考研高等数学(数二)知识点整理

主要基于2023武忠祥高数强化讲义整理，前面部分整理的还算细致，后面发现时间不太充足，便知总结了大纲，希望可以帮到有需要的人，转载请标明出处

函数、极限、连续

函数

（一）函数的概念及常见函数：

1、函数概念

其两个基本要素：定义域和对应规则（依赖关系），当定义域和对应规则完全相同时，它们就是同一个函数

2、复合函数

Df∩Rg≠空集D_f∩R_g≠空集Df∩Rg=空集

3、反函数

对任意任意y∈Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f−1(y)y∈R_y，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f^{-1}(y)y∈Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f−1(y) ，称其为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的反函数

在同一直角坐标系中，y=f(x)和x=f−1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f−1(x)的图像关于直线y=x对称y=f(x)和 x=f^{-1}(y) 的图形重合，y=f(x)和y=f^{-1}(x)的图像关于直线y=x对称y=f(x)和x=f−1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f−1(x)的图像关于直线y=x对称

如y=ex其反函数可以写为x=lny这时二者是重合的，但如果写成y=lnx那么二者就是关于y=x对称的y=e^x 其反函数可以写为 x=ln^y 这时二者是重合的，但如果写成 y=ln^x 那么二者就是关于y=x对称的y=ex其反函数可以写为x=lny这时二者是重合的，但如果写成y=lnx那么二者就是关于y=x对称的

f−1(f(x))=.......f(f−1(x))=xf^{-1}(f(x))=.......f(f^{-1}(x))=xf−1(f(x))=.......f(f−1(x))=x

4、基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，由基本初等函数经过有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数

（二）函数的性态

1、单调性

单调增/减：x1<x2,f(x1)<f(x2)∣∣f(x1)>f(x2)x_1<x_2,f(x_1)<f(x_2)||f(x_1)>f(x_2)x1<x2,f(x1)<f(x2)∣∣f(x1)>f(x2)

单调不减/不增：x1<x2,f(x1≤f(x2)∣∣f(x1)≥f(x2)x_1<x_2,f(x_1≤f(x_2)||f(x_1)≥f(x_2)x1<x2,f(x1≤f(x2)∣∣f(x1)≥f(x2)

判定：(1)利用定义

(2)利用导数，f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上可导，则

f′(x)>0(<0)→f(x)单增、单减f'(x)>0(<0)→f(x)单增、单减f′(x)>0(<0)→f(x)单增、单减

f(x)≥0(≤0)→f(x)单调不减(单调不增)f(x)≥0(≤0)→f(x)单调不减(单调不增)f(x)≥0(≤0)→f(x)单调不减(单调不增)

2、奇偶性

ln1−x1+x、ln(x+1+x2)、f(x)−f(−x)、ex−1ex+1ln\frac{1-x}{1+x}、ln(x+\sqrt{1+x^2})、f(x)-f(-x)、\frac{e^x-1}{e^x+1}ln1+x1−x、ln(x+1+x2)、f(x)−f(−x)、ex+1ex−1都是奇函数 f(x)+f(−x)f(x)+f(-x)f(x)+f(−x)是偶函数 esinx+e−sinxe^{sinx}+e^{-sinx}esinx+e−sinx

奇函数关于原点对称，若在x=0处有定义则f(0)=0

判定：(1)利用定义

(2)设f(x)可导f(x)可导f(x)可导，则

f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是偶函数f(x)是奇函数---->f'(x)是偶函数f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是偶函数

f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是奇函数f(x)是奇函数---->f'(x)是奇函数f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是奇函数

(3)连续的奇函数其原函数都是偶函数

连续的偶函数其原函数有且仅有一个奇函数

f(x)是奇函数，则∫0xf(t)dt是偶函数f(x)是奇函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt 是偶函数f(x)是奇函数，则∫0xf(t)dt是偶函数 (∫0xf(t)dt)′=f(x)(\int_{0}^{x}f(t)dt)'=f(x)(∫0xf(t)dt)′=f(x) ∫axf(t)dt是偶函数\int_{a}^{x}f(t)dt是偶函数∫axf(t)dt是偶函数证明：将积分进行拆分，a-0是一

段，其为常数 0-a为一段，其为偶函数，所以偶函数加上一个常数，还是偶函数

f(x)是偶函数，则∫0xf(t)dt是奇函数f(x)是偶函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt 是奇函数f(x)是偶函数，则∫0xf(t)dt是奇函数

泰勒多项式： f(x)+f′(x)(x−x0)+f′′(x)2!(x−x0)2+...+f(x)nn!(x−x0)nf(x)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f(x)^n}{n!}(x-x_0)^nf(x)+f′(x)(x−x0)+2!f′′(x)(x−x0)2+...+n!f(x)n(x−x0)n

偶函数在零点的展开，只有偶次项，无奇次项

奇函数在零点的展开，只有奇次项，无偶次项

3、周期性

f(ax+b)以T∣a∣为周期f(ax+b)以\frac{T}{|a|}为周期f(ax+b)以∣a∣T为周期

判定：(1)利用定义

(2)可导函数的周期函数为周期函数

(3)周期函数的原函数不一定是周期函数

F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的充要条件∫0Tf(x)dt=0F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt是以T为周期的充要条件\int_{0}^{T}f(x)dt=0F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的充要条件∫0Tf(x)dt=0 ∣sinx∣、sinx5、sinx2|sinx| 、sinx^5、sinx^2∣sinx∣、sinx5、sinx2的原函数是否为周期函数

