本节将引入向量空间（vector spaces）和子空间（subspaces）。

文章目录

1. 置换 Permutations
2. 转置 Transposes
- 2.1 对称矩阵 Symmetric
- 2.2 证明：置换矩阵的逆矩阵等于置换矩阵的转置矩阵
3. 向量空间 Vector spaces
4. 子空间 Subspaces
- 4.1 R2R^2R2的子空间
- 4.2 R3R^3R3的子空间
5. 列空间 Column spaces

1. 置换 Permutations

当应用消元法求解方程组的时候我们需要通过行交换将 0 从主元位置移走。左乘一个置换矩阵可以实现行交换的操作。（在Matlab 中，更进一步的是会对接近于0的非零主元进行行交换），因此对于可逆矩阵的LU分解：从A=LUA=LUA=LU 变为 PA=LUPA=LUPA=LU。其中的 PPP 就是对AAA的行向量进行重新排序的置换矩阵。

置换矩阵PPP 是通过对单位阵进行“行交换”得到的。对于 n∗nn*nn∗n 矩阵存在着 n!n!n!个置换矩阵。置换矩阵具有特殊性质P−1=PTP^{-1}=P^TP−1=PT，即 PTP=IP^TP=IPTP=I。

举例来说，矩阵A为：
(010001100)\begin{gathered} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{gathered} ⎝⎛001100010⎠⎞

逆矩阵则为：
(001100010)\begin{gathered} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{gathered} ⎝⎛010001100⎠⎞

如果换种解法来求解，比如每次只考虑两行的交换呢？对于上述矩阵A而言，容易得到E23E13A=IE_{23}E_{13}A=IE23E13A=I，那么逆矩阵则为E23E13E_{23}E_{13}E23E13。

2. 转置 Transposes

矩阵AAA的转置矩阵记为ATA^TAT，对矩阵进行转置就是将AAA矩阵的行变为ATA^{T}AT的列，则完成后 AAA的列也就成为了ATA^{T}AT的行，看起来矩阵如同沿着对角线进行了翻转。

其数学表达式为(AT)ij=Aji(A^T)_{ij}=A_{ji}(AT)ij=Aji，即 ATA^{T}AT的第iii行jjj列的元素为原矩阵AAA中第jjj行iii列的元素。

2.1 对称矩阵 Symmetric

对称矩阵必然是方阵，并且满足：
AT=AA^T=AAT=A

给定一个矩阵RRR，RRR可以不是方阵，则乘积 RTRR^{T}RRTR 一定是对称阵。
(RTR)T=RT(RT)T=RTR(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR(RTR)T=RT(RT)T=RTR

2.2 证明：置换矩阵的逆矩阵等于置换矩阵的转置矩阵

假设置换矩阵可以表示成多个矩阵的乘积P=Pm∗⋯∗P1P=P_m*\dots*\ P_1P=Pm∗⋯∗ P1（公式一），其中P1,…,PmP_1,\dots, P_mP1,…,Pm每个矩阵都是置换矩阵中的对称矩阵（即只表示对其中两行进行交换的矩阵，所以它们为对称阵）。那么对公式一两边求逆矩阵，则得：
P−1=P1−1∗⋯∗Pm−1P^{-1}=P_1^{-1}*\dots*\ P_m^{-1}P−1=P1−1∗⋯∗ Pm−1

对称矩阵的逆矩阵即为它的转置，即P1−1=P1TP_1^{-1}=P_1^TP1−1=P1T，那么上式即为：
P−1=P1T∗⋯∗PmTP^{-1}=P_1^{T}*\dots*\ P_m^{T}P−1=P1T∗⋯∗ PmT

所以置换矩阵的逆矩阵等于置换矩阵的转置矩阵得证。

3. 向量空间 Vector spaces

这里空间的含义是说，表示有很多向量。并且向量之间满足加法运算、数乘运算以及不同向量之间的线性组合。向量空间对线性运算封闭，即空间内向量进行线性运算得到的向量仍在空间之内。

R2R^2R2即为向量空间，它是具有两个实数分量的所有向量（二维实向量）的集合。在R2R^2R2中(0, 0)是所有向量中最重要的。简单来说，就是由所有向量组成的向量空间。

所有向量空间必然包含零向量，因为任何向量数乘 0 或者加上反向量都会得到零向量，而因为向量空间对线性运算封闭，所以零向量必属于向量空间。

R3R^3R3 是向量空间，它是具有三个实数分量的所有向量的集合。
RnR^nRn 是向量空间，它是具有 n 个实数分量的所有向量的集合。
反例：R2R^2R2中的第一象限不是一个向量空间。

4. 子空间 Subspaces

包含于向量空间之内的一个向量空间称为原向量空间的一个子空间。例如用实数ccc数乘R2R^2R2 空间中的某一向量vvv 所得到的向量集合就是R2R^2R2空间的一个子空间，其图像为二维平面上穿过原点的一条直线，它对于线性运算封闭。

但不是所有直线空间都是向量空间，比如：R2R^2R2中不穿过原点的直线就不是向量空间。子空间必须包含零向量，原因就是数乘 0 的到的零向量必须处于子空间中。

4.1 R2R^2R2的子空间

R2R^2R2 空间本身
过原点的一条直线（这是 R2R^2R2空间中的一条直线，与 R1R^1R1空间有区别）
零向量

4.2 R3R^3R3的子空间

R3R^3R3 空间本身
过原点的一个平面
过原点的一条直线
零向量

5. 列空间 Column spaces

在矩阵中构建子空间的方法之一是通过列向量进行构造。

给定矩阵AAA，其列向量属于R3R^3R3 空间，这些列向量和它们的线性组合张成了R3R^3R3空间中的一个子空间，即矩阵AAA的列空间C(A)C(A)C(A)。

如果A=[132341]A=\left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 1 } \end{array} \right]A=⎣⎡124331⎦⎤，则AAA的列空间是 R3R^3R3空间中包含向量[124]\left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 4 } \end{array} \right]⎣⎡124⎦⎤和[331]\left[ \begin{array} { l } { 3 } \\ {3 } \\ {1 } \end{array} \right]⎣⎡331⎦⎤并穿过原点的平面，空间内包含两向量的所有线性组合。

后续课程会是在列空间和子空间的基础上深入理解Ax=bAx=bAx=b。

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