文章目录

什么是功率谱估计？

经典谱估计法

周期图法-直接法

平均周期图法-Bartlett法

修正的平均周期图法-Welch法

间接法--BT法--自相关法

现代谱估计方法

基于参数建模的功率谱估计

AR模型-自回归模型

MA模型--移动平均模型

ARMA模型--自回归-移动平均模型

基于非参数建模的功率谱估计

评价功率谱的标准

参考资料

什么是功率谱估计？

谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，功率谱反映了信号的功率在频域随频率w的分布,功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。

简单说功率谱估计法是通过利用已经获得的N个数据点，来得到一个"非精确"的功率谱对真实随机信号的功率谱进行估计。

任意一个周期信号f(t)，其傅里叶变换得到的频谱中将会包含一个直流分量，一个基频成分w0，以及相应的谐波成分。将这些信号分量相加就可以得到原始的时间信号f(t)。

信号分为确定信号和随机信号，而确定信号又分为能量信号和功率信号。根据狄里赫利条件，能量信号可以直接进行傅里叶变换，得到频谱的幅度再平方即为能量谱(或称能量谱密度)。而功率信号不行。

功率谱密度的求法:

如果你测到的信号是一个确定性信号，你就可以直接做FFT，然后平方，再除以你用的点数就得到其功率谱密度；如果你测到的信号是一个随机信号，就需要先求自相关函数，然后对自相关求FFT得到其功率谱密度曲线

确定信号是用FFT求频谱，先FFT，再幅值平方/N

随机信号是用PSD、pwelch求功率谱,先求自相关，再FFT

功率谱估计方法的分类

经典谱估计法

经典谱估计中分为直接法与间接法。最简单的就是周期图法。

周期图法-直接法

我们已知N个离散的数据点，对这些数据点进行傅里叶变换，得到式

再对式取模的平方，除以N，即得到一个"非精确"的谱，如式示，这就是周期图法的原理。

周期图法的特点：周期图法得到的功率谱随着数据点数N的增大，分辨率变大、方差变也大。

在matlab中，周期图法可以川函数periodogram实现。

平均周期图法-Bartlett法

数据分段，减小方差

数据窗口加窗-矩形窗

将N个观测样本数据点分为L段，每段数据长度为M,分别对每段数据求周期图功率谱估计，然后求平均值，这种方法称平均周期图法。平均周期图法将原来的方差变为原来的1/L，L为分段数。

L=1时，平均周期图法退化为周期图法。

特点：平均周期图法得到的功率谱随着分段数L变大，方差变小，但分辨率变小。

当观测样本序列数据个数N固定时，要降低方差需要增加分段数L。当N不大时分段长度M取值较小，则功率谱分辨率降低到较低的水平。若分段数L固定时，增加分辨率需要分段长度M，则需要采集到更长的检测数据序列。实际中恰恰是检测样本序列长度不足。

在matlab中，平均周期图法可以用函数psd、pwelch实现。

修正的平均周期图法-Welch法

数据分段并重叠

数据窗口加不同的窗函数

对现有数据长度N，如果能获得更多的段数分割，将会得到更小的方差。允许数据段间有重叠部分，来得到更多的段数。对段间重叠长度的选取，最简单是取为段长度M的一半。可知更多的段数可以进一步降低方差。

数据截断的过程中相当于数据加矩形窗，矩形窗幅度较大的旁瓣会造成"频谱泄漏"。关于“频谱泄漏”如果有不明白，请看这篇文章。我们分段时采取的窗函数更为多样(三角窗,海明窗等), 以减小截断数据(加矩形窗)窗函数带来的影响。

矩形窗的分辨率最高，但是方差也最大，这是由于矩形窗频谱主瓣最窄，分辨率因此最高，旁瓣也高，导致频谱泄漏最严重，方差最大。

总结：周期图法获得的功率谱随着样本点数越多，分辨率越大、方差越大；平均周期图法以牺牲分辨率来进一步改善方差；修正的平均周期图法允许段的重叠来进一步增大分段数、或者分段数相同，每段样本点数变多。无论是哪种方法都没有彻底结局方差与分辨率之间的矛盾。