4、有界性

存在M>0,任意x∈I,∣f(x)∣≤Mx∈I,|f(x)|≤Mx∈I,∣f(x)∣≤M，则称f(x)在I上有界f(x)在I上有界f(x)在I上有界

判定：(1) 利用定义

(2)f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界

(3)f(x)在(a,b)上连续，且f(a+)和f(b−)存在===>f(x)在(a,b)上有界f(x)在(a,b)上连续，且f(a^+)和f(b^-)存在===>f(x)在(a,b)上有界f(x)在(a,b)上连续，且f(a+)和f(b−)存在===>f(x)在(a,b)上有界

(4)f′(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界f'(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界f′(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界证明在武忠祥讲义第五页

（三）题型

1、P6 例题1 对复合函数定义域的考察

2、P7 例题3 一点的导数推不出区域内的导数

3、P8例题4 自变量改变时，积分区域也要发生变化

极限

（一）极限的概念

1、数列的极限

(1)lim⁡xn=a(n−>∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点xn都落在开区间(a−e,a+e)内，而只有有限个(最多有N个)在这区间之外(1)\lim{x_n}=a(n->∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点x_n都落在开区间(a-e,a+e)内，\\而只有有限个(最多有N个)在这区间之外(1)limxn=a(n−>∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点xn都落在开区间(a−e,a+e)内，而只有有限个(最多有N个)在这区间之外

(2) 数列极限是否存在，如果存在极限值等于多少，与数列的前有限项无关武忠祥P9 22年3

2、函数的极限

lim⁡x−>0sin(x∗sin1x)x∗sin1x≠1\lim_{x->0} \frac{sin(x*sin\frac{1}{x})}{x*sin\frac{1}{x}}≠1limx−>0x∗sinx1sin(x∗sinx1)=1 解释：（1）无论去心邻域多么小，总存在x=1nΠ=0===>sin1x=0===>分母x∗sin1x=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在∗∗去心领域内处处有定义∗∗这一条件(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x≠0，显然分子中x∗sin1x是不满足x≠0这一要求的x=\frac{1}{nΠ}=0===>sin\frac{1}{x}=0===>分母x*sin\frac{1}{x}=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在**去心领域内处处有定义**这一条件\\(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x≠0，显然分子中x*sin\frac{1}{x}是不满足x≠0这一要求的x=nΠ1=0===>sinx1=0===>分母x∗sinx1=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在∗∗去心领域内处处有定义∗∗这一条件(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x=0，显然分子中x∗sinx1是不满足x=0这一要求的 3、f(x)在点x0处的极限是否存在，仅与f(x)在点x0的去心邻域的函数值有关，与f(x0)在x0是否有定义或者其值等于多少无关f(x)在点x_0处的极限是否存在，仅与f(x)在点x_0的去心邻域的函数值有关，与f(x_0)在x_0是否有定义或者其值等于多少无关f(x)在点x0处的极限是否存在，仅与f(x)在点x0的去心邻域的函数值有关，与f(x0)在x0是否有定义或者其值等于多少无关

4、在某点处有极限==>在去心邻域处处有定义

5、注意极限存在的充要条件是左极限==右极限，会在分段函数、e∞arctan∞分段函数、e^∞ arctan^∞分段函数、e∞arctan∞ 考察

（二）极限的性质

1、局部有界性

若极限存在，则在该点的某去心邻域内有界，反之，则不成立反例：f(x)=sin1x反例： f(x)=sin\frac{1}{x}反例：f(x)=sinx1

2、保号性

极限正，则函数正 lim⁡f(x)=A,A>0,则在去心邻域内f(x)>0\lim f(x)=A, A>0,则在去心邻域内f(x)>0limf(x)=A,A>0,则在去心邻域内f(x)>0

函数不负，则极限不负 f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0 例子：f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

3、保序性

4、极限值与无穷小之间的关系

lim⁡f(x)=A<===>f(x)=A+α(x),lim⁡α(x)=0\lim f(x)=A <===> f(x)=A+\alpha(x),\lim\alpha(x)=0limf(x)=A<===>f(x)=A+α(x),limα(x)=0

（三）极限存在准则

1、夹逼准则

n项和，且变化部分对主体部分无影响时，使用

2、单调有界准则

主要应用在递推关系证明该数列极限存在

（四）无穷小

1、无穷小概念

2、无穷小比较

高阶、低阶、同阶、等价、k阶无穷小

3、无穷小的性质

（1）有限个无穷小的和仍是无穷小

（2）有限个无穷小的积仍是无穷小

（3）无穷小与有界量的积仍是无穷小

（五）无穷大

1、无穷大的概念

2、常用的一些无穷大的比较

x−>+∞，lnαx<<xβ<<ax....(α>0,β>0,a>1)x->+∞，ln^\alpha x<<x^\beta<<a^x....(\alpha>0,\beta>0,a>1)x−>+∞，lnαx<<xβ<<ax....(α>0,β>0,a>1)

n−>+∞，lnαn<<nβ<<an<<n!<<nn....(α>0,β>0,a>1)n->+∞，ln^\alpha n<<n^\beta<<a^n<<n!<<n^n....(\alpha>0,\beta>0,a>1)n−>+∞，lnαn<<nβ<<an<<n!<<nn....(α>0,β>0,a>1)

