线性方程组（四）- 矩阵方程

小结

矩阵方程的定义
矩阵方程的求解
矩阵方程、向量方程和线性方程组拥有相同的解集
Ax\boldsymbol{Ax}Ax的计算、行-向量规则和性质

Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b

若A\boldsymbol{A}A是m×nm \times nm×n矩阵，它的各列为a1,⋯ ,an\boldsymbol{a_1,\cdots,a_n}a1,⋯,an。若x\boldsymbol{x}x是Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的向量，则A\boldsymbol{A}A与x\boldsymbol{x}x的积（记为Ax\boldsymbol{Ax}Ax）就是A\boldsymbol{A}A的各列以x\boldsymbol{x}x中对应元素为权的线性组合，即
Ax=[a1⋯an][x1x2⋮xn]=x1a1+x2a2+⋯+xnan\boldsymbol{Ax} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix} = x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n}Ax=[a1⋯an]⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤=x1a1+x2a2+⋯+xnan
注意Ax\boldsymbol{Ax}Ax仅当A\boldsymbol{A}A的列数等于x\boldsymbol{x}x中的元素个数时才有定义。

对Rm\mathbb{R}^{m}Rm中的v1,v2,v3\boldsymbol{v_1, v_2, v_3}v1,v2,v3，把线性组合3v1−5v2+7v33\boldsymbol{v_1} - 5\boldsymbol{v_2} + 7\boldsymbol{v_3}3v1−5v2+7v3表示为矩阵乘向量的形式。
解：把v1,v2,v3\boldsymbol{v_1, v_2, v_3}v1,v2,v3排列成矩阵A\boldsymbol{A}A，把数3，-5，7排列成向量x\boldsymbol{x}x，即
3v1−5v2+7v3=[v1v2v3][3−57]=Ax3\boldsymbol{v_1} - 5\boldsymbol{v_2} + 7\boldsymbol{v_3} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \boldsymbol{v_3} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ \end{bmatrix} = \boldsymbol{Ax}3v1−5v2+7v3=[v1v2v3]⎣⎡3−57⎦⎤=Ax

方程有形式Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b，我们称这样的方程为矩阵方程。由定义Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnan\boldsymbol{Ax} = x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n}Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnan可知，任何向量方程都可以写成等价的形式为Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b的矩阵方程。而向量方程x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}x1a1+x2a2+⋯+xnan=b又和增广矩阵为[a1a2⋯anb]\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}[a1a2⋯anb]的线性方程有相同的解集。

若A\boldsymbol{A}A是m×nm \times nm×n矩阵，它的各列为a1,⋯ ,an\boldsymbol{a_1,\cdots,a_n}a1,⋯,an，而b\boldsymbol{b}b属于Rm\mathbb{R}^{m}Rm，则矩阵方程与向量方程x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}x1a1+x2a2+⋯+xnan=b由相同的解集。它又与增广矩阵为[a1a2⋯anb]\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}[a1a2⋯anb]的线性方程组有相同的解集。

我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解—用行化简算法来化简增广矩阵。

解的存在性

方程Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b有解当且仅当b\boldsymbol{b}b是A\boldsymbol{A}A的各列的线性组合。

设Ax=[134−42−6−3−2−7]\boldsymbol{Ax}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ -4 & 2 & -6 \\ -3 & -2 & -7 \\ \end{bmatrix}Ax=⎣⎡1−4−332−24−6−7⎦⎤，b=[b1b2b3]\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix}b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤。方程Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b是否对一切可能的b1,b2,b3b_1, b_2, b_3b1,b2,b3有解？
解：把Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b的增广矩阵进行行化简：
[134b1−42−6b2−3−2−7b3]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ -4 & 2 & -6 & b_2\\ -3 & -2 & -7 & b_3 \\ \end{bmatrix}⎣⎡1−4−332−24−6−7b1b2b3⎦⎤~[134b101410b2+4b1075b3+3b1]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ 0 & 14 & 10 & b_2 + 4b_1\\ 0 & 7 & 5 & b_3 + 3b_1 \\ \end{bmatrix}⎣⎡10031474105b1b2+4b1b3+3b1⎦⎤~[134b101410b2+4b1000b3+3b1−12(b2+4b1)]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ 0 & 14 & 10 & b_2 + 4b_1\\ 0 & 0 & 0 & b_3 + 3b_1 - \frac{1}{2}(b_2 + 4b_1) \\ \end{bmatrix}⎣⎡10031404100b1b2+4b1b3+3b1−21(b2+4b1)⎦⎤
第4列的第3个元素为b1−12b2+b3b_1 - \frac{1}{2}b_2 + b_3b1−21b2+b3。故方程Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b并不是对一切的b\boldsymbol{b}b都相容，因为b1−12b2+b3b_1 - \frac{1}{2}b_2 + b_3b1−21b2+b3可能不为零。

上述方程Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b并非对所有的b\boldsymbol{b}b都相容，这是因为A\boldsymbol{A}A的阶梯形含有零行。假如A\boldsymbol{A}A在所有三行都有主元，这时增广矩阵的阶梯形不可能产生如[0001]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}[0001]的行。

