利用逆矩阵解线性方程组_机器人学导论---第四章操作臂逆运动学（一）4.1-4.11...

第四章操作臂逆运动学【（一）4.1-4.11】

（一）概述

1、为求出要求的关节角以放置相对于工作台坐标系{S}的工具坐标系{T}，可将这个问题分为两部分（1）进行坐标变换求出相对于基坐标{B}的腕部坐标系{W}。（2）应用逆运动学求关节角。

（二）可解性

1、解的存在性

（1）解是否存在完全取决于操作臂的工作空间。工作空间十操作臂末端执行器所能到达的范围，若解存在，则被制定的目标点必须在工作空间内。

（2）工作空间分为灵巧工作空间和可达工作区间。前者指机器人的末端执行器能够从各个方向到达的空间区域，即可以从任意方向到达灵巧工作空间的每一个点。后者至至少从一个方向上有一个方位可以达到的空间。显然，灵巧工作空间十可达工作空间的子集。

2、多重解问题

（1）解的个数取决于操作臂的关节数量，也是连杆参数（

）

（2）通常，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式也越多。对于一个全部为旋转关节的6自由度操作臂来说，可能多达16种解

（3）再给这个积木一个镜头！简单易懂

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（1）与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解算法，最好对已知操作臂“解”的构成形式加以定义。

（2）操作臂的求解方法分为两类：分闭解法和数值解法。

（3）数值解法的迭代性质，导致他要比封闭解法求解速度慢很多，所以一般不用。

（4）分闭形式，指基于解析形式的解法，或者意指对于不高于四次的多项式不用迭代便可完全求解。封闭解的求解方法分为两类，代数法和几何法。有时它们的区别不明显，任何几何方法中都引入了代数描述，这两种方法的区别或许仅是求解过程的不同。

（5）所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度机构均是可解的。但这种解一般是数值解。对于6自由度机器人来说，只有在特殊情况下才有解析解。

（6）存在封闭解的充要条件是，相邻的三个关节轴线相交于一点。

（三）当n＜6时操作臂子空间的描述

1、对于一个n自由度操作臂（n＜6），可达工作空间可看成是n自由度子空间的一部分。如图4-1中，两连杆机器人的子空间时一个平面，其工作空间时该平面的一个子集，即当

时，为一个半径为

的圆。

2、对于少于6个自由度的操作臂来说，当确定一般目标点时，求解方法如下

（四）代数解法与几何解法

用代数和几何两种方法对一个简单的平面三连杆操作臂进行求解

注解：

1、代数解法：共5步骤

（1）建立方程式

（2）解

（3）将求得的

代入方程式

（4）变数变换

（5）求解

及

。

（6）三角函数方程式求解

2、几何解

（1）将空间几何切割成平面几何

（五）通过化简为多项式的代数解法

（六）三轴相交的PIEPER解法

略过，描述了如何证明，6个关节均为旋转关节，且后面3个轴相交的操作臂。具有分闭解。

具体可看下面链接：有详细推导公式

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（七）操作臂逆运动学实例

1、The Unimation PUMA 560机器人。共8种答案

2、Yasukawa Motoman L-3型机器人

Motoman L-3与PUMA机器人有三个不同特征，

（1）操作臂只有五个关节，因此它的末端执行器的位姿不能保证达到一般目标坐标系

（2）这种四杆机构以及链传动方式使得一个驱动器需要同时驱动两个甚至更多关节。

（3）驱动器的运动范围不是常数，而是取决于其他启动器的位置，因此判断一组驱动器运动是否在某一范围内是没有意义的。

其余略过

（八）标准坐标系

在一般的机器人系统中，我们按照如下方法应用这些坐标系

1、由用户确定系统中工作台坐标系{S}的位置。它是相对于基坐标系{B}定义的。

2、用户通过规定坐标系{T}给出机器人所用工具的描述。对于每种末端执行器，机器人抓持的每一种工具都应当有一个相应的工具坐标系{T}。注意，以不同的方式抓取相同的工具，工具坐标系{T}的定义是不同的。工具坐标系{T}是相对于腕部坐标系{W}定义的，即

。

3、用户通过给定目标坐标系{G}相对于工作台坐标系的描述来指定机器人运动的目标点。{T}和{S}的定义经常保持不变，这时，用户仅需给出一系列{G}的规定。工具坐标系

一般是常量。

4、机器人系统需要计算一系列关节角度使关节一次运动，工具坐标系{T}从初始位置以连续方式运动，直至{T}={G}时运动结束

（九）操作臂求解

（十）重复精度和定位精度

1、示教点，指操作臂运动实际达到的点，然后关节位置传感器读取关节角并存储。

2、当制造商在确定操作臂返回示教点的精度时，就是在确定操作臂的重复精度。

3、计算点，对于可以将目标位置描述为笛卡尔坐标的系统，它可以将操作臂移动到工作空间中一个从未示教过的点，这些点或许以前从未到达过，这些点称为计算点。

4、到达某个计算点的精度称为操作臂的定位精度。

5、操作臂的定位精度收到重复精度的影响，且受到运动学方程中参数精度的影响。因此一般重复精度非常好，但定位精度较差。标定技术能通过对操作臂运动学参数的估计提高定位精度

（十一）计算问题

例4.1

试描述第三章中图3-6所示三连杆操作臂

的子空间。

解答：{W}为腕关节坐标系，{B}基坐标系

例4.2

试描述图4-6所示两自由度极坐标操作臂

的子空间。

解答：

例4.3

将超越方程

变换成含有半角正切的一次多项式，以求解

。

解答：利用万能公式即可求解

由于原来的超越方程可能不存在实根，因此

是很复杂的。注意，若

，自变量反正切值将无穷大，因此

，所以应该预先检查是否为0。

当（4-38）中二次项消除后，这个二次方程就简化为线性方程。四次多项式便具有封闭形式的解，所以用4阶（或低于4阶）的代数方程求解操作臂是简单的。称为分闭解操作臂。

至P99