傅里叶分析的方方面面：复正弦、负频率

简单来说，傅里叶分析即频域分析，给我们提供了一种从频域看待信号的方法。先从信号分析（信号展开）理论讲起。

信号分析理论

信号的表示方式并不唯一，对于给定的信号有无数种展开方式[1]。如一个Ψ\Psi域中的信号可以表示为：

x=Σkakψk

x=\Sigma_ka_k\psi_k其中 {ψk}k∈Z\{\psi_k\}_{k\in\Bbb Z}是 Ψ\Psi域中的基本函数集（完备），展开系数可由信号与其对偶函数集 {ψ^k}k∈Z\{\hat\psi_k\}_{k\in\Bbb Z}的内积来计算，即

ak=<x,ψ^k>={∫x(t)ψ^∗k(t)dt,Σnx[n]ψ^∗k[n],连续信号离散信号

a_k== \begin{cases} \int x(t)\hat\psi_k^*(t)dt,&\text{连续信号} \\ \Sigma_nx[n]\hat\psi_k^*[n],&\text{离散信号} \end{cases}

当{ψk}k∈Z\{\psi_k\}_{k\in\Bbb Z}正交时，ψ^k=ψk\hat\psi_k=\psi_k。傅里叶分析所用的就是正交函数集。
将信号使用基本函数集展开的出发点在于：如果任意信号均能分解成基本信号的线性组合，那么只要得到LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性时不变特性，将系统对任意输入信号的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。
基本信号的选择应遵循一些基本原则：

具有明确的物理含义，如时域、频域或时频域的集聚性（分别对应时域分析、频域分析和时频域联合分析）
具有简单并便于运算的形式

信号的时域分析

在时域，我们选择的基本信号为单位脉冲信号，原因在于这种分解利于分析信号在每个时间点上的取值，且信号通过系统的响应可以表示成卷积的形式。
任意信号可分解为单位脉冲信号的线性组合。对离散信号，有

x[n]=Σkx[k]δ[n−k]

x[n]=\Sigma_kx[k]\delta[n-k]设一个LTI系统的单位脉冲响应为 h[n]h[n]，则系统对 x[n]x[n]的响应为

y[n]=Σkx[k]h[n−k]=x[n]∗h[n]

y[n]=\Sigma_kx[k]h[n-k]=x[n]*h[n]同样的，对连续信号，设LTI系统的单位脉冲响应为 h(t)h(t)，有

x(t)=∫x(τ)δ(t−τ)dτ

x(t)=\int x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau

y(t)=∫x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)∗h(t)

y(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)d\tau=x(t)*h(t)以上说明， 一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征，系统响应可以通过输入信号和系统单位脉冲响应的卷积来表征。

信号的频域分析

傅里叶分析给我们提供了一种从频域看待信号的方法。这里注意，频域是客观存在的，与做不做傅里叶分析无关。傅里叶选择的基本信号是正弦信号（包括sin(ωt)、cos(ωt)\sin(\omega t)、\cos(\omega t)）或复指数信号（est,s∈Ce^{st},s\in\Bbb C，特别的，当s=jωs=j\omega时即复正弦信号）：

论点1：任意周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和
论点2：任意非周期信号都可以表示为正弦信号的加权积分

为什么选择正弦波作为基本信号？而不是其他的如三角波、方波？[2-3]

因为正弦信号不仅符合我们选择基本信号的要求（具有频率意义），而且拥有一个很好的性质——正弦曲线保真度，一个正弦信号通过系统后，输出的仍是正弦信号，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波形仍是一样的。只有正弦曲线才拥有这样的性质。

现实世界只存在实信号，为什么要引入复指数或复正弦函数做基本函数？

事实上，在傅里叶最初的工作中使用的是傅里叶级数的三角函数形式（正弦-余弦形式），但是我们现在通用的是其复指数形式。一方面，欧拉公式确立了复正弦函数与正弦、余弦之间的关系，保证了这两种形式的等价性；另一方面，复正弦函数对于我们的计算更方便。

对于实周期信号（基波周期T0T_0，频率ω0=2πT0\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}），其傅里叶级数有两种表示形式：

三角函数形式，k∈[0,+∞)k\in [0,+\infty)。频谱分量（AkA_k）都是实的，且都在正区间，幅度谱为AkA_k，相位谱为θk\theta_k。这是显而易见的，因为cos、sin均描述正频率，cos(−ωt)\cos(-\omega t)与cos(ωt)\cos(\omega t)等价，sin(−ωt)\sin(-\omega t)与sin(ωt+π)\sin(\omega t+\pi)等价。但有一个不方便的地方，需要另外表示相位，而且做cos、sin的运算会比较复杂。

x(t)=A0+Σ∞k=1Akcos(kω0t+θk)