当我们说“A\boldsymbol{A}A的列生成Rm\mathbb{R}^{m}Rm”时，意思是说Rm\mathbb{R}^{m}Rm中的每个向量b\boldsymbol{b}b都是A\boldsymbol{A}A的列的线性组合。一般地，Rm\mathbb{R}^{m}Rm中向量集{v1,⋯ ,vp\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}v1,⋯,vp}生成Rm\mathbb{R}^{m}Rm的意思是说，Rm\mathbb{R}^{m}Rm中的每个向量都是v1,⋯ ,vp\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}v1,⋯,vp的线性组合，即Span{v1,⋯ ,vp}=Rm\boldsymbol{Span\{v_1,\cdots,v_p\}}=\mathbb{R}^{m}Span{v1,⋯,vp}=Rm。

设A\boldsymbol{A}A是m×nm \times nm×n矩阵，下列命题是逻辑上等价的，也就说，对某个\boldsymbol{A}，它们都成立或者都不成立。

对Rm\mathbb{R}^{m}Rm中每个b\boldsymbol{b}b，方程Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b有解。
Rm\mathbb{R}^{m}Rm中每个b\boldsymbol{b}b都是A\boldsymbol{A}A的列的一个线性组合。
A\boldsymbol{A}A的各列生成Rm\mathbb{R}^{m}Rm。
A\boldsymbol{A}A在每一行都有一个主元位置。
注意：这里说的矩阵是系统矩阵，而非增广矩阵。

Ax\boldsymbol{Ax}Ax的计算

计算Ax\boldsymbol{Ax}Ax，其中[234−15−36−28]\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \\ \end{bmatrix}⎣⎡2−1635−24−38⎦⎤，x=[x1x2x3]\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}x=⎣⎡x1x2x3⎦⎤
解：由定义，
[234−15−36−28][x1x2x3]=x1[2−16]+x2[35−2]+x3[4−38]=[2x1−x16x1]+[3x25x2−2x2]+[4x3−3x38x3]=[2x1+3x2+4x3−x1+5x2−3x36x1−2x3+8x3]\quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} \\ = x_1\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ -x_1 \\ 6x_1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3x_2 \\ 5x_2 \\ -2x_2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4x_3 \\ -3x_3 \\ 8x_3 \\ \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \\ -x_1 + 5x_2 - 3x_3 \\ 6x_1 - 2x_3 + 8x_3 \\ \end{bmatrix}⎣⎡2−1635−24−38⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=x1⎣⎡2−16⎦⎤+x2⎣⎡35−2⎦⎤+x3⎣⎡4−38⎦⎤=⎣⎡2x1−x16x1⎦⎤+⎣⎡3x25x2−2x2⎦⎤+⎣⎡4x3−3x38x3⎦⎤=⎣⎡2x1+3x2+4x3−x1+5x2−3x36x1−2x3+8x3⎦⎤

矩阵Ax\boldsymbol{Ax}Ax的第一个元素是A\boldsymbol{A}A的第一行与x\boldsymbol{x}x相应元素乘积之和（有时称为点积）。

计算Ax\boldsymbol{Ax}Ax的行-向量规则
若乘积Ax\boldsymbol{Ax}Ax有定义，则Ax\boldsymbol{Ax}Ax中的第iii个元素是Ax\boldsymbol{Ax}Ax的第iii行元素与x\boldsymbol{x}x的相应元素乘积之和。

[12−10−53][437]=[1×4+2×3+(−1)×70×4+(−5)×3+3×7]=[36]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 4 + 2 \times 3 + (-1) \times 7 \\ 0 \times 4 + (-5) \times 3 + 3 \times 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix}[102−5−13]⎣⎡437⎦⎤=[1×4+2×3+(−1)×70×4+(−5)×3+3×7]=[36]
[100010001][rst]=[1×r+0×s+0×t0×r+1×s+0×t0×r+0×s+1×t]=[rst]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \\ t \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times r + 0 \times s + 0 \times t \\ 0 \times r + 1 \times s + 0 \times t \\ 0 \times r + 0 \times s + 1 \times t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ s \\ t \\ \end{bmatrix}⎣⎡100010001⎦⎤⎣⎡rst⎦⎤=⎣⎡1×r+0×s+0×t0×r+1×s+0×t0×r+0×s+1×t⎦⎤=⎣⎡rst⎦⎤

若矩阵的主对角线上元素为1，其它位置上元素为0，这个矩阵称为单位矩阵，记为I\boldsymbol{I}I。有n×nn \times nn×n单位矩阵，记为In\boldsymbol{I}_{n}In。对任意Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的x\boldsymbol{x}x，Inx\boldsymbol{I}_{n}\boldsymbol{x}Inx = x\boldsymbol{x}x。

矩阵-向量积$\boldsymbol{Ax}的性质

若A\boldsymbol{A}A是m×nm \times nm×n矩阵，u\boldsymbol{u}u和v\boldsymbol{v}v是Rn\mathbb{R}^{n}Rn中向量，ccc是标量，则

A\boldsymbol{A}A(u\boldsymbol{u}u + v\boldsymbol{v}v) = Au+Au\boldsymbol{Au} + \boldsymbol{Au}Au+Au
A(cu)=c(Au)\boldsymbol{A}(c\boldsymbol{u}) = c(\boldsymbol{Au})A(cu)=c(Au)