3、无穷大量和无界变量的关系

无穷大量是在某点后，恒有函数值为无穷

无界变量是在某点后，存在函数值为无穷

4、无穷大与无穷小的关系

f(x)是无穷大，1f(x)是无穷大，反之也成立(f(x)≠0)f(x)是无穷大，\frac{1}{f(x)}是无穷大，反之也成立(f(x)≠0)f(x)是无穷大，f(x)1是无穷大，反之也成立(f(x)=0)

（六）题型

1、lim⁡n−>∞an=A===>lim⁡n−>∞∣an∣=∣A∣\lim_{n->∞}a_n=A===>\lim_{n->∞}|a_n|=|A|limn−>∞an=A===>limn−>∞∣an∣=∣A∣

lim⁡n−>∞an=0<===>lim⁡n−>∞∣an∣=0\lim_{n->∞}a_n=0<===>\lim_{n->∞}|a_n|=0limn−>∞an=0<===>limn−>∞∣an∣=0

2、求极限的常用方法：

方法一：利用有理运算法则 P15武

极限的非零因子可以先提出来

极限的反问题

方法二：利用基本极限

**lim⁡n−>∞nn=1\lim_{n->∞}\sqrt[n]{n}=1limn−>∞nn=1 lim⁡n−>∞xn\lim_{n->∞}x^nlimn−>∞xn**的表达式 P16武

方法三：利用等价无穷小代换

x−ln(1+x)=x22x-ln(1+x)=\frac{x^2}{2}x−ln(1+x)=2x2 x−sinx=x36x-sinx=\frac{x^3}{6}x−sinx=6x3 arcsinx−x=x36arcsinx-x=\frac{x^3}{6}arcsinx−x=6x3 tanx−x=x33tanx-x=\frac{x^3}{3}tanx−x=3x3 x−arctanx=x33x-arctanx=\frac{x^3}{3}x−arctanx=3x3

f(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，且limx−>0f(x)g(x)=1,∫0xf(t)dt=∫0xg(t)dtf(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，且lim_{x->0}\frac{f(x)}{g(x)}=1,\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}g(t)dtf(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，且limx−>0g(x)f(x)=1,∫0xf(t)dt=∫0xg(t)dt

(1+f(x))g(x)−1=f(x)g(x)(f(x)g(x)−>0))(1+f(x))^{g(x)}-1=f(x)g(x)(f(x)g(x)->0))(1+f(x))g(x)−1=f(x)g(x)(f(x)g(x)−>0))

乘除关系可换；加减在一定条件下可换，且为分式时，加减代换要注意精度

方法四：利用洛必达法则

f(X)、g(x)极限极限为0(∞)f(X)、g(x)极限极限为0(∞)f(X)、g(x)极限极限为0(∞)

f(x)、g(x)在x0去心邻域可导，且g′(x)≠0f(x)、g(x)在x_0去心邻域可导，且g'(x)≠0f(x)、g(x)在x0去心邻域可导，且g′(x)=0

求导后的极限存在或等于无穷

方法五：利用泰勒展开公式 P18

只需要记住五个，有四个可以通过等价无穷小处的式子进行推到

方法六：利用夹逼准则

方法七：利用定积分定义

方法八：利用单调有界

主要应用在数列递推处

方法九：利用中值定理

一是用拉格朗日中值定理(比较常用)

∫abf(x)g(x)dx=f(c)∫abg(x)dx....a≤c≤b，g(x)不变号\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx....a≤c≤b，g(x)不变号∫abf(x)g(x)dx=f(c)∫abg(x)dx....a≤c≤b，g(x)不变号

3、00型\frac{0}{0}型00型

(1) 洛必达

(2)等价无穷小代换

(3)泰勒公式

(4)极限非零因子先提出，有理化，变量代换

4、∞∞型\frac{∞}{∞}型∞∞型

(1)洛必达

(2)分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

5、∞−∞型∞-∞型∞−∞型

(1)通分

(2)根式有理化

(3)提无穷因子，然后等价代换、泰勒公式

6、0∗∞型0*∞型0∗∞型

转化为00或∞∞\frac{0}{0}或\frac{∞}{∞}00或∞∞

7、1∞1^∞1∞

(1) 凑基本极限

(2)改写成指数后，用洛必达

(3)利用结论：若lim⁡f(x)=0,lim⁡g(x)=无穷，且lim⁡f(x)g(x)=A,则lim[1+f(x)]g(x)=eA若\lim f(x)=0,\lim g(x)=无穷，且\lim{f(x)g(x)}=A,则 lim[1+f(x)]^g(x)=e^A若limf(x)=0,limg(x)=无穷，且limf(x)g(x)=A,则lim[1+f(x)]g(x)=eA