x(t)=A_0+\Sigma_{k=1}^\infty A_k\cos(k\omega_0t+\theta_k)或

x(t)=A0+Σ∞k=1[Bkcos(kω0t)−Cksin(kω0t)]其中Bk=Aksinθk,Ck=Akcosθk

x(t)=A_0+\Sigma_{k=1}^\infty [B_k\cos(k\omega_0t)-C_k\sin(k\omega_0t)]\\其中B_k=A_k\sin\theta_k,C_k=A_k\cos\theta_k
复指数形式，k∈(−∞,+∞)k\in (-\infty,+\infty)。频谱分量（aka_k）扩展到了复平面，使得频率和相位统一到一个表达上，并且计算变得方便，但代价是引入了负频率。可以看到，由于x(t)x(t)是实信号，其谱共轭对称即a∗k=a−ka_k^*=a_{-k}，且幅度谱偶对称，相位谱奇对称。信号在三角函数形式下ω(>0)\omega(>0)处的频谱分量的能量，均分至复指数形式下对应的±ω\pm\omega两个频点处。

x(t)=Σkakejkω0t其中ak=⎧⎩⎨⎪⎪12Akejθk,A0,12Ake−jθk,k>0k=0k<0

x(t)=\Sigma_ka_ke^{jk\omega_0t}\\其中a_k= \begin{cases} \frac12A_ke^{j\theta_k},&\text{k>0}\\ A_0,&\text{k=0}\\ \frac12A_ke^{-j\theta_k},&\text{k
两种表示之间的关系
根据欧拉公式ejθ=cos(θ)+jsin(θ)e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)（——可以用泰勒级数展开证明），有

{cos(θ)=12(ejθ+e−jθ)sin(θ)=12j(ejθ−e−jθ)

\begin{cases} \cos(\theta)=\frac12(e^{j\theta}+e^{-j\theta}) \\ \sin(\theta)=\frac1{2j}(e^{j\theta}-e^{-j\theta}) \end{cases}即cos、sin可以用ejθe^{j\theta}表示，相当于做一个线性变换，将傅里叶级数换一组基底表示，将原实数域上的频率、相位统一到了复频域，即用一个复数同时传达两个信息。

图1 泰勒级数展开证欧拉公式

再解释下为什么使用复指数使得计算更方便。设x(t)=est,s∈Cx(t)=e^{st},s\in\Bbb C，通过LTI系统h(t)h(t)的响应为

y(t)=∫h(τ)x(t−τ)dτ=∫h(τ)es(t−τ)dτ=est∫h(τ)e−sτdτ=H(s)est

y(t)=\int h(\tau)x(t-\tau)d\tau=\int h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}\int h(\tau)e^{-s\tau}d\tau=H(s)e^{st}

H(s)=∫h(τ)e−sτdτ

H(s)=\int h(\tau)e^{-s\tau}d\tau可见， este^{st}通过LTI系统后的响应仍具有 este^{st}的形式，若令 H(s)=A(s)ejϕ(s)H(s)=A(s)e^{j\phi(s)}，则幅度和相位分别改变 A(s)A(s)和 ϕ(s)\phi(s)。在这个意义上，复指数函数 este^{st}是LTI系统的特征函数， H(s)H(s)是系统与复指数函数对应的特征值。

什么是复指数（或复正弦）信号？由此展开出现的负频率怎么解释？[5-6 9]

根据欧拉公式，ejθe^{j\theta}表示复平面单位圆上的一点，θ\theta表示相角。现在令θ\theta随时间变化，ejωte^{j\omega t}即表示该复数沿着单位圆旋转，定义ω>0\omega>0为逆时针旋转，ω<0\omega为顺时针旋转。这样，负频率就有了明确的物理意义。画出ejωte^{j\omega t}随时间变化的曲线，如图2为螺旋线，且其在实平面的投影为cos(ωt)\cos(\omega t)，在虚平面的投影为sin(ωt)\sin(\omega t)。

图2 复指数信号

至此，关于负频率的疑问就可以揭开了——实际上是与我们观察所在的空间相关。一般，我们认为现实世界不存在负频率，如不同颜色光的频率、不同音调的频率等，这是出于二维空间即x-t平面的观察结果。这时，频率定义为单位时间内信号重复出现的频度，当然不会出现负值，这相当于仅从实平面或虚平面看信号。而到了三维空间，从旋转运动出发，通常定义逆时针为正，因此正频率即逆时针旋转角频率，负频率即顺时针旋转角频率。正、负是自然形成的，也就不难理解了。当我们对实信号进行频谱分析时，负频率到底有没有实际意义？我认为没有，由于实信号的频谱共轭对称，负半区间的频谱是冗余的，一般我们只会关心ω(>0)\omega(>0)频率处的强度，而不会分开看±ω\pm\omega处的频谱分量。

ejωte^{j\omega t}的频谱为ω\omega处的单根谱线，而根据欧拉公式，cos或sin是ejωte^{j\omega t}和e−jωte^{-j\omega t}的合成，即包含ω\omega和−ω-\omega两个频率，且强度相同。这对任意实信号也是成立的，即任意实信号包含强度相同的正负频谱。从数学角度，ejωte^{j\omega t}比正余弦更简单更基础，更重要的是运算方便，因此成为傅里叶分析中更通用的基本函数。

