（三）基于Phyphox的三线摆法测量物体转动惯量

实验目的：

1.学会用三线摆法测量物体的转动惯量。

2.学会用累积放大法测量物体运动的周期。

实验仪器

三线摆（含待测物体），厘米尺、家用厨房电子秤等。

注：实验中各物体的质量也可根据官方数据获得（不使用家用厨房电子秤）。

实验原理：

居家三线摆装置及简化示意图如图1（左）和（中）所示，一均匀圆盘，在小于其周界的同心圆周上作一内接等边三角形，从三角形的三个顶点引出三条悬线（不易拉伸的细线）对称地连接在置于上部的一个水平匀质小圆盘的下面，小圆盘可以绕自身的垂直轴O'O转动。当均匀圆盘（以下简称悬盘）水平，即三条悬线等长时，轻轻转动上部小圆盘，在悬线的张力作用下，悬盘绕上下圆盘的中心连线O'O轴转动。由于三线摆的转动周期与悬盘的转动惯量有一定关系，所以把待测物体放在悬盘上后，三线摆系统的转动周期就要相应的随之改变。这样，根据转动周期、转动系统质量及有关的参量，就能求出悬盘系统的转动惯量。

1.测定悬盘绕中心轴的转动惯量J0

图1 （左）居家三线摆装置；（中）三线摆示意图；（右）三线摆的参数

如图1（中）所示，使上、下圆盘均处于水平且同轴，将上圆盘绕竖直的中心轴线O'O转动一个小角度，当悬盘离开平衡位置转过某一个小角度θ（扭转角）时，整个悬盘的位置也随之升高h。若悬线足够长，且忽略摩擦力的影响，根据悬盘转动过程中系统机械能守恒，可以导出悬盘绕中心轴O'O转动的转动惯量为

(1)

式中m01 和m01是下悬盘和手机的质量；J0是下悬盘和手机系统对O'O轴的转动惯量；g为重力加速度；r和R分别为上、下圆盘悬点离各自圆盘中心的距离；T0为悬盘绕O'O轴转动的周期；H为平衡时上、下圆盘间的垂直距离。

2.测定物体绕中心轴的转动惯量J1

将质量为m1的待测物体放在悬盘上，使待测物体的转轴与O'O轴重合。测出它们绕O'O轴转动的周期T1和上、下圆盘间的垂直距离H1（不计因重量变化引起的悬线伸长，则有H1~H），可求得待测圆环和悬盘对中心轴O'O的总转动惯量为

(2)

则待测物体绕中心轴O'O的转动惯量为

(3)

实验内容：

1. 构架三线摆设备：利用家用材料（蒸屉、圆形晾衣架、圆形纸板、棉线等）构建居家三线摆设备。可用重物压住上盘，使其固定不动。在圆盘中心位置放入手机，使用手机中的水平仪功能（或下载相关软件），检查三线摆上下盘水平。

2. 下载软件：将在学习通内下载phyphox软件，安装在手机中，以备使用。

3. 测量相关质量：测量下悬盘、手机和待测物体的质量（或根据官方数据获得）

4. 测量三线摆相关尺寸：用厘米尺测出上圆盘、下悬盘中相邻两悬点之间的距离a和b，然后由等边三角形关系算出r和R，即

；用厘米尺测出上圆盘与下悬盘之间的垂直距离H。

5. 测量待测规则均匀平板相关尺寸：规则平板（如书本、盒装牛奶、麻将块、木块等）在绕中心轴转动时，其转动惯量可以由下图所示的几何参数计算得到，用厘米尺测量图中标识的l1和l2，计算其理论转动惯量

，并与实验测得值进行比对，计算相对误差。

图2 规则均匀平板的转动惯量

6. 测量相关转动周期：

ž 居家环境下，在下悬盘中心位置放置手机（如图3所示），打开手机中的Phyphox软件，选择“陀螺仪（转动速率）”功能，按“►”键开始测量；

ž 稳住下悬盘不动，再将下悬盘转动一个小角度(小于 5°)后放手，让phyphox软件持续记录此时的转动信息（可获取下悬盘和手机的转动周期T0，并计算下悬盘和手机的转动惯量J0）；

ž 经过一段时间周期的运动后，将待测物体放在手机上（如图3所示），使待测物体的中心尽量对准圆盘的中心，过程中不要动手机，让phyphox软件继续记录此时的转动信息（可获取下悬盘、手机和待测物体的转动周期T1，并计算待测物体的转动惯量J1）。

ž 由于手机绕垂直于手机屏幕的轴（z 轴）进行摆动，可以看到“z方向陀螺仪处有较明显的周期信号”（如图4所示），导出此数据，对此周期信号进行分析，求得相关摆动周期，再根据其他参数可得相关转动惯量。

图3 手机与待测物体的放置。

数据分析：

误差分析：

（1）记录周期次数对实验有影响。如果记录时间比较短，计算出来周期的误差就会比较大，所以要把时间控制在比较合适的范围里

（2）下盘及下盘与物体一同转动时，都会受到空气阻力，可能会对实验造成系统误差

（3）一开始转动的角度，由于人手去转动很难控制到精确位置，而且有可能使得原本水平的下盘出现高低不齐的偏移，对实验也可能产生误差

注：以上实验原理及步骤均来自中央民大物理教学团队，感谢老师们的付出

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