$ 可对比记忆：(1+f(x))^{g(x)}-1=f(x)g(X,(f(x)g(x)->0))$

8、∞0和00∞^0和0^0∞0和00

改写成指数形式

9、数列不定式

将其转换为函数不定式，原理：limx−>∞f(x)=A===>lim⁡n−>∞f(n)=Alim_{x->∞}f(x)=A===>\lim_{n->∞}f(n)=Alimx−>∞f(x)=A===>limn−>∞f(n)=A

10、n项和的数列极限

(1)夹逼原理

(2)定积分定义

不随项变化而变化的部分，称为主体部分；随项变化而变化的部分，称为变化部分

当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级就用夹逼原理，而当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级就用定积分定义

11、n项乘积的数列极限

(1) 夹逼原理

(2) 取对数转换为n项和

12、递推关系定义的数列

常用方法：(1) 先证数列{xnx_nxn}收敛(通常用单调有界)，再令极限=A，通过等式求出A

(2)先令极限=A，通过等式，求出极限，最后证明该极限为A

单调性判断常用的三种方法：

(1) 通过作差

(2) 设xn{x_n}xn不变号，作商

(3) 设xnx_nxn由 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)xn+1=f(xn), 若f(x)在III上单调增，则当x1≤x2,f(x)单增；x1≥x2,f(x)单减x_1≤x_2,f(x)单增；x_1≥x_2,f(x)单减x1≤x2,f(x)单增；x1≥x2,f(x)单减

若f(x)在III上单减，则xnx_nxn不单调

常用不等式：2ab≤a2+b2,sinx<x<tanx(x∈[0,2Π])、ex≥1+xx1+x<ln(1+x)<x常用不等式：2ab≤a^2+b^2,sinx<x<tanx(x∈[0,\frac{2}{Π}])、e^x≥1+x\\ \frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x常用不等式：2ab≤a2+b2,sinx<x<tanx(x∈[0,Π2])、ex≥1+x1+xx<ln(1+x)<x

常用方法(2)步骤：证明∣xn−a∣−>0，∣xn−a∣=∣f(xn)−a∣≤k∣xn−1−a∣≤k2∣xn−2−a∣....≤kn−1∣x1−a∣常用方法(2)步骤：证明|x_n-a|->0，|x_n-a|=|f(x_n)-a|≤k|x_{n-1}-a|≤k^2|x_{n-2}-a|....≤k^{n-1}|x_1-a|常用方法(2)步骤：证明∣xn−a∣−>0，∣xn−a∣=∣f(xn)−a∣≤k∣xn−1−a∣≤k2∣xn−2−a∣....≤kn−1∣x1−a∣

13、确定极限式中的参数

用到的方法：如洛必达；先求出一个，再求另一个；出现多个还可看有无等式进行代换，减少参数个数

利用等式，以及求极限会用的知识，进行求解，还常用到反证法，即若某个参数不等于某常数，则等式不成立等

14、无穷小量的比较

(1) 洛必达(求导定阶)

(2)等价无穷小代换

(3) 泰勒公式

(4)f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x−>0时，f(x)是x的m阶无穷小，g(X)是x的n阶无穷小，则当x−>0时，F(x)=∫0g(x)f(t)dt是x的n(m+1)阶无穷小若上下限都是关于x的函数，那么找二者的最低阶即可(4)f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x->0时，f(x)是x的m阶无穷小，g(X)是x的n阶无穷小，\\则当x->0时，F(x)=\int_{0}^{g(x)} f(t)dt 是x的n(m+1)阶无穷小\\若上下限都是关于x的函数，那么找二者的最低阶即可(4)f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x−>0时，f(x)是x的m阶无穷小，g(X)是x的n阶无穷小，则当x−>0时，F(x)=∫0g(x)f(t)dt是x的n(m+1)阶无穷小若上下限都是关于x的函数，那么找二者的最低阶即可

连续

（一）连续的概念

左极限=右极限=该点函数值

（二）间断点及其分类

1、概念

f(X)在x0某去心邻域有定义，但在x0处不连续f(X)在x_0某去心邻域有定义，但在x_0处不连续f(X)在x0某去心邻域有定义，但在x0处不连续

2、第一类间断点：可去间断点、条约间断点

3、第二类间断点：无穷间断点、震荡间断点(但第二类间断点不知包括这两种)

（三）连续函数的性质

1、连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍连续

2、基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续

3、闭区间上连续函数的性质：

(1) 有界性

(2) 最值性

(3) 介值性推论f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]可取到介于最小值和最大值之间的任何值f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]可取到介于最小值和最大值之间的任何值f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]可取到介于最小值和最大值之间的任何值

(4) 零点定理(用的较多)

f(x)在[a,b]连续，且f(a)f(b)<0,则必存在c∈(a,b),使f(c)=0f(x)在[a,b]连续，且f(a)f(b)<0,则必存在c∈(a,b),使f(c)=0f(x)在[a,b]连续，且f(a)f(b)<0,则必存在c∈(a,b),使f(c)=0

（四）题型

1、讨论连续性及间断点

如：lim⁡n−>∞f(x)，这类题，要先根据x的范围将极限求出来，然后组合成f(x)的表达式如：\lim_{n->∞}f(x)，这类题，要先根据x的范围将极限求出来，然后组合成f(x)的表达式如：limn−>∞f(x)，这类题，要先根据x的范围将极限求出来，然后组合成f(x)的表达式

