002 离散时间傅里叶分析

离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）

如果x(n)x(n)x(n)绝对可加，即

∑−∞∞∣x(n)∣<∞\sum_{-\infty}^\infty |x(n)|<{\infty} −∞∑∞∣x(n)∣<∞

则其DTFT为

X(ejw)≜F[x(n)]=∑n=−∞∞x(n)e−jwX(e^{jw}){\triangleq}F[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jw} X(ejw)≜F[x(n)]=n=−∞∑∞x(n)e−jw

傅里叶变换其实就是信号在时域和频域的变换，对于基本上所有函数（有一些限制），都可以用各种频率和幅度的正弦和余弦函数的组合表示

以方波信号的傅里叶变换为例

clear all;
close all;n = -2:2; x = [0, 1, 1, 1, 0]; k = 0:500; w = (pi / 500) * k;
X = x * (exp(-1j * pi / 500)) .^ (n' * k);
magX = abs(X); angX = angle(X);
realX = real(X); imagX = imag(X);subplot(2, 2, 1); plot(k / 500, magX); grid;
xlabel('w'); title('幅度');subplot(2, 2, 3); plot(k / 500, angX / pi); grid;
xlabel('w'); title('相位');subplot(2, 2, 2); plot(k / 500, realX); grid;
xlabel('w'); title('实部');subplot(2, 2, 4); plot(k / 500, imagX); grid;
xlabel('w'); title('虚部');

其实就是经典的方波信号可以通过各种频率的正余弦信号合成

逆离散时间傅里叶变换（IDTFT，Inverse Discrete Time Fourier Transform）

x(n)≜F−1[X(ejw)]=1/2π∫−ππx(ejw)ejwdwx(n){\triangleq}F^{-1}[X(e^{jw})]=1/2{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x(e^{jw})e^{jw}dw x(n)≜F−1[X(ejw)]=1/2π∫−ππx(ejw)ejwdw

卷积

为什么做傅里叶变换，很大一个原因就是时域的卷积可以转换成频域的相乘
F[x1(n)∗x2(n)]=F[x1(n)]F[x2(n)]=X1(ejw)X2(ejw)F[x_1(n)*x_2(n)]=F[x_1(n)]F[x_2(n)]=X_1(e^{jw})X_2(e^{jw}) F[x1(n)∗x2(n)]=F[x1(n)]F[x2(n)]=X1(ejw)X2(ejw)

通过傅里叶变化，我们可以把几乎任意信号转换成不同频率www的ejwne^{jwn}ejwn的和，假如x(n)=ejw0nx(n)=e^{jw_0n}x(n)=ejw0n，则脉冲响应h(x)h(x)h(x)为
y(n)=h(n)∗ejw0n=∑k=−∞∞h(k)ejw0(n−k)=[∑k=−∞∞h(k)e−jw0(k)]ejw0n=[F[h(n)∣w=w0]]ejw0ny(n)=h(n)*e^{jw_0n}=\sum_{k=-\infty}^\infty h(k) e^{jw_0(n-k)}=[\sum_{k=-\infty}^\infty h(k) e^{-jw_0(k)}]e^{jw_0n}=[F[h(n)|_{w=w_0}]]e^{jw_0n} y(n)=h(n)∗ejw0n=k=−∞∑∞h(k)ejw0(n−k)=[k=−∞∑∞h(k)e−jw0(k)]ejw0n=[F[h(n)∣w=w0]]ejw0n

也就说通过对输入信号做傅里叶变换，本来是通过复杂的卷积获得输出，现在直接通过简单的乘法就可以获得输出信号了

假如LTI系统可以用下面的差分方程表示：
y(n)+∑l=1Naly(n−l)=∑m=0Mbmx(n−m)y(n)+\sum_{l=1}^{N}a_ly(n-l)=\sum_{m=0}^{M}b_mx(n-m) y(n)+l=1∑Naly(n−l)=m=0∑Mbmx(n−m)
则通过傅里叶变换可以求得其频率响应函数
H(ejwn)+∑l=1NalH(ejw)ejw(n−l)=∑m=0Mbmejw(n−m)H(e^{jwn})+\sum_{l=1}^{N}a_lH(e^{jw})e^{jw(n-l)}=\sum_{m=0}^{M}b_me^{jw(n-m)} H(ejwn)+l=1∑NalH(ejw)ejw(n−l)=m=0∑Mbmejw(n−m)
H(ejwn)=∑m=0Mbme−jwm/[1+∑l=0Nale−jwl]H(e^{jwn})=\sum_{m=0}^{M}b_me^{-jwm}/[1+\sum_{l=0}^{N}a_le^{-jwl}] H(ejwn)=m=0∑Mbme−jwm/[1+l=0∑Nale−jwl]

数字信号处理（MATLAB版）美维纳 K 英格尔西安交通大学出版社