图3 复正弦与正余弦关系

周期信号傅里叶级数的收敛

傅里叶级数的收敛性质

在最小均方误差准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳逼近。

傅里叶级数的收敛条件（两组）

平方可积条件

Dirichlet条件

当用有限个谐波分量逼近周期信号x(t)x(t)时，最小均方误差准则即

minak1T0∫T0|eN(t)|2dt

\min_{a_k}\frac1{T_0}\int_{T_0}|e_N(t)|^2dt

其中eN(t)=x(t)−xN(t)=x(t)−ΣNk=−Nakejkω0t

其中e_N(t)=x(t)-x_N(t)=x(t)-\Sigma_{k=-N}^{N}a_ke^{jk\omega_0 t}由此计算出的傅里叶级数为

ak=1T0∫T0x(t)e−jkω0tdt

a_k=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt

注意，这里是一种逼近，不是完全精确等价。吉布斯现象即说明了这点：当用傅里叶级数逼近有间断点的周期信号时，在间断点处始终存在震荡和超量，且并不随谐波个数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，所具有的能量减小。当项数趋于无穷时，逼近误差能量为0。当然，这只是针对间断点的情况，在间断点处的傅里叶级数收敛于间断点两侧值的平均值，而在其他连续点处收敛于原信号。而且对于离散时间信号，这种表示在数学上是精确的。

图4 傅里叶级数逼近方波（来源：wiki）

从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换

对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想是，把非周期信号看成是周期无限长的周期信号。在一个周期信号的傅里叶级数表示中，当周期增加时，基波频率减小，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠近。当周期趋于无限大时，这些频率分量就形成了一个连续域，于是傅里叶级数的求和也就变成了积分。

周期信号的频谱是对应非周期信号频谱的采样，而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。

对周期为TT的信号x~(t)\tilde x(t)，其傅里叶级数表示为

x~(t)=Σkakejkω0tak=1T∫Tx~(t)e−jkω0tdt

\tilde x(t)=\Sigma_ka_ke^{jk\omega_0t}\\a_k=\frac1{T}\int_{T}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt
定义 TakTa_k的包络 X(jω)X(j\omega)为 X(jω)=∫Tx~(t)e−jωtdtX(j\omega)=\int_{T}\tilde x(t)e^{-j\omega t}dt，则

x~(t)=Σk1TX(jkω0)ejkω0t=12πΣkX(jkω0)ejkω0tω0

\tilde x(t)=\Sigma_k \frac1TX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}=\frac1{2\pi}\Sigma_kX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0等式两边取 T→∞T\rightarrow \infty，则 ω0→0\omega_0\rightarrow0， x~(t)\tilde x(t)趋近于对应的非周期信号 x(t)x(t)，右边和式过渡到积分，于是得到非周期信号的傅里叶变换表示为

x(t)=12π∫X(jω)ejωtdt$X(jω)=∫x(t)e−jωtdt

x(t)=\frac1{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}dt$\\X(j\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt

图6 周期方波的傅里叶级数及其包络[8]

图5 傅里叶级数与傅里叶变换[8]

连续时间复指数信号ejωte^{j\omega t}：对ω\omega非周期，对tt周期，频率为ω\omega，周期为2πω\frac{2\pi}\omega
⇒\Rightarrow 时域连续、非周期→\rightarrow 频域连续、非周期

连续时间傅里叶级数的基本函数集{ejk2πTt}k∈Z\{e^{jk\frac{2\pi}Tt}\}_{k\in \Bbb Z}：ω0=2πT\omega_0=\frac{2\pi}T，公共的基波频率ω0\omega_0、基波周期TT
⇒\Rightarrow 时域连续、周期→\rightarrow 频域离散、非周期

离散时间复指数信号ejωne^{j\omega n}：对ω\omega周期为2π2\pi，对nn周期的条件是ω=k2πN\omega=k\frac{2\pi}N
⇒\Rightarrow 时域离散、非周期→\rightarrow 频域连续、周期

离散时间傅里叶级数的基本函数集{ejk2πNn}k∈<N>\{e^{jk\frac{2\pi}N n}\}_{k\in }：ω0=2πN\omega_0=\frac{2\pi}N，公共的基波频率ω0\omega_0、基波周期NN，且仅有NN个互不相同的信号
⇒\Rightarrow 时域离散、周期→\rightarrow 频域连续、周期

以上。

参考

Shi-E Qian, Dapang Chen Joint Time-Frequency Analysis
为什么要进行傅立叶变换 http://blog.csdn.net/xfortius/article/details/8912488
Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing http://www.dspguide.com/pdfbook.htm
Richard Lyons Quadrature Signals: Complex, But Not Complicated http://wenku.baidu.com/view/a6dd631cb7360b4c2e3f6429.html
Negative Frequency https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_frequency
陈怀琛，方海燕论频谱中负频率成分的物理意义
Fourier Series https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
刘树棠（译）《信号与系统》
傅里叶分析之掐死教程 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358?refer=wille