题目链接：P4173 残缺的字符串

题意

给定长度为 \(m\) 的模式串和长度为 \(n\) 的目标串，两个串都带有通配符，求所有匹配的位置。

思路

FFT

带有通配符的字符串匹配问题。

设模式串为 \(p\)，目标串为 \(t\)，将两个串的内容都根据字母先后顺序映射到 \(1\) 到 \(26\)。

如果不带有通配符，那么 \(t\) 以第 \(k\) 位结束的长度为 \(|p|\) 的子串与 \(p\) 匹配时有

\[\sum_{i=0}^{|p|-1} (p[i] - t[k - |p| + 1 + i])^2 = 0\]

如果带有通配符，只需将上式稍微改一下就行。

让两个串中的所有通配符映射到 \(0\)，设匹配结果为 \(f\)，则有

\[f[i] = \sum_{i=0}^{|p|-1} (p[i] - t[k - |p| + 1 + i])^2 \cdot p[i] \cdot t[k - |p| + 1 + i]\]

接下来翻转 \(p\) 串 (\(FFT\) 的套路)，设 \(r[|p| - i - 1] = p[i]\)，则有

\[f[i] = \sum_{i=0}^{|p|-1} (r[|p| - i - 1] - t[k - |p| + 1 + i])^2 \cdot r[|p| - i - 1] \cdot t[k - |p| + 1 + i]\]

下标加起来等于 \(k\)，令 \(j = |p| - i - 1\)，则

\[f[i] = \sum_{i + j = k} (r[j] - t[i])^2 \cdot r[j] \cdot t[i]\]

展开后有

\[f[i] = \sum_{i + j = k} (r[j]^3t[i] + t[i]^3r[j] - 2\cdot r[j]^2t[i]^2)\]

用 \(FFT\) 分别求一下卷积即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
typedef complex<double> Complex;
const int maxn = 2e6 + 10;Complex p[maxn], t[maxn];
Complex a[maxn], b[maxn], c[maxn], d[maxn];
Complex ans[maxn];
string str;
int m, n;
int bit = 2, rev[maxn];void get_rev(){memset(rev, 0, sizeof(rev));while(bit <= n + m) bit <<= 1;for(int i = 0; i < bit; ++i) {rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (bit >> 1) * (i & 1);}
}void FFT(Complex *a, int op) {for(int i = 0; i < bit; ++i) {if(i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);}for(int mid = 1; mid < bit; mid <<= 1) {Complex wn = Complex(cos(PI / mid), op * sin(PI / mid));for(int j = 0; j < bit; j += mid<<1) {Complex w(1, 0);for(int k = 0; k < mid; ++k, w = w * wn) {Complex x = a[j + k], y = w * a[j + k + mid];a[j + k] = x + y, a[j + k + mid] = x - y;}}}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> m >> n;cin >> str;for(int i = 0; i < m; ++i) {p[m - i - 1] = str[i] == '*' ? 0 : (str[i] - 'a' + 1);}cin >> str;for(int i = 0; i < n; ++i) {t[i] = str[i] == '*' ? 0 : (str[i] - 'a' + 1);}get_rev();for(int i = 0; i < bit; ++i) {a[i] = p[i] * p[i] * p[i];b[i] = t[i];}FFT(a, 1); FFT(b, 1);for(int i = 0; i < bit; ++i) {ans[i] += a[i] * b[i];}for(int i = 0; i < bit; ++i) {a[i] = p[i];b[i] = t[i] * t[i] * t[i];}FFT(a, 1); FFT(b, 1);for(int i = 0; i < bit; ++i) {ans[i] += a[i] * b[i];}for(int i = 0; i < bit; ++i) {a[i] = p[i] * p[i];b[i] = t[i] * t[i];}FFT(a, 1); FFT(b, 1);for(int i = 0; i < bit; ++i) {ans[i] -= a[i] * b[i] * Complex(2, 0);}FFT(ans, -1);queue<int> q;for(int i = m - 1; i < n; ++i) {if((int)(ans[i].real() / bit + 0.5) == 0) q.push(i - m + 2);}cout << q.size() << endl;while(q.size()) {cout << q.front() << " ";q.pop();}cout << endl;return 0;
}