2、介值定理、最值定理、零点定理的应用

明确：介值定理前提是f(x)f(x)f(x)在闭区间连续，武P47例1

一元函数微分学

第一节：导数与微分

（一）导数概念

f′(x0)=lim⁡x−>x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x0)=lim⁡h−>0f(x0+h)−f(x——0)hf'(x_0)=\lim_{x->x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\f'(x_0)=\lim_{h->0} \frac{f(x_0+h)-f(x——0)}{h}f′(x0)=limx−>x0x−x0f(x)−f(x0)f′(x0)=limh−>0hf(x0+h)−f(x——0)

可导<=====>左右导数都存在且相等

（二）微分的概念

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx),其中A为不依赖于Δx的常数，则称函数f(x)在x0点处可微\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x),其中A为不依赖于\Delta x的常数，则称函数f(x)在x_0点处可微Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx),其中A为不依赖于Δx的常数，则称函数f(x)在x0点处可微

AΔx称为函数f(x)在x0点处相应于自变量增量Δx的微分，记为dy=AΔxA \Delta x称为函数f(x)在x_0点处相应于自变量增量\Delta x的微分，记为dy=A \Delta xAΔx称为函数f(x)在x0点处相应于自变量增量Δx的微分，记为dy=AΔx

（三）导数与微分的几何意义

导数f′(x0)在几何上表示为f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率导数f'(x_0)在几何上表示为f(x)在点(x_0,f(x_0))处切线的斜率导数f′(x0)在几何上表示为f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率

微分dy=f′(x0)dx在几何表示为f(x)的切线上的增量微分dy=f'(x_0) dx在几何表示为f(x)的切线上的增量微分dy=f′(x0)dx在几何表示为f(x)的切线上的增量

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)在几何上表示曲线f(x)上的增量，Δy≈dy\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)在几何上表示曲线f(x)上的增量，\Delta y≈dyΔy=f(x0+Δx)−f(x0)在几何上表示曲线f(x)上的增量，Δy≈dy

（四）连续、可导、可微之间的关系

可微–>可导and连续可导–>连续

f(X)可导，推不出f′(x)连续，推不出f′(x)存在f(X)可导，推不出f'(x)连续，推不出f'(x)存在f(X)可导，推不出f′(x)连续，推不出f′(x)存在=====>f(x)n阶可导−−−−>使用洛必达最多用到fn−1(x)f(x)n阶可导---->使用洛必达最多用到f^{n-1}(x)f(x)n阶可导−−−−>使用洛必达最多用到fn−1(x)

经典错误可见武P51 f(x)n阶连续可导−−−>使用洛必达可以用到fn(x)f(x)n阶连续可导--->使用洛必达可以用到f^{n}(x)f(x)n阶连续可导−−−>使用洛必达可以用到fn(x)

（五）求导公式

注意ln∣x∣的导数为1xln{|x|}的导数为\frac{1}{x}ln∣x∣的导数为x1

（六）求导法则及其对应的题型

1、有理运算法则

前提：u(x)、v(x)在x处可导∗∗∗∗，则有，(u±v)′=u′±v′;(uv)′=uv′+u′v;(uv=u′v−v′uv2)前提：u(x)、v(x)在x处可导****，则有，(u±v)'=u'±v';(uv)'=uv'+u'v;(\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^2})前提：u(x)、v(x)在x处可导∗∗∗∗，则有，(u±v)′=u′±v′;(uv)′=uv′+u′v;(vu=v2u′v−v′u)

2、复合函数求导法则

链式求导法

复合函数求导时，考虑利用函数的奇偶性来快速解决

f(x)和g(x)复合为y=f(g(x))时，在点x0处，若f(x)、g(x)导数都存在，则复合函数在该点导数存在，且复合函数的导数值=f′(u0)g(x0)(u0=g(x0))若二者至少有一个不存在，不能退出复合函数在该点不存在，此时，需要写出复合函数的表达式进行判断f(x)和g(x)复合为y=f(g(x))时，在点x_0处，若f(x)、g(x)导数都存在，则复合函数在该点导数存在，且复合函数的导数值=f'(u_0)g(x_0)(u_0=g(x_0))\\若二者至少有一个不存在，不能退出复合函数在该点不存在，此时，需要写出复合函数的表达式进行判断f(x)和g(x)复合为y=f(g(x))时，在点x0处，若f(x)、g(x)导数都存在，则复合函数在该点导数存在，且复合函数的导数值=f′(u0)g(x0)(u0=g(x0))若二者至少有一个不存在，不能退出复合函数在该点不存在，此时，需要写出复合函数的表达式进行判断

3、隐函数求导法

观察注意利用原方程进行化简

4、反函数的导数

f′(x)=1g′(y)f'(x)=\frac{1}{g'(y)}f′(x)=g′(y)1 即g′(y)=1f′(x)g'(y)=\frac{1}{f'(x)}g′(y)=f′(x)1 g′′(y)=ddy(1f′(x))=ddx(1f′(x))∗dxdy=−f′′(x)f′(x)2∗1f′(x)g''(y)=\frac{d}{dy}(\frac{1}{f'(x)})=\frac{d}{dx}(\frac{1}{f'(x)})*\frac{dx}{dy}=-\frac{f''(x)}{f'(x)^2}*\frac{1}{f'(x)}g′′(y)=dyd(f′(x)1)=dxd(f′(x)1)∗dydx=−f′(x)2f′′(x)∗f′(x)1

