1. 向量空间和子空间(复习)

向量空间指的是向量的线性运算在该空间中是封闭的。

向量空间是对于线性运算封闭的向量集合。即对于空间中的任意向量 vvv 和www，其和 v+wv+wv+w 和数乘 cvcvcv 必属于该空间；换而言之对于任何实数 ccc 和ddd，线性组合 cv+dwcv+dwcv+dw必属于该空间。

R1R^1R1、R2R^2R2，R3R^3R3……都是重要的向量空间，RnR^nRn 代表的空间包含所有具有 n 个分量的向量。其中字母 RRR 表明分量均为实数。

子空间为包含于向量空间内的一个向量空间。它是原向量空间的一个子集，而且本身也满足向量空间的要求。但是“子空间”和“子集”的概念有区别，所有元素都在原空间之内就可称之为子集，但是要满足对线性运算封闭的子集才能成为子空间。

如果PPP是平面，LLL是直线，那么可知：

P∪LP \cup LP∪L（union）通常并不是R3R^3R3 的子空间。

P∩LP\cap LP∩L（intersection）是R3R^3R3子空间的特例——0 空间，只有零向量。

任意子空间SSS和TTT的交集都是子空间，可以通过SSS 和TTT本身对线性组合封闭来证明。、

2. 列空间 Column space

矩阵 AAA 的列空间 C(A)C(A)C(A)是其列向量的所有线性组合所构成的空间。

求解 Ax=bAx=bAx=b 的问题，对于给定的矩阵 AAA，对于任意的bbb 都能得到解么？

A=[112213314415]A=\left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 3 } \\ { 3 } & { 1 } & { 4 } \\ { 4 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]A=⎣⎢⎢⎡123411112345⎦⎥⎥⎤

显然并不是所有的 bbb 都能保证Ax=bAx=bAx=b 有解，因为它有 4 个线性方程而只有3个未知数，矩阵AAA列向量(3个列向量)的线性组合无法充满 R4R^4R4，因此如果 bbb不能被表示为AAA 列向量的线性组合时，方程是无解的。只有当bbb在矩阵AAA 列空间 C(A)C(A)C(A)里时，xxx 才有解。

列空间是非常重要的概念，它能告诉方程组何时是有解的。

对于我们所给定的矩阵 AAA，由于列向量不是线性无关的，第三个列向量为前两个列向量之和，所以尽管有 3 个列向量，但是只有 2 个对向量空间有贡献，这两个列向量称为是pivot columns。矩阵 AAA的列空间为R4R^4R4 内的一个二维子空间。

3. 零空间 Nullspace

矩阵 A 的零空间 N(A)是指满足Ax=0Ax=0Ax=0的所有解的集合。对于所给定这个矩阵AAA，其列向量含有 4 个分量，因此列空间是空间 R4R^4R4 的子空间，xxx 为含有 3 个分量的向量，故矩阵AAA 的零空间是R3R^3R3 的子空间。对于m∗nm*nm∗n 矩阵，列空间为 RmR^mRm 的子空间，零空间为RnR^nRn空间的子空间。

本例中矩阵 A 的零空间 N(A)N(A)N(A)为包含[11−1]\left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right]⎣⎡11−1⎦⎤的任何倍数的集合，因为很容易看到第一列向量（1）和第二列向量（1）相加减去第三列向量（-1）为零。此零空间为R3R^3R3中的一条直线。

为了验证 Ax=0Ax=0Ax=0 的解集是一个向量空间，我们可以检验它是否对线性运算封闭。若vvv和 www为解集中的元素，则有：

A(v+w)=Av+Aw=0+0=0A(v+w)=Av+Aw=0+0=0A(v+w)=Av+Aw=0+0=0

A(cv)=cAv=0A(cv)=cAv=0A(cv)=cAv=0

因此可证 N(A)N(A)N(A)确实是 RnR^nRn 空间的一个子空间。

b 值的影响 Other values of b，若方程变为：
[112213314415][x1x2x3]=[1234]\left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 3 } \\ { 3 } & { 1 } & { 4 } \\ { 4 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 3 } \\ { 4 } \end{array} \right]⎣⎢⎢⎡123411112345⎦⎥⎥⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎢⎢⎡1234⎦⎥⎥⎤

则其解集不能构成一个子空间。零向量并不在这个集合内。解集是空间 R3R^3R3 内过[100]\left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]⎣⎡100⎦⎤和[0−11]\left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { -1 } \\ { 1 } \end{array} \right]⎣⎡0−11⎦⎤的一个平面，但是并不穿过原点[000]\left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]⎣⎡000⎦⎤。

本讲给出了关于矩阵的两种子空间，同时给出了两种构造子空间的方法。对于列空间，它是由列向量进行线性组合张成的空间；而零空间是从方程组出发，通过让xxx 满足特定条件而得到的子空间。

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