间接法–BT法–自相关法

维纳辛钦定理指出，随机信号的相关函数与它的功率谱是一对傅里叶变换对。BT法就是基于这个原理。先由观测数据估计出自相关函数，然后求自相关函数的傅立叶变换，以此变换作为对功率谱的估计，也称为间接法。BT法要求信号长度N以外的信号为零，这也造成BT法的局限性。

通过逆变换求得自相关函数。

M随着N的增大而增大时，分辨率提高，方差变大。BT法仍然没有解决分辨率与方差之间的矛盾，但是BT法得到的功率谱当N为无穷大时，方差会趋向于零，即为一致估计

总结：可以看出，无论是周期图法及其改进算法还是BT法都没有从根本上解决分辨率与方差的矛盾。经典功率谱估计是利用傅里叶变换估计功率谱，而我们之前分析随机信号不满足傅里叶变换的条件，所以经典功率谱估计方法不得不从无限长数据点截取有限长数据点，加入限制条件(周期图法实际上假定N点外数据周期重复、BT法假定N点外数据为零)来"强制"作傅里叶变换，这也是造成它局限性的原因

现代谱估计方法

现代谱的分辨率较高。这是由于在时域的开窗，使得在频域发生“频谱泄漏”，即功率谱的主瓣能量泄漏到旁瓣中，导致弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所湮没，造成谱的模糊。

现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。

参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等;非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。由于涉及的问题太多，这里不再详述，可以参考有关资料。

在MATLAB中.主要有基于AR模型的功率谱估计pyulear函数、pburg函数、pcov函数、pmov函数和pmem函数R,，。在下面的仿真实验中，发现pyulear函数的运算速度在它们当中最快，分辨力最好，故以pyulear函数为例进行分析。

基于参数建模的功率谱估计

无论对于一个确定性信号还是随机信号，其输入、输出关系总是如下：

AR模型-自回归模型

易于反映功率谱中的峰值。

建立AR模型的参数ak和x(n)的自相关函数的关系，即正则方程。

一个p阶的AR模型等效于一个p阶的线性预测器。根据已知的自相关函数rx(m),求解Yule-Walker方程得到模型的p+1个参数a(1)、、、a§和方差，实现功率谱的估计。

AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。

Burg提出最大熵谱估计

AR模型阶次的选择，根据模型的最小预测误差功率进行选择。

MA模型–移动平均模型

易于反映功率谱中的谷值。

ARMA模型–自回归-移动平均模型

易于反映功率谱中的峰值和谷值。

基于非参数建模的功率谱估计

该方法主要墓于矩阵特征分解的功率谱估计，它将相关矩阵的特征向量空间分解为信号子空间和噪声子空间.由此衍生出特征向量与MUSIC

算法的信号功率i替估计。其中特征向量谱估计与MUSIC算法谱估计都是基于噪声子空间的功率谱估计。

在MATLAB中，有可以利用函数pmusic来实现MUSIC算法的功率谱估计;也有可以利用函数peig来实现特征向量的功率诺估计

评价功率谱的标准

给出两个影响最大的标准：分辨率和方差。

分辨率即功率谱上能够区分的最小相邻频率成分，分辨率越高，我们观察信号的频率成分越清晰；方差大小则反映到功率谱波动性的大小，如果方差太大，功率谱波动性大，则很容易造成有用的频率成分被噪声淹没。所以，我们希望得到的这个"非精确"的功率谱，分辨率越高越好，方差越小越好。

参考资料

经典功率谱估计及Matlab仿真 https://www.cnblogs.com/jacklu/p/5140913.html

MATLAB中几种功率谱估计函数的比较分析与选择 https://wenku.baidu.com/view/08fb8cf627fff705cc1755270722192e44365851.html?rec_flag=default&sxts=1590983291605

随机信号傅里叶变换和功率谱密度图给出的信息有什么不同 https://www.ilovematlab.cn/thread-291253-1-1.html