5、参数方程求导法

dydx=y′(t)x′(t)\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}dxdy=x′(t)y′(t)

d2ydx2=y′′(t)x′(t)−x′′(t)y′(t)x′3(t)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{x'^3(t)}dx2d2y=x′3(t)y′′(t)x′(t)−x′′(t)y′(t)

方法：1阶导数带公式，二阶导数，要注意是否能带公式，不能带，要用一阶导数进行推导方法：1阶导数带公式，二阶导数，要注意是否能带公式，不能带，要用一阶导数进行推导方法：1阶导数带公式，二阶导数，要注意是否能带公式，不能带，要用一阶导数进行推导

d2ydx2=ddx(dydx)=ddt(y′(t)x′(t))1x′(t)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{y'(t)}{x'(t)})\frac{1}{x'(t)}dx2d2y=dxd(dxdy)=dtd(x′(t)y′(t))x′(t)1

如果出现具体的点，用带公式的方法简单

6、对数求导法

出现多个因式的乘除、乘幂或是幂指函数的形式，通过先将函数取对数，再对两边x求导，其好处是转换为加减的有理运算

7、高阶导数

1) 常用公式：

(sinx)n=sin(x+nΠ2)(sinx)^n=sin(x+\frac{nΠ}{2})(sinx)n=sin(x+2nΠ) (cosx)n=cos(x+nΠ2)(cosx)^n=cos(x+\frac{nΠ}{2})(cosx)n=cos(x+2nΠ)

(u±v)n=un±vn(u±v)^n=u^n±v^n(u±v)n=un±vn 若用此公式，会出现n项，所以说，特殊点用该公式比较好，如武p66 例二exsinxe^xsinxexsinx求n阶导，不适用此公式

(uv)n=∑k=0nCnkukvn−k(uv)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ku^kv^{n-k}(uv)n=k=0∑nCnkukvn−k

2)求低阶导数，进行归纳

如(ax±b)−n、ln(ax±b)本质也是前者的归纳(ax±b)^{-n}、ln^{(ax±b)}本质也是前者的归纳(ax±b)−n、ln(ax±b)本质也是前者的归纳

3）利用泰勒公式,具体点用比较合适

将函数f(X)在该点展开，找到等式右端x的n次项系数an=fn(x0)n!====>fn(x0)=an∗n!将函数f(X)在该点展开，找到等式右端x的n次项系数a_n=\frac{f^{n}(x_0)}{n!}====>f^{n}(x_0)=a_n*n!将函数f(X)在该点展开，找到等式右端x的n次项系数an=n!fn(x0)====>fn(x0)=an∗n!

4）高阶三角函数求其n阶导，基本思路是先进行降幂，如武P66 例3

（七）利用导数定义求极限

如给出x0点处的函数值、导数值，让你求一个极限值给出x_0点处的函数值、导数值，让你求一个极限值给出x0点处的函数值、导数值，让你求一个极限值，通常做法是将该极限凑导数的定义，若想使用洛必达，千万注意题目中是否给出了可以使用洛必达的前提，(四)中所写的

还可以用特殊值法，进行求解(比较快)

（八）利用导数定义求导数

导数，其本质不还是定义，与（七）相比较，就是要我们自己写出一个极限，然后进行求解

（九）！利用导数定义判断函数的可导性

1)f(x)在x=0处连续，limx−>0f(x)−f(−x)x存在，则f′(x)存在f(x)在x=0处连续，lim_{x->0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}存在，则f'(x)存在f(x)在x=0处连续，limx−>0xf(x)−f(−x)存在，则f′(x)存在 错误的，反例f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣

这个只能得到 limx−>0f(x)−f(0)x+f(−x)−f(0)−x存在lim_{x->0}\frac{f(x)-f(0)}{x}+\frac{f(-x)-f(0)}{-x}存在limx−>0xf(x)−f(0)+−xf(−x)−f(0)存在，整体存在

2）f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件：limx−>0f(g(x))h(x)=limx−>0f(g(x))−f(0)g(x)∗g(x)h(x)f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件：lim_{x->0}\frac{f(g(x))}{h(x)}=lim_{x->0}\frac{f(g(x))-f(0)}{g(x)}*\frac{g(x)}{h(x)}f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件：limx−>0h(x)f(g(x))=limx−>0g(x)f(g(x))−f(0)∗h(x)g(x)

1)g(x)−>0+,2)g(x)−>0−,g(x)h(x)为常数1)g(x)->0^+,2)g(x)->0^-,\frac{g(x)}{h(x)}为常数1)g(x)−>0+,2)g(x)−>0−,h(x)g(x)为常数

3)设f(x)=g(x)∣x−a∣,其g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是g(a)=0设f(x)=g(x)|x-a|,其g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是g(a)=0设f(x)=g(x)∣x−a∣,其g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是g(a)=0

