通信原理学习笔记6-2：数字解调—

采样

根据6-1的推导：在无ISI时，任意位置nnn上的一个符号InI_nIn，经过AWGN信道、匹配滤波器、采样后，得到符号YnY_{n}YnYn=In+nnY_{n}=I_{n}+n_{n}Yn=In+nn

其中，nnn_{n}nn为离散高斯白噪声，原因：
高斯白噪声n(t)n(t)n(t)经过匹配滤波器g(T−t)g(T-t)g(T−t)，得到带限高斯白噪声nB(t)=∫−∞∞n(τ)g[t−(T−τ)]dτn_B(t)=\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) g[t-(T-\tau)] \mathrm{d} \taunB(t)=∫−∞∞n(τ)g[t−(T−τ)]dτ
带限高斯白噪声nB(t)n_B(t)nB(t)在T+nTsT+nT_sT+nTs时刻采样得到离散高斯白噪声nnn_{n}nn（自相关函数满足Rnn[n]=N02δ[n]R_{n n}[n]=\frac{N_{0}}{2} \delta[n]Rnn[n]=2N0δ[n]，故噪声方差/功率谱密度N0/2N_0/2N0/2）

实际的解调链路（带有符号同步）

比上面的基础链路更加详细的解调原理框图如下

其中主要是增加了载波恢复和符号同步两个模块

实现中的问题：载波恢复和符号同步

实际中应该考虑信道延迟的问题
发射的射频信号sRF(t)=Re{s(t)ej2πfct}s_{RF}(t)=Re\{s(t)e^{j2\pi f_ct}\}sRF(t)=Re{s(t)ej2πfct}
经过了信道延迟τ\tauτ后，接收到的射频信号rRF(t)=sRF(t−τ)+nRF(t)=Re{s(t−τ)ej2πfc(t−τ)+n(t)ej2πfct}r_{RF}(t)=s_{RF}(t-\tau)+n_{RF}(t)\\=Re\{s(t-\tau)e^{j2\pi f_c(t-\tau)}+n(t)e^{j2\pi f_ct}\}rRF(t)=sRF(t−τ)+nRF(t)=Re{s(t−τ)ej2πfc(t−τ)+n(t)ej2πfct}提取其中的高频载波项rRF(t)=Re{[s(t−τ)+n(t)ej2πfcτ]ej2πfc(t−τ)}=Re{[s(t−τ)+n(t)e−jϕ]ej(2πfct+ϕ)},其中ϕ=−2πfcτr_{RF}(t)=Re\{[s(t-\tau)+n(t)e^{j2\pi f_c\tau}]e^{j2\pi f_c(t-\tau)}\}\\=Re\{[s(t-\tau)+n(t)e^{-j\phi}]e^{j(2\pi f_ct+\phi)}\},其中\phi=-2\pi f_c \taurRF(t)=Re{[s(t−τ)+n(t)ej2πfcτ]ej2πfc(t−τ)}=Re{[s(t−τ)+n(t)e−jϕ]ej(2πfct+ϕ)},其中ϕ=−2πfcτ

也就是说，信道延迟τ\tauτ的影响有两方面：

一方面要求下变频时，接收端的高频载波需要对准相位ϕ\phiϕ；（只需改变相位，频率不变）
这实际上就是载波恢复问题，之前在模拟系统中，已经讨论过，载波恢复由平方环和Costas环等实现
另一方面，恢复后的基带信号存在时延τ\tauτ，需要相应的改变抽样判决时刻为nTs+τnT_s+\taunTs+τ
我们需要估计信道的延迟τ\tauτ（未知），并且在nTs+τnT_s+\taunTs+τ时刻抽样判决，这就是符号同步问题。下面讨论符号同步的具体实现方

