通信原理学习笔记6-1：数字解调——基础解调链路、匹配滤波器和AWGN信道最佳接收机

基础的数字解调链路

基础的解调链路由下变频、匹配滤波器、抽样、判决组成

下变频将带通信号变为低通信号
匹配滤波器是为了尽可能滤去噪声，保证抽样时刻的信噪比最大
抽样判决：在合适时刻对接收信号抽样，并且根据门限进行判决

匹配滤波器和AWGN信道最佳接收机

发射信号经过AWGN信道，混入噪声；
接收端下变频后，我们用匹配滤波器尽量减小信道噪声的影响

匹配滤波器：保证输出信号的信噪比最大化
原理：若输入的信号为s(t)s(t)s(t)，那么匹配滤波器为h(t)=s(T−t)h(t)=s(T-t)h(t)=s(T−t)，输出信号在t=Tt=Tt=T时刻采样，可以得到最大的信噪比（因为输出刚好就是输入信号的自相关函数y(t)=∫−∞∞s(τ)h(t−τ)dτ=∫−∞∞s(τ)s(T−t+τ)dτ=Rs(T−t)y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau =\int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) s(T-t+\tau) \mathrm{d} \tau =R_{s}(T-t)y(t)=∫−∞∞s(τ)h(t−τ)dτ=∫−∞∞s(τ)s(T−t+τ)dτ=Rs(T−t)，其中假设s(t)s(t)s(t)各态历经）
可见，匹配滤波器的选择，取决于发送端的成形滤波器的选择
由于要满足Nyquist准则（避免ISI），之前说过发送机的成形滤波器为升余弦滚降滤波器RC
然而，实际中发端的成形滤波器和收端的匹配滤波器不能同时使用RC，因为一个RC能够满足Nyquist准则，两个叠加反而不行

由此，综合考虑无ISI（升余弦滚降滤器）和信噪比最大化（匹配滤波器），得到AWGN信道的最佳接收机：发端成形滤波器使用RRC，而收端匹配滤波器也使用RRC：

平方根升余弦滤波器RCC的时域响应，就是升余弦滤波器RC的平方根
①收发端两个RRC合起来等效于一个RC滤波器，满足奈奎斯特准则，从而无ISI
②发端使用RC滤波器，收端也使用RC滤波器作为匹配滤波器，从而保证信噪比最大
其中，若发射端成形滤波器（RRC）记为g(t)g(t)g(t)，那么接收端的匹配滤波器为g(T−t)g(T-t)g(T−t)，采样判决时刻为TTT

采样判决时刻的选择：

理想情况，接收端可以直接使用与发射端相同的RRC滤波器g(t)g(t)g(t)，这应该理解为T=0T=0T=0的匹配滤波器g(T−t)g(T-t)g(T−t)

实际不能直接用g(t)g(t)g(t)作为匹配滤波器，因为接收端g(t)g(t)g(t)是非因果的，因此实际的匹配滤波器仍然需要一个延时TTT，即g(T−t)g(T-t)g(T−t)，同时采样时刻对应延时TTT
就是说对于任意位置nnn上的一个符号InI_nIn，采样时刻T+nTsT+nT_sT+nTs（在各个符号周期，延迟TTT时刻采样）

系统模型

ps. 实际中的解调链路还需要符号同步模块，用于对准采样判决时刻，在后续文章会提到

整体建模如下（形滤波器使用RRC，记为g(t)g(t)g(t)）：

发射端基带信号s(t)=∑n=−∞∞Ing(t−nTs)s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} I_{n} g\left(t-n T_{s}\right)s(t)=n=−∞∑∞Ing(t−nTs)
其中，在PAM调制下InI_{n}In为实数，在QAM/PSK调制下InI_{n}In为复数（认为是两路实信号，下面只考虑实信号情况，复信号情况可做类似处理）
经过AWGN信道和下变频，接收端基带信号r(t)=s(t)+n(t)r(t)=s(t)+n(t)r(t)=s(t)+n(t)

由于上面说过，匹配滤波器也使用RRC，两个RRC合并可以实现无ISI，因此下面无需考虑多个符号，只考虑一个符号的情况，即下面只考虑任意位置nnn上的一个符号InI_nIn

在发射端s(t)=Ing(t−nTs)s(t)=I_ng(t-nT_s)s(t)=Ing(t−nTs)
经过AWGN信道，叠加噪声r(t)=Ing(t−nTs)+n(t)r(t)=I_ng(t-nT_s)+n(t)r(t)=Ing(t−nTs)+n(t)
经过匹配滤波器g(T−t)g(T-t)g(T−t)（如前面采样时刻部分所述，实际的匹配滤波器仍然需要一个延时TTT）
根据x(t)∗y(t)=∫−∞∞x(τ)y(t−τ)dτx(t)*y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)y(t-\tau)d\taux(t)∗y(t)=∫−∞∞x(τ)y(t−τ)dτ
当y(t)=g(T−t)时y(t)=g(T-t)时y(t)=g(T−t)时x(t)∗y(t)=∫−∞∞x(τ)g[T−(t−τ)]dτx(t)*y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)g[T-(t-\tau)]d\taux(t)∗y(t)=∫−∞∞x(τ)g[T−(t−τ)]dτ，则有
y(t)=r(t)∗g(T−t)=In∫−∞∞g(τ−nTs)g[T−(t−τ)]dτ+∫−∞∞n(τ)g[T−(t−τ)]dτy(t)=r(t)*g(T-t)=I_{n} \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau-nT_s)g[T-(t-\tau)] \mathrm{d} \tau+\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) g[T-(t-\tau)] \mathrm{d} \tauy(t)=r(t)∗g(T−t)=In∫−∞∞g(τ−nTs)g[T−(t−τ)]dτ+∫−∞∞n(τ)g[T−(t−τ)]dτ
采样时刻：对于任意位置nnn上的一个符号InI_nIn，采样时刻T+nTsT+nT_sT+nTs
采样后的结果
y(T+nTs)=In∫−∞∞g2(τ−nTs)dτ+∫−∞∞n(τ)g(τ−nTs)dτy(T+nT_s)=I_{n} \int_{-\infty}^{\infty} g^{2}(\tau-nT_s) \mathrm{d} \tau+\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) g(\tau-nT_s) \mathrm{d} \tauy(T+nTs)=In∫−∞∞g2(τ−nTs)dτ+∫−∞∞n(τ)g(τ−nTs)dτ
忽略其中的系数Eg=∫−∞∞g2(τ−nTs)dτ\mathcal{E}_{g}= \int_{-\infty}^{\infty} g^{2}(\tau-nT_s) \mathrm{d} \tauEg=∫−∞∞g2(τ−nTs)dτ，即上式除以Eg\mathcal{E}_{g}Eg
则采样后得到的一个符号YnY_nYn可以简记为：Yn=In+nn，其中nn=∫−∞∞n(τ)g(τ−nTs)dτEgY_{n}=I_{n}+n_{n}，其中n_n=\frac{\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) g(\tau-nT_s) \mathrm{d} \tau}{\mathcal{E}_{g}}Yn=In+nn，其中nn=Eg∫−∞∞n(τ)g(τ−nTs)dτ

注意，上面其实还默认忽略了匹配滤波器kg(T−t)kg(T-t)kg(T−t)的增益系数kkk，我们忽略这些无关紧要的系数，因为后续的信道估计可以估计出整个信道的总体等效增益，这些系数的差别也隐含在信道增益中

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