4）∣x∣在x=0处不可导，而x∣x∣在x=0处可导，那么推广至∣f(x)∣在某点处不可导，f(x)∣f(x)∣在该点处可导|x|在x=0处不可导，而x|x|在x=0处可导，那么推广至|f(x)|在某点处不可导，f(x)|f(x)|在该点处可导∣x∣在x=0处不可导，而x∣x∣在x=0处可导，那么推广至∣f(x)∣在某点处不可导，f(x)∣f(x)∣在该点处可导

$函数f(x)=|x^3-1|g(x),其中g(x)在x=1处连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的充要条件 $

f(x)=(x2+x+1)g(x)∣x−1∣,∣x−1∣在x=1处不可导，g(x)在x=1处，连续且g(1)=0，所以证得f(x)在x=1可导f(x)=(x^2+x+1)g(x)|x-1|,|x-1|在x=1处不可导，g(x)在x=1处，连续且g(1)=0，所以证得f(x)在x=1可导f(x)=(x2+x+1)g(x)∣x−1∣,∣x−1∣在x=1处不可导，g(x)在x=1处，连续且g(1)=0，所以证得f(x)在x=1可导

5）f(x)与∣f(x)∣可导性的关系f(x)与|f(x)|可导性的关系f(x)与∣f(x)∣可导性的关系

f(x)连续，若f(x0)≠0,则f(x)在x=0处可导<===>∣f(x)∣在x=x0处可导f(x)连续，若f(x_0)≠0,则f(x)在x=0处可导<===>|f(x)|在x=x_0处可导f(x)连续，若f(x0)=0,则f(x)在x=0处可导<===>∣f(x)∣在x=x0处可导

f(x0)=0,则f′(x0)=0<===>∣f(x0)∣在x0处可导f(x_0)=0,则f'(x_0)=0<===>|f(x_0)|在x_0处可导f(x0)=0,则f′(x0)=0<===>∣f(x0)∣在x0处可导

（十）导数的几何意义

1）直角坐标下的隐函数、参数方程，求解切线、法线

2）极坐标下的方程，求解直角坐标下的切线、法线

做法：可以利用x、y与r、角度的关系，变为直角坐标下的隐函数求导

也可以，将其改写为x、y关于角度的参数方程进行求导

第二节：导数应用

（一）微分中值定理

1、★罗尔定理

f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，且f(a)=f(b),则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)=0f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，且f(a)=f(b),则至少存在一点c∈(a,b),有f'(c)=0f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，且f(a)=f(b),则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)=0

2、★拉格朗日定理

f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)=f(b)−f(a)b−af(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，则至少存在一点c∈(a,b),有f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)=b−af(b)−f(a)

3、柯西定理

f(x)、g(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导,且f′(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)g′(c)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)f(x)、g(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导,且f'(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b),有\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}f(x)、g(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导,且f′(x)=0，则至少存在一点c∈(a,b),有g′(c)f′(c)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)

4、泰勒定理

这里主要关注带有拉格朗日余项的泰勒公式：Rn(x)=fn+1(x)(x−x0)n+1(n+1)!R_n(x)=\frac{f^{n+1}(x)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}Rn(x)=(n+1)!fn+1(x)(x−x0)n+1

5、★注

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，尤其是拉格朗日定理，建立了函数在区间上的变化与函数在该区间上某一点的导数的关系，从而使我们能够利用导数来研究函数在区间上的整体性态

泰勒定理的拉格朗日余项，则给我们建立了函数与高阶导数的关系，有些感觉比较难的题，尤其是它还给了某一个点很多信息，通常都可以用泰勒来解决，如武P78例8、武P80 例4

拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特例，当n=0时，也是柯西中值定理的特例，当g(x)=x时

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，当f(a)=f(b)时

（二）极值与最值

1、极值的概念

$ f(x)在x=x_0去心邻域内有定义，且该去心邻域的任何一点f(x)<f(x_0)(f(x)>f(x_0))，\则称x_0是f(x)的一个极大值(极小值)点$

函数在闭区间[a,b]上的极值，只能在(a,b)上取到，端点处不可能取极值，原因是，端点处不可能存在去心邻域

函数在闭区间[a,b]上的最值在开区间(a,b)上取得，那么，函数在该点处必然是极值点

2、极值的一个必要条件

f(x)在点x0处可导，且该点为极值点，则f′(x0)=0f(x)在点x_0处可导，且该点为极值点，则f'(x_0)=0f(x)在点x0处可导，且该点为极值点，则f′(x0)=0

我们称导数为零的点是驻点，也就是说，极值点必定为驻点

对于一般的函数，极值点的取值只可能在驻点和导数不存在的点

3、极值的充三个分条件

第一充分条件

设f(x)在x0处可导(或f(x)在x0处连续)，且在x0的去心邻域内可导设f(x)在x_0处可导(或f(x)在x_0处连续)，且在x_0的去心邻域内可导设f(x)在x0处可导(或f(x)在x0处连续)，且在x0的去心邻域内可导

若去心邻域的左半部分f′(x)都＞0，右半部分f(x)都＜0，则x0是极大值若去心邻域的左半部分f'(x)都＞0，右半部分f(x)都＜0，则x_0是极大值若去心邻域的左半部分f′(x)都＞0，右半部分f(x)都＜0，则x0是极大值

