定积分不等式套路总结
定积分不等式套路总结
摘要:
暴力求导
拆分积分区间
利用泰勒展开
将常数/可导函数变形为定积分
将dx变形为d(x-c)
利用几何意义
利用柯西不等式
几个常用引理
正文:
一、暴力求导
通分后构造新函数求导
二、拆分积分区间
引入特殊点拆分
1.最值点
2.中值点
依照被积函数的正负拆分区间,使被积函数在区间内不变号
三、利用泰勒展开
在积分区间两端点展开
在积分区间的中点展开
在积分区间内最值点/导数值为0的点展开
先使用中值定理,再在所得到的中值点展开
在函数值为0的点展开
……
四、将常数/可导函数变形为定积分
(1)
(2)
结合题设将常数变为某简单函数的积分
(1)
(2)
(此时往往有f©=0的条件)
五、dx [公式] d(x-c)
简化分部积分后得到的项(使其中某一项得0)
为后续放缩搭建桥梁
六、利用几何意义(多用于凹凸函数)
七、利用cauchy不等式
八、几个常用引理
(注意这里 [公式] 不必连续)
(积分第二中值定理)
九、片末彩蛋=w=
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