[转载] numpy入门4：线性代数

参考链接： Numpy 线性代数

文章目录

矩阵和向量积矩阵乘积

矩阵特征值与特征向量矩阵分解奇异值（SVD）分解QR分解Cholesky分解

范数和其他数字矩阵的范数方阵的行列式矩阵的秩矩阵的迹

解方程和逆矩阵逆矩阵（inverse matrix）求解线性方程组

矩阵和向量积

矩阵乘积

定义内积矩阵乘法相关知识

矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。矩阵乘法证明有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。上面的方程组可以整理成下面的形式。 2. 代码实现计算两个矩阵的乘积，如果是一维数组则是它们的内积。

numpy.dot(a,b,[,out])

【例】

import numpy as np

x = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])

print(x)

y = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])

print(y)

z1 = np.dot(x,y)

z2 = np.dot(y,x)

print(z1)

print(z2)

矩阵特征值与特征向量

定义如果把矩阵看作运动，对于运动而言：特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。资料参考：矩阵特征值和特征向量代码实现

import numpy as np

#创建对角矩阵

x = np.diag((1,2,3))

#计算特征值

y = np.linalg.eigvals(x)

print(y)

#计算特征值和特征向量

a,b = np.linalg.eig(x)

#a是特征值，b是特征向量

print(a)

print(b)

【例】判断对称阵是否为正定阵（特征值是否全部为正）

import numpy as np

A = np.arange(16).reshape(4, 4)

print(A)

#将方阵转换成对称阵

A = A+A.T

print(A)

B = np.linalg.eigvals(A)

print(B)

#判断是不是所有的特征值都大于0

if np.all(B>0):

print('YES')

else:

print('No')

矩阵分解

奇异值（SVD）分解

定义 SVD（Singular Value Decomposition）可以理解为：将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的3个子矩阵的相乘来表示，这3个小矩阵描述了大矩阵重要的特性。代码实现

u, s, v = numpy.linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)

a是一个形如（M,N）矩阵full_matrices的取值是为False或者True，默认值为True，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N)。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。compute_uv的取值是为False或者True，默认值为True，表示计算u,s,v。为False的时候只计算s。总共有三个返回值u,s,v，u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)，a = usv。其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。Numpy中返回的v是通常所谓奇异值分解a=usv’中v的转置。

import numpy as np

A = np.array([[1, 1], [1, -2], [2, 1]])

print(A)

u,s,vh = np.linalg.svd(A,full_matrix = False)

print(u)

print(s)

print(vh)

QR分解

定义 QR（正交三角）分解法是求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。代码实现

q,r = numpy.linalg.qr(a, mode='reduced')

a是一个(M, N)的待分解矩阵。mode = reduced：返回(M, N)的列向量两两正交的矩阵q，和(N, N)的三角阵r（Reduced QR分解）。mode = complete：返回(M, M)的正交矩阵q，和(M, N)的三角阵r（Full QR分解）。

import numpy as np

A = np.array([[2, -2, 3], [1, 1, 1], [1, 3, -1]])

print(A)

q,r = np.linalg.qr(A)

print(q)

print(r)

Cholesky分解

定义 Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的。Cholesky分解法又称平方根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三角分解法的变形。代码实现

L = numpy.linalg.cholesky(a)

【例】

import numpy as np

A = np.array([[1, 1, 1, 1], [1, 3, 3, 3],

[1, 3, 5, 5], [1, 3, 5, 7]])

print(A)

print(np.linalg.eigvals(A))

L = np.linalg.cholesky(A)

print(L)

print(np.dot(L,L.T)

范数和其他数字

矩阵的范数

定义我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

L-P范数 L-P范数不是一个范数，而是一组范数，其定义如下： L0范数当P=0时，也就是L0范数，由上面可知，L0范数并不是一个真正的范数，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。

L1范数 L1范数是我们经常见到的一种范数，它的定义如下： L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。使用L1范数可以度量两个向量间的差异，如绝对误差和（Sum of Absolute Difference）： L2范数

我们用的最多的度量距离欧氏距离就是一种L2范数，它的定义如下：像L1范数一样，L2也可以度量两个向量间的差异，如平方差和（Sum of Squared Difference）: 它主要被用来度量向量元素的最大值

代码实现

numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

根据ord参数的不同，计算不同的范数：【例】求向量的范数。

import numpy as np

x = np.array([1, 2, 3, 4])

#以下均两两为替代操作

print(np.linalg.norm(x,ord = 1)

print(np.sum(np.abs(x)))

print(np.linalg.norm(x,ord =2)

print(np.sum(np.abs(x)**2)**0.5)

#inf：无穷

print(np.linalg.norm(x,ord=-np.inf)

print(np.min(np.abs(x))

print(np.linalg.norm(x,ord = np.inf)

print(np.max(np.abs(x))

【例】求矩阵的范数

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 5, 8],

[1, 3, 5, 7], [3, 4, 7, 11]])

#以下均两两为替代操作

print(np.linalg.norm(A,ord=1)

print(np.max(np.sum(A,axis = 0))

print(np.linalg.norm(A,ord = 2))

print(np.max(np.linalg.svd(A,compete_uv = False)))

print(np.linalg.norm(A, ord=np.inf))

print(np.max(np.sum(A, axis=1)))

print(np.linalg.norm(A, ord='fro'))

print(np.sqrt(np.trace(np.dot(A.T, A))))

方阵的行列式

定义矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|代码实现

numpy.linalg.det(a)

矩阵的秩

定义在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。那些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩。资料参考：矩阵的秩代码实现

numpy.linalg.matrix_rank(M, tol=None, hermitian=False)

矩阵的迹

定义方阵的迹就是主对角元素之和。代码实现

numpy.trace(a, offset=0, axis1=0, axis2=1, dtype=None, out=None)

【例】计算方阵的迹。

import numpy as np

x = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])

print(x)

y = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])

print(y)

# A的迹等于A.T的迹

print(np.trace(x))

print(np.trace(np.transpose(x)))

# 和的迹等于迹的和

print(np.trace(x+y))

print(np.trace(x)+np.trace(y))

解方程和逆矩阵

逆矩阵（inverse matrix）

定义设 A 是数域上的一个 n 阶矩阵，若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B，使得：AB=BA=E（E 为单位矩阵），则我们称 B 是 A 的逆矩阵，而 A 则被称为可逆矩阵。代码实现

numpy.linalg.inv(a)

【例】计算矩阵的逆矩阵。

import numpy as np

A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])

print(A)

# 求A的行列式，不为零则存在逆矩阵

A_det = np.linalg.det(A)

print(A_det)

# 求A的逆矩阵

A_inverse = np.linalg.inv(A)

print(A_inverse)

求解线性方程组

求解线性方程组或矩阵方程。

numpy.linalg.solve(a, b)

【例】求解线性矩阵方程

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]])

b = np.array([7, 7, 18])

x = np.linalg.solve(A, b)

print(x)

x = np.linalg.inv(A).dot(b)

print(x)

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