注意：
虽然上面说过ϕ=−2πfcτ\phi=-2\pi f_c \tauϕ=−2πfcτ，但是ϕ\phiϕ和τ\tauτ在实际中知道一个不能求另一个，是两个不同的参数，“载波恢复”和“符号同步”两个步骤不能合二为一
原因：
基带信号载波相对而言频率低，因此对ϕ\phiϕ的精度要求远高于时延τ\tauτ，知道τ\tauτ也无法推出ϕ\phiϕ；
另外，由于发射机和接收机的振荡器都存在频率漂移，振荡频率fcf_cfc无法做到一致，即使获得了高精度的τ\tauτ，带入ϕ=−2πfcτ\phi=-2\pi f_c \tauϕ=−2πfcτ求ϕ\phiϕ也没有任何意义
综上所述，“载波恢复”的步骤必须独立进行，它和符号同步是两个不同的功能

符号同步：判决反馈的符号同步方法

由上，载波恢复后的基带信号带有时延：r(t)=s(t−τ)+n(t)e−jϕr(t)=s(t-\tau)+n(t)e^{-j\phi}r(t)=s(t−τ)+n(t)e−jϕ,其中s(t−τ)=∑n=−∞∞Ing(t−nTs−τ)s(t-\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} I_{n} g\left(t-n T_{s}-\tau\right)s(t−τ)=n=−∞∑∞Ing(t−nTs−τ)

我们希望估计出τ\tauτ，并在nTs+τnT_s+\taunTs+τ时刻抽样判决

思路是：不在意如何得到τ\tauτ，而是假设已经进行了最佳的符号同步，并从统计角度推导此时的约束

复习：
对于模型Y=H{s(X)}+n\boldsymbol{Y}=H\{\boldsymbol{s}(\boldsymbol{X})\}+\boldsymbol{n}Y=H{s(X)}+n，当噪声n\boldsymbol{n}n为高斯分布时，最大似然准则ML等价于最小二乘准则LS
也就是说，条件概率pY∣X(Y∣X)=(12πσ)Ne−∣Y−H{s(X)}∣2/2σ2p_{\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}}(\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X})=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\right)^{N} \mathrm{e}^{-|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2} / 2 \sigma^{2}}pY∣X(Y∣X)=(2πσ1)Ne−∣Y−H{s(X)}∣2/2σ2最大，
等价于似然函数Λ(X)=exp⁡{−∣Y−H{s(X)}∣2/2σ2}\Lambda(\boldsymbol{X})=\exp \left\{-|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2} / 2 \sigma^{2}\right\}Λ(X)=exp{−∣Y−H{s(X)}∣2/2σ2}最大，
也等价于损失函数L(X)=∣Y−H{s(X)}∣2L(\boldsymbol{X})=|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2}L(X)=∣Y−H{s(X)}∣2最小，即最小二乘准则

