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伯努利分布

　　如果随机试验仅有两个可能的结果，那么这两个结果可以用0和1表示，此时随机变量X将是一个0/1的变量，其分布是单个二值随机变量的分布，称为伯努利分布。注意伯努利分布关注的是结果只有0和1，而不管观测条件是什么。

性质

　　设p是随机变量等于1的概率，伯努利分布有一些特殊的性质：

　　将上面的两个式子合并：

　　伯努利变量是离散型，并且是一个0/1变量，它的数学期望是：

　　方差是：

极大似然

　　最大似然估计(概率10)

　　对于伯努利分布的质量函数来说，p是唯一的参数。如果给定N个独立同分布的样本 {x(1), x(2), ……, x(N)}，x(t)是投硬币的结果，是随机变量，x(t)ϵ{0, 1}，可以通过极大似然估计，根据样本推测出p的取值：

　　取对数似然函数：

　　这是个符合直觉的结果，即使没学过概率和极大似然也能得出这个结论。

二项分布

　　假设某个试验是伯努利试验，成功概率用p表示，那么失败的概率为1-p。现在进行了N次这样的试验，成功了x次，失败了N-x次，发生这种情况的概率是多少？

质量函数

　　对于每次实验来说，成功的概率都是p，失败的概率是1-p。假设已经完成了N次试验，并且前x次都成功了，后N-x次都失败了：

　　x次成功的情况当然不止一种，比如成功和失败交叉在一起：

　　这种成功和失败的排列顺序共有种不同的情况，因此对于任意N次伯努利试验，成功了x次的概率是：

　　的另一种记法是。

　　P(x)就是二项分布的质量函数，是N次伯努利试验中取得x次成功的概率。

性质

　　二项分布的均值和方差分别为Np和Np(1-p)。

　　从二项分布的质量函数P(x)可知，概率分布只与试验次数N和成功概率p有关，p越接近0.5，二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数N不变，随着成功概率p逐渐接近0.5，二项分布逐渐对称，且近似于均值为Np、方差为Np(1-p)的正态分布：

多项分布

　　多项分布是二项分布的扩展，其中随机试验的结果不是两种状态，而是K种互斥的离散状态，每种状态出现的概率为pi，p1 + p1 + … + pK = 1，在这个前提下共进行了N次试验，用x1~xK表示每种状态出现次数，x1 + x2 + …+ xK = N，称X=(x1, x2, …, xK)服从多项分布，记作X~PN(N：p1, p2,…,pn)。

质量函数

　　如果说二项分布的典型案例是扔硬币，那么多项分布就是扔骰子。骰子有6个不同的点数，扔一次骰子，每个点数出现的概率（对应p1~p6）都是1/6。重复扔N次，6点出现x次的概率是：　　

　　这和二项分布的质量函数类似。现在将问题扩展一下，扔N次骰子，1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是多少？

　　仍然和二项式类似，假设前x1次都是1点，之后的x2次都是2点……最后x6次都是6点：

　　1~6出现次数分别是x1~x6的情况不止一种，1点出现x1次的情况有种；在1点出现x1次的前提下，2点出现x2次的情况有种；在1点出现x1次且2点出现x2次的前提下，3点出现x3的情况有种……扔N次骰子，1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是：

　　根据①：

　　最终，扔骰子的概率质量函数是：

　　把这个结论推广到多项分布：某随机实验如果有K种可能的结果C1~CK，它们出现的概率是p1~pK。在N随机试验的结果中，分别将C1~CK的出现次数记为随机变量X1~XK，那么C1出现x1次、C2出现x2次……CK出现xK次这种事件发生的概率是：

　　其中x1 + x2 + …+ xK = N，p1 + p2 + …+ pK = 1。

极大似然

　　多项式的极大似然是指在随机变量X1=x1, X2=x2, ……, XK=xK时，最可能的p1~pK。

　　对数极大似然：

　　现在问题变成了求约束条件下的极值：

　　根据拉格朗日乘子法：

　　寻找“最好”（3）函数和泛函的拉格朗日乘数法

　　根据约束条件：

　　这也是个符合直觉的结论。面对有N个样本的K分类数据集，当pi = xi/N 时，Ci类最可能出现xi次。为了这个结论我们却大费周章，也许又有人因此而嘲笑概率简单了……

　　出处：微信公众号 "我是8位的"

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