傅里叶级数 - 用自动控制理论分析斩波电路的基础

把方波展开成傅里叶级数

如果方波输入到一个低通滤波网络中，且基波分量频率就很高了，被衰减得很厉害，高次谐波频率是基波得几倍，更不用说了，于是方波输入到低通滤波网络中相当于一个阶跃信号输入到低通滤波网络中。其他周期信号也是如此。

电感的输入电压可以用傅里叶级数展开

所以，电感输入电压的谐波分量会被衰减，所以当电感输入电压为方波时，可以用阶跃信号近似。

电容的输入电流可以用傅里叶级数展开

bode 图如下

所以，电容输入电流的谐波分量会被衰减，所以当电容输入电流为方波时，可以用阶跃信号近似。

Buck 电路

Buck 电路的电感电流

电感电流传递函数

假设 R=10Ω , L=1e-3H , C=100e-6F

simulink 仿真模块连接图

电感电流总体波形

各部分波形研究

把振荡部分的波形放大看看，如下

方波发生器设置如下

占空比 70%

这部分是最开始的电感平均电流上升阶段，即时间 t=0 时的波形。方波发生器初始状态为高电平。当输入电压为高电平时，电感充能，电流上升，输入电压为低电平时，电感电流基本不变，（因为下降很慢，看不出来。）到了平均电流上升阶段的后期，关断时电感电流下降就比较明显了，如下

下图为第一个电感平均电流下降阶段

再来看看平均电流小于 0 时的波形
可以看到，开通时，斜率为正，反向电流减小，关断时，斜率为负，反向电流增大。
再来看看电流平均值平稳阶段的电感电流波形

放大后

开通时，电感电流上升，关断时，电感电流下降，但总体都大于零，可见是电感电流连续模式。
不要看开通时和关断时的直线长度不一样就认为电感充能，放能不平衡，电感中储存的磁场能量为 E=12LI2E=\dfrac{1}{2}LI^2E=21LI2
该式表明磁场能量只与回路电流最终状态有关，与电流建立的过程无关。

滤波网络的阶跃响应

根据终值定理，阶跃响应下的电感电流稳态值只与电阻值 R 有关。

如图所示，也是振荡后收敛，最后的稳定值为 0.1 ，阶跃信号的幅值也为 1.
到这里就想到方波响应的波形是不是和阶跃响应有什么关系？肯定有的

阶跃响应和方波响应的关系

方波相应和阶跃响应的波形其实是一个相似图形，方波响应平均值曲线就是一个把纵轴幅度缩小了的阶跃响应曲线。
占空比为 70% 时，稳态值变为 0.07，即阶跃响应稳态值的 70% 如下

可见，电感电流连续模式下，占空比为 D ，电感电流稳态值为阶跃响应稳态值的 D 倍。
不信的话再看看占空比 30% 时的波形

稳态值为阶跃响应的 D 倍仍然成立。
而且虽然占空比不同，但最后纹波的峰峰值都一样，即占空比不影响纹波大小。

Buck 电路的输出电压

整体波形

振荡阶段电压波形

电压基本上就是直线上升的，根本看不出下降了

平稳阶段电压波形

当前占空比 30%

滤波网络的单位阶跃响应

阶跃响应下的终值可由终值定理求

可以看出，在方波下的响应的稳态值和阶跃响应的稳态值与占空比有关。阶跃响应稳态为 1 ，在占空比 30% 的方波下的稳态值为 0.3

根据终值定理，阶跃响应终值为阶跃信号幅度。

Buck 电路的电感电流和输出电压波形比较

蓝色的为输出电压波形，黄色的为电感电流波形，红色的为方波。

不要说什么电感电流波动比输出电压大之类的话，电流和电压没法比。

boost 电路

结构图

I 由两项组成，一项是不变的环节，另一项是随着开关管变化的环节。

考虑开关的影响，则结构图如下

cuk 电路

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