对于这里的模型r(t)=s(t−τ)+n(t)e−jϕr(t)=s(t-\tau)+n(t)e^{-j\phi}r(t)=s(t−τ)+n(t)e−jϕ，
最大似然准则，要使似然函数Λ(τ)=exp⁡{−1N0∫T0∣r(t)−s(t−τ)∣2dt}\Lambda(\tau)=\exp \left\{-\frac{1}{N_{0}} \int_{T_{0}}|r(t)-s(t-\tau)|^{2} \mathrm{~d} t\right\}Λ(τ)=exp{−N01∫T0∣r(t)−s(t−τ)∣2 dt}最大
在高斯噪声夏，等价为最小二乘准则，要使损失函数L(τ)=∫T0∣r(t)−s(t−τ)∣2dtL(\tau)=\int_{T_{0}}|r(t)-s(t -\tau)|^{2} \mathrm{~d} tL(τ)=∫T0∣r(t)−s(t−τ)∣2 dt最小
展开损失函数得到L(τ)=∫T0[r(t)−s(t−τ)][r∗(t)−s∗(t−τ)]dt=∫T0∣r(t)∣2+∣s(t−τ)∣2−[r(t)s∗(t−τ)+r∗(t)s(t−τ)]dt=∫T0∣r(t)∣2+∣s(t−τ)∣2−ℜ[r(t)]ℜ[s(t−τ)]−ℑ[r(t)]ℑ[s(t−τ)]dt\begin{aligned} L(\tau)=& \int_{T_{0}}[r(t)-s(t - \tau)]\left[r^{*}(t)-s^{*}(t - \tau)\right] \mathrm{d} t \\ =& \int_{T_{0}}|r(t)|^{2}+|s(t - \tau)|^{2}-\left[r(t) s^{*}(t - \tau)+r^{*}(t) s(t - \tau)\right] \mathrm{d} t \\ =& \int_{T_{0}}|r(t)|^{2}+|s(t - \tau)|^{2}-\Re[r(t)]\Re[s(t-\tau)]-\Im[r(t)]\Im[s(t-\tau)] \mathrm{d} t \\ \end{aligned}L(τ)===∫T0[r(t)−s(t−τ)][r∗(t)−s∗(t−τ)]dt∫T0∣r(t)∣2+∣s(t−τ)∣2−[r(t)s∗(t−τ)+r∗(t)s(t−τ)]dt∫T0∣r(t)∣2+∣s(t−τ)∣2−ℜ[r(t)]ℜ[s(t−τ)]−ℑ[r(t)]ℑ[s(t−τ)]dt
前两项是确定值，因此使L(τ)L(\tau)L(τ)最小，等价于使ΛL(τ)=∫T0ℜ[r(t)]ℜ[s(t−τ)]+ℑ[r(t)]ℑ[s(t−τ)]dt\Lambda_{L}(\tau)= \int_{T_{0}}\Re[r(t)]\Re[s(t-\tau)]+\Im[r(t)]\Im[s(t-\tau)] \mathrm{d} tΛL(τ)=∫T0ℜ[r(t)]ℜ[s(t−τ)]+ℑ[r(t)]ℑ[s(t−τ)]dt最大
带入s(t−τ)=∑n=−∞∞Ing(t−nTs−τ)s(t-\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} I_{n} g\left(t-n T_{s}-\tau\right)s(t−τ)=∑n=−∞∞Ing(t−nTs−τ)得到ΛL(τ)=∫T0ℜ[r(t)]∑nℜ[In]g(t−nTs−τ)dt+∫T0ℑ[r(t)]∑nℑ[In]g(t−nTs−τ)dt=∑nℜ[In]∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt+∑nℑ[In]∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt=∑n[ℜ[In]ynℜ(τ)+ℑ[In]ynℑ(τ)]其中，ynℜ(τ)=∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dtynℑ(τ)=∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt\begin{aligned} \Lambda_{L}(\tau) &=\int_{T_{0}} \Re[r(t)] \sum_{n} \Re\left[I_{n}\right] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} t+\int_{T_{0}} \Im[r(t)] \sum_{n} \Im\left[I_{n}\right] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} t \\ &=\sum_{n} \Re\left[I_{n}\right] \int_{T_{0}} \Re[r(t)] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} t+\sum_{n} \Im\left[I_{n}\right] \int_{T_{0}} \Im[r(t)] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} t \\ &=\sum_{n}\left[\Re\left[I_{n}\right] y_{n \Re}(\tau)+\Im\left[I_{n}\right] y_{n \Im}(\tau)\right] \\ 其中，y_{n \Re}(\tau) &=\int_{T_{0}} \Re[r(t)] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} t \\y_{n \Im}(\tau) &=\int_{T_{0}} \Im[r(t)] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} t \end{aligned}ΛL(τ)其中，ynℜ(τ)ynℑ(τ)=∫T0ℜ[r(t)]n∑ℜ[In]g(t−nTs−τ)dt+∫T0ℑ[r(t)]n∑ℑ[In]g(t−nTs−τ)dt=n∑ℜ[In]∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt+n∑ℑ[In]∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt=n∑[ℜ[In]ynℜ(τ)+ℑ[In]ynℑ(τ)]=∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt=∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt
ΛL(τ)\Lambda_{L}(\tau)ΛL(τ)取最大的充分条件为：dΛL(τ)dτ=∑n[ℜ[In]dynℜ(τ)dτ+ℑ[In]dynℑ(τ)dτ]=0\frac{d \Lambda_{L}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}=\sum_{n}\left[\Re\left[I_{n}\right] \frac{\mathrm{d} y_{n \Re}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}+\Im\left[I_{n}\right] \frac{\mathrm{d} y_{n \Im}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}\right]=0dτdΛL(τ)=∑n[ℜ[In]dτdynℜ(τ)+ℑ[In]dτdynℑ(τ)]=0

