如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)...
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一、向量
1、简单的高中那些就不说了....
2、左右手系:
右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为右手系。
左手系:将左手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为左手系。
3、单位向量的方向:设向量
所以向量投影的定义为:
其中方向余弦是:
三个方向余弦的平方和等于1,
4、向量的内积:两个向量a和b的内积记作
其中:
5、对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,有
(1)若
(2)
(3)
(4)
6、向量的外积:
(1)定义:两个向量a与b的外积记作
(2)性质:
①若a,b中有一个为0,则a×b=0。
②a×b=0的充分必要条件是a与b共线。
外积的几何意义:当a与b不平行时,
(3)外积的计算性质:对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,外积有
①
④
(4)外积的计算:设
为了方便记忆可以写成:
7、向量的混合积:
(1)定义:三个向量a,b,c的混合积记作(a,b,c),它是一个数,规定
(2)几何意义:以三个非零向量a,b,c为棱作一个平行六面体,其底面积为|a×b|,高为
(3)在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式:
设
从而有:
注意,有的地方是写成
此时他们定义的混合积是:
二、空间平面及其方程
1、平面的点法式方程:设π平面的法向量
平面方程为:
(其实很简单,记住原理使法向量和平面上的一条向量垂直就可以了)
2、平面的一般式方程:
(1)设C≠0,则方程可以化成:
对照平面的点法式方程,我们可以知道这是一个过
以
法向量的平面。
(2)特点:
①D=0时,方程表示一个过原点的平面。
②当D≠0时,若A,B,C中只有一个为零,则平面平行于某个坐标轴
(如只有C=0时,平面的法向量与z轴垂直,因此平面平行于z轴)
③当D≠0时,若A,B,C中只有一个不为零,则平面平行于某坐标面
(如只有A≠0,则平面的法向量平行于x轴,因此平面平行于yOz面)
3、平面的截距式方程:当abc≠0时,平面
x、y、z轴上的截距分别为a、b、c,因此这种形式的平面称为平面的截距式方程。
4、平面的三点式方程:用三点可以确定一个平面,三个点都在这个平面上面,设
5、两平面间的关系设两个平面:
结论:
(1)两个平面重合
(2)两个平面平行
(3)两个平面相交
6、同轴平面束:经过同一条直线的所有平面的集合叫做同轴平面束。
设l为平面π1和平面π2的交线,则可以设λ1和λ2,就可以得到
以直线l为轴的平面束方程:
三、空间直线及其方程
1、直线的点向式方程(或者叫直线的对称式方程):设
所以P(x,y,z)在l上
则有
2、直线的一般式方程:当
3、直线与直线的关系:设两条空间直线:
分析:l1过点
l2过点
两直线固定点的向量P1P2为:
(1)共面与异面的判断:s1、s2、P1P2的混合积为0则
(2)共面后判断是否重合、平行、相交。
①两直线重合
②两直线平行
③两直线相交
四、直线与平面的关系,点和直线和平面的关系
1、直线与平面的关系:
设
记s为l的方向向量
(1)l在π上
垂直于n,且点
满足平面π的方程
(2)l与π平行
不满足平面π的方程
(3)l与π相交
不垂直
(4)l与π垂直
s×n=0)
2、直线与平面相互之间的夹角(都是锐角)
设l1、l2的方向向量分别为s1,s2。平面π1和π2的法向量分别为n1和n2。
(1)两条直线的夹角:s1和s2的夹角为θ,把
(2)两个平面的夹角:n1与n2的夹角是θ,把
(3)平面与直线的夹角:设s1和n1的夹角为θ,把
3、距离问题:
(1)点到直线的距离:设
设θ为向量s与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到有
又因为从外积公式得到
所以
(2)点到平面的距离:设
设θ为向量n与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到,
由内积公式可以得到
所以可以得到:
(对于π平面的方程为:Ax+By+Cz+D=0,
则公式为
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