通信原理学习笔记6-5：数字解调——译码的硬判决与软判决

卷积码的Viterbi译码、LDPC的译码，都有两种方式：硬判决（hard decision）与软判决（soft decision）

硬判决

硬判决就是将信号波形与判决门限比较，数字解调器的输出（即后一级译码器的输入）只有0和1两种结果。
硬判决的依据是不同序列之间的汉明距离，适用于二进制对称信道（BSC）

软判决

软判决中，数字解调器的输出（即后一级译码器的输入）不是0或1，而是对数似然比LLR（log-likelihood ratio），也即所谓的“软信息”（它提供了关于不同判决可靠性的额外概率信息，从而可以用于衡量判决的可靠性）
软判决的依据是不同序列之间的软距离/欧式距离，适用于离散无记忆信道(DMC)

硬判决与软判决的一个具体例子：从奇偶校验编码来描述硬判决和软判决的区别

并且，和硬判决不同的是，软判决的信号检测有两个主要部分：

信号检测器，其输出是一个软判决值(LLR)
ps. “检测”就是对频率选择性信道所引入的ISI进行补偿，特别的，线性方式的检测也成为“均衡”
软输入软输出(SISO)信道解码器，此模块应用了LLR中的软信息，从而相较于硬判决提供了增益

对数似然比LLR

考虑BPSK调制（0->+1，1->-1），则符号 X \boldsymbol{X} X的对数似然比LLR Λ ( X ) \Lambda(\boldsymbol{X}) Λ(X)可以通过后验概率APP计算得到：
Λ ( X ) = l o g P ( X = 1 ∣ Y ) P ( X = − 1 ∣ Y ) \Lambda(\boldsymbol{X})=log\frac{P(\boldsymbol{X}=1 \mid \boldsymbol{Y})}{P(\boldsymbol{X}=-1 \mid \boldsymbol{Y})} Λ(X)=logP(X=−1∣Y)P(X=1∣Y)

为何要取对数？对数运算下，乘除法变加减法，从而方便比较分子和分母大小：
Λ ( X ) > = 0 \Lambda(\boldsymbol{X})>=0 Λ(X)>=0说明 P ( X = 1 ∣ Y ) P(\boldsymbol{X}=1 \mid \boldsymbol{Y}) P(X=1∣Y)更大，
Λ ( X ) < 0 \Lambda(\boldsymbol{X})<0 Λ(X)<0说明 P ( X = − 1 ∣ Y ) P(\boldsymbol{X}=-1 \mid \boldsymbol{Y}) P(X=−1∣Y)更大
则解码器可以将 Λ ( X ) \Lambda(\boldsymbol{X}) Λ(X)和0作比较，从而判决（LLR>=0->0，LLR<0->1)
并且， Λ ( X ) \Lambda(\boldsymbol{X}) Λ(X)的幅值带有一种概率信息，指示了判决估计的可靠程度（幅值越大，说明分子分母的差距越大）

软判决的准确性不是体现在其符号的正负，而是体现在其幅度是否能真实反映接收信号为比特1或是比特0的概率大小，进而被信道译码所利用

LLR的计算中，需要用到后验概率APP，而后验概率在一定前提下转化为欧氏距离的计算，因此我们说：硬判决下分支度量采用汉明距离，而软判决下分支度量采用欧式距离
推导过程类似上一篇文章的“从MAP到最小欧氏距离的等价推导”：

回顾：在一定前提下，MAP准则等价于最小欧式距离准则
接收到码字 X \boldsymbol X X时，判决时希望其后验概率APP(A Posteriori Probability)最大化，即最大后验概率准则MAP，MAP下码字的估计 X ^ \hat{\boldsymbol{X}} X^为： X ^ = arg ⁡ max ⁡ X p X ∣ Y ( X ∣ Y ) \hat{\boldsymbol{X}} =\operatorname{arg} \max _{\boldsymbol{X}} p_{\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{Y}) X^=argXmaxpX∣Y(X∣Y)
所有码字等概发送时，MAP准则等价于最大似然准则ML： X ^ = arg ⁡ max ⁡ X p Y ∣ X ( Y ∣ X ) \hat{\boldsymbol{X}} =\arg \max _{\boldsymbol{X}} p_{\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}}(\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}) X^=argXmaxpY∣X(Y∣X)
当噪声为高斯分布，ML等价于最小二乘准则LS：
X ^ = arg ⁡ max ⁡ X ∣ Y − H { s ( X ) } ∣ 2 \hat{\boldsymbol{X}} =\operatorname{arg} \max _{\boldsymbol{X}}|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2} X^=argXmax∣Y−H{s(X)}∣2在符号的复平面上，这就最终转化为了最小欧式距离准则

最后注意，理论上LLR是一个模拟量，但实际中考虑到硬件问题，仍需要将LLR量化为有限电平

从量化角度理解，硬判决是一级量化（0或1两种电平量化），而软判决可认为多级量化（软判决输出的是模拟量，实现为多电平量化），因此软判决虽然更复杂，但性能优于硬判决（例如，软判决中采用3比特电平的量化，相较于硬判决能带来约2dB的性能增益）

LLR计算举例

参考：《MIMO-OFDM无线通信技术及MATLAB实现》的第11.7节

首先将格雷码16-QAM星座图拆分为四个比特位的星座图

将第 l l l位为1和0的符号集，分别记作 S l + S_l^+ Sl+和 S l − S_l^- Sl−
对于第 l l l个比特位，计算其LLR表达式（分子分母为后验概率，取对数做比较）：

上面的计算，展示了LLR的计算是如何从后验概率的计算一步步化为欧式距离的计算的（但是已经变为Approximate LLR）

说明：LLR还分为Exact LLR（准确值）和Approximate LLR（近似处理结果，容易计算，但有精度损失）
公式（11.82）中，约等于号前后的两个式子，分别对应Exact LLR和Approximate LLR

最终，使用欧氏距离来判定LLR值：对每一个接收符号而言，其LLR就是在比较 [该符号到最近 S l + S_l^+ Sl+元素的距离] 和 [该符号到最近 S l − S_l^- Sl−元素的距离]

refer:
《LTE/LTE advanced——UMTS 长期演进理论与实践》
移动通信基础（7）软判决
什么是hard decision &soft decision