由上述推导，得到判决反馈的符号同步原理框图：

上面推导中的ynℜ(τ)=∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dty_{n \Re}(\tau) =\int_{T_{0}} \Re[r(t)] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} tynℜ(τ)=∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt和ynℑ(τ)=∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dty_{n \Im}(\tau) =\int_{T_{0}} \Im[r(t)] g\left(t-n T_{s}-\tau\right) \mathrm{d} tynℑ(τ)=∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt，从表达式可见，分别对应基带信号r(t)r(t)r(t)的I路/Q路经过匹配滤波器g(T−τ)g(T-\tau)g(T−τ)后的结果
图中存在一个类似于锁相环的环路，保证了dΛL(τ)dτ=∑n[ℜ[In]dynℜ(τ)dτ+ℑ[In]dynℑ(τ)dτ]=0\frac{d \Lambda_{L}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}=\sum_{n}\left[\Re\left[I_{n}\right] \frac{\mathrm{d} y_{n \Re}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}+\Im\left[I_{n}\right] \frac{\mathrm{d} y_{n \Im}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}\right]=0dτdΛL(τ)=∑n[ℜ[In]dτdynℜ(τ)+ℑ[In]dτdynℑ(τ)]=0条件成立
当采样时刻正确，加法器输出接近于0；否则，加法器的非零输出控制压控时钟VCC，从而调制采样时刻（直到加法器输出接近于0）
要注意，这里用到了符号InI_nIn，因此需要将解调出来的符号InI_nIn反馈给符号同步模块，故称为“判决反馈的符号同步方法”，当然，在判决存在错误时本方法性能下降。
压控时钟VCC：就是在VCO输出正弦信号的基础上，将其整形为同频同相的方波，并用于控制抽样时刻
加法器实际上用LPF实现

符号同步：无判决反馈的符号同步方法

为了摆脱对于信息符号的依赖，将似然函数对将信息符号做统计评价，得到平均的似然函数，并经过一系列处理得到简洁的似然函数Λ~L(τ)≈∑nyn′2(τ)\tilde{\Lambda}_{L}(\tau) \approx \sum_{n} y_{n}^{\prime 2}(\tau)Λ~L(τ)≈n∑yn′2(τ)其中，y2n′(τ)=2ynℜ(τ),n=0,1,⋯,N−1,y2n+1′(τ)=2ynℑ(τ),n=0,1,⋯,N−1y_{2 n}^{\prime}(\tau)=2 y_{n \Re}(\tau), n=0,1, \cdots, N-1 ,\quad y_{2 n+1}^{\prime}(\tau)=2 y_{n \Im}(\tau), n=0,1, \cdots, N-1y2n′(τ)=2ynℜ(τ),n=0,1,⋯,N−1,y2n+1′(τ)=2ynℑ(τ),n=0,1,⋯,N−1
上式取得极大值的充分条件：dΛ~L(τ)dτ=0\frac{d \tilde{\Lambda}_{L}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}=0dτdΛ~L(τ)=0
实现时，又可以写为两种形式：

∑ndyn′2(τ)dτ=0\sum_{n} \frac{\mathrm{d} y_{n}^{\prime 2}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}=0∑ndτdyn′2(τ)=0，原理框图如下
∑nyn′(τ)dyn′(τ)dτ=0\sum_{n} y_{n}^{\prime}(\tau) \frac{\mathrm{d} y_{n}^{\prime}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}=0∑nyn′(τ)dτdyn′(τ)=0，原理框图如下

ps. 图中只画出了I路信号，Q路处理方式与之相同

与载波恢复技术对比：
第一种类似于载波恢复中的平方环
第而种类似于载波恢复中的Costas环
区别是，载波恢复中，微分的结果是相移π/2\pi/2π/2，而这里用了显式的微分表达；另外，这里的加法器起到了环路滤波器的作用