如下等式：
x′=xy′=ycos⁡θ−zsin⁡θz′=ysin⁡θ+zcos⁡θx' = x\\ y' = y \cos \theta - z \sin \theta \\ z' = y \sin \theta + z \cos \theta x′=xy′=ycosθ−zsinθz′=ysinθ+zcosθ
其中，y′,z′y',z'y′,z′ 的计算方式参见二维情况，我们将上述等式组利用矩阵进行表示如下：
[x′y′z′]=[1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ][xyz]\left[ \begin{matrix} x'\\ y'\\ z' \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta\\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right] ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=⎣⎡1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤

不难发现此形式和三阶旋转矩阵相同，只是示例6中的三阶旋转矩阵是绕 zzz 轴旋转得到的。那么，旋转矩阵有什么性质呢？我们以二阶为例进行分析。我们将二阶旋转矩阵记为 RRR ，不难发现其行列式计算结果为1，且矩阵的转置等于矩阵的逆，也即 RRR 为正交阵。

7. 形如下式这种 2×22 \times 22×2 的上三角矩阵
(ab0c)a,b,c∈Ra,c≠0\left( \begin{matrix} a & b\\ 0 & c \end{matrix} \right)\ \ a,b,c \in R\ \ \ \ a,c \neq 0 (a0bc) a,b,c∈R a,c=0

是群 GL(2,R)GL(2,R)GL(2,R) 的子群。
8. 集合 VVV 由4个矩阵组成，这些矩阵的具体形式如下
(±100±1)\left( \begin{matrix} \pm 1 & 0\\ 0 & \pm 1 \end{matrix} \right) (±100±1)
集合 VVV 是群 GL(2,R)GL(2,R)GL(2,R) 的子群，被称为克莱因四元群。
定义1.5： 若 HHH 为 GGG 的一个子群，并且对于任意的 g∈Gg \in Gg∈G，形如 gHgHgH 的计算方式称为 HHH 在 GGG 中的左陪集，形如 HgHgHg 的计算方式称为 HHH 在 GGG 中的右陪集。HHH 的左陪集（右陪集亦同）中包含一种等价关系 ∼\sim∼ ，定义如下：对于所有的 g1,g2∈Gg_1,g_2 \in Gg1,g2∈G 有
g1∼g2⇔g1H=g2H,同理g1∼g2⇔Hg1=Hg2g_1 \sim g_2 \Leftrightarrow g_1H=g_2H, \ \ 同理\\ g_1 \sim g_2 \Leftrightarrow Hg_1=Hg_2 g1∼g2⇔g1H=g2H, 同理g1∼g2⇔Hg1=Hg2
显然，∼\sim∼ 是一种等价关系。我们这里先说明关系的定义：对于 R：A×A→DR：A \times A \rightarrow DR：A×A→D，其中 D={对，错}D=\{对，错\}D={对，错}，RRR 为Relation的首字母，若 R(a,b)=对R(a,b)=对R(a,b)=对，那么我们说 (a,b)(a,b)(a,b) 满足关系 RRR，记为 aRbaRbaRb。例如：A={1,2}A=\{1,2\}A={1,2}，RRR 表示 >>>，那么 >(1,2)={错}，>(2,1)={对}>(1,2)=\{错\}，>(2,1)=\{对\}>(1,2)={错}，>(2,1)={对}，所以 (2,1)(2,1)(2,1) 满足关系 >>>，记为 2>12>12>1。那么什么是等价关系呢？等价关系首先应该满足关系，除此之外还要满足：（1）反身性：∀a∈A,a∼a\forall a \in A,a \sim a∀a∈A,a∼a;（2）对称性：∀a,b∈A\forall a,b \in A∀a,b∈A，若 a∼ba \sim ba∼b，则 b∼ab \sim ab∼a;（3）传递性：∀a,b,c∈A\forall a,b,c \in A∀a,b,c∈A，若 a∼b,b∼ca \sim b,b \sim ca∼b,b∼c，则 a∼ca \sim ca∼c。例如：相等、三角形相似、三角形全等都是等价关系。我们给出一个例子加以说明：
例：我们有 A=ZA=ZA=Z，关系定义如下：当 a=b(modn)a=b \ (mod\ n)a=b (mod n) 时，R(a,b)→对R(a,b) \rightarrow 对R(a,b)→对，否则，R(a,b)→错R(a,b) \rightarrow 错R(a,b)→错，其中 nnn 为正整数。我们来验证 RRR 满足等价关系：
（1）：R(a,a)⇒amodn=amodnR(a,a) \Rightarrow a\ mod \ n=a\ mod \ nR(a,a)⇒a mod n=a mod n 恒成立，所以满足反身性；
（2）：aRb⇒amodn=bmodn⇒bmodn=amodn⇒bRaaRb \Rightarrow a \ mod \ n=b \ mod \ n \Rightarrow b \ mod \ n=a \ mod \ n\Rightarrow bRaaRb⇒a mod n=b mod n⇒b mod n=a mod n⇒bRa，所以满足对称性；
（3）：aRb,bRc⇒amodn=bmodn,bmodn=cmodn⇒amodn=cmodnaRb,bRc \Rightarrow a\ mod \ n=b \ mod \ n,\ b \ mod \ n=c \ mod \ n \Rightarrow a \ mod \ n=c\ mod \ naRb,bRc⇒a mod n=b mod n, b mod n=c mod n⇒a mod n=c mod n，所以满足传递性。
我们在这里将满足同余关系的所有元素可以归为一类，将其称为剩余类，例如余数为0的记作 [0][0][0]，余数为1的记作 [1][1][1]，依此类推，那么我们可以将整个集合 AAA 划分为 nnn 个互不相交的类，我们将该过程称为集合的分类。
现在，我们引入如下结论：

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