Quake3 快速开平方和开平方倒数计算优化

在Quake3中，卡马克使用了广为人知的魔数来优化，开平方和开平方倒数计算。而在Doom3中改为查表计算了。

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/*
================
SquareRootFloat
================
*/
float SquareRootFloat(float number) {
long i;
float x, y;
const float f = 1.5F;
x = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
return number * y;
}

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/*
** float q_rsqrt( float number )
*/
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
return y;
}

开平方和开平方倒数的算法是一样，都使用了魔数0x5f3759df，利用牛顿迭代法进行迭代。只是在上面的迭代中，开平方迭代了2次，开平方倒数迭代了1次。开平方最后结果，是开平方倒数在乘以原数值的结果。在GameDev.net上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e-004 的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。

下面对这2个算法进行微量的优化。

利用union去除float类型的强转，和一些赋值操作
long类型改用int类型
把中间变量的赋值操作去除，替换到计算式中

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static float InvSqrtf(float x)
{
union
{
float x;
int i;
} u;
u.x = x;
u.i = 0x5f3759df - (u.i >> 1);
return u.x * (1.5f - 0.5f * x * u.x * u.x);
}
static float Sqrtf(float x)
{
union
{
float x;
int i;
} u;
u.x = x;
u.i = 0x5f3759df - (u.i >> 1);
// InvSqrt(x) * x, equal Sqrt(x)
return u.x * (1.5f - 0.5f * x * u.x * u.x) * x;
}

如果，精度不够可以增加迭代次数，不过也会降低性能。经过测试精度还不错。

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