若去心邻域的左半部分f′(x)都＜0，右半部分f(x)都＞0，则x0是极小值若去心邻域的左半部分f'(x)都＜0，右半部分f(x)都＞0，则x_0是极小值若去心邻域的左半部分f′(x)都＜0，右半部分f(x)都＞0，则x0是极小值

若在去心邻域内，f′(x)的符号保持不变，则f(x)在该去心邻域内没有极值点若在去心邻域内，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在该去心邻域内没有极值点若在去心邻域内，f′(x)的符号保持不变，则f(x)在该去心邻域内没有极值点

第二充分条件：局限性，要求二阶可导，且不能判断倒数不存在的点

f′(x0)=0,f′′(x0)≠0，则x0点为极值点f'(x_0)=0,f''(x_0)≠0，则x_0点为极值点f′(x0)=0,f′′(x0)=0，则x0点为极值点

若f′′(x0)>0,则x0为极小值点若f''(x_0)>0,则x_0为极小值点若f′′(x0)>0,则x0为极小值点

若f′′(x0)＜0，则x0为极大值点若f''(x_0)＜0，则x_0为极大值点若f′′(x0)＜0，则x0为极大值点

第三充分条件

f′(x0)=0,f′′(x0)=0,.....,fn(x0)≠0,则当n为偶数时，f(x)在x0有极值点，且fn(x0)>0,为极小值，fn(x0)＜0，为极大值当n为奇数时，不是极值点f'(x_0)=0,f''(x_0)=0,.....,f^n(x_0)≠0,\\则当n为偶数时，f(x)在x_0有极值点，且f^n(x_0)>0,为极小值，f^n(x_0)＜0，为极大值\\当n为奇数时，不是极值点f′(x0)=0,f′′(x0)=0,.....,fn(x0)=0,则当n为偶数时，f(x)在x0有极值点，且fn(x0)>0,为极小值，fn(x0)＜0，为极大值当n为奇数时，不是极值点

4、最值的求法

第一步：求出开区间内的驻点和不可导点

第二步：求出驻点、不可导点、端点的函数值

第三步：进行比较

★注：当闭区间[a,b]上有唯一极大值(极小值)点时，则它也是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值)点

（三）曲线的凹向与拐点

1、曲线的凹向

f(x)在区间I上连续，对I上的任意两点x1,x2f(x)在区间I上连续，对I上的任意两点x_1,x_2f(x)在区间I上连续，对I上的任意两点x1,x2

f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,则称f(x)在区间I上是凸的f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},则称f(x)在区间I上是凸的f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2),则称f(x)在区间I上是凸的

f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2,则称f(x)在区间I上是凹的f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},则称f(x)在区间I上是凹的f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2),则称f(x)在区间I上是凹的

若f′′(x)在区间I上>0,则f(x)是凹的，在区间I上是<0,f(X)是凸的若f''(x)在区间I上>0,则f(x)是凹的，在区间I上是<0,f(X)是凸的若f′′(x)在区间I上>0,则f(x)是凹的，在区间I上是<0,f(X)是凸的

2、曲线的拐点其是一个(x,y)的点一个必要、三个充分

若f(x)在(x0,f(x0)临近两侧的凹凸性相反，则称点(x0,f(x0)是f(x)的拐点若f(x)在(x_0,f(x_0)临近两侧的凹凸性相反，则称点(x_0,f(x_0)是f(x)的拐点若f(x)在(x0,f(x0)临近两侧的凹凸性相反，则称点(x0,f(x0)是f(x)的拐点

必要条件： (x,f(x0))是拐点，则f′′(x0)=0(x,f(x_0))是拐点，则f''(x_0)=0(x,f(x0))是拐点，则f′′(x0)=0

第一充分条件：f′′(x0)在x0点，左右两端异号，则(x,f(x0))是拐点f''(x_0)在x_0点，左右两端异号，则(x,f(x_0))是拐点f′′(x0)在x0点，左右两端异号，则(x,f(x0))是拐点

f′′(x0)在x0点，左右两端同号，则(x,f(x0))不是拐点f''(x_0)在x_0点，左右两端同号，则(x,f(x_0))不是拐点f′′(x0)在x0点，左右两端同号，则(x,f(x0))不是拐点

第二充分条件：f′′(x0)=0,f′′′(x0)≠0，则(x,f(x0))是拐点f''(x_0)=0,f'''(x_0)≠0，则(x,f(x_0))是拐点f′′(x0)=0,f′′′(x0)=0，则(x,f(x0))是拐点

f′′(x0)=0,f′′′(x0)=0，则不能判定(x,f(x0))到底是否为是拐点f''(x_0)=0,f'''(x_0)=0，则不能判定(x,f(x_0))到底是否为是拐点f′′(x0)=0,f′′′(x0)=0，则不能判定(x,f(x0))到底是否为是拐点

第三充分条件：f′′(x0)=0,f′′′(x0)=0,.....fn(x0)≠0f''(x_0)=0,f'''(x_0)=0,.....f^n(x_0)≠0f′′(x0)=0,f′′′(x0)=0,.....fn(x0)=0

当n为奇数，则(x,f(x0))是拐点当n为奇数，则(x,f(x_0))是拐点当n为奇数，则(x,f(x0))是拐点

当n为偶数，则(x,f(x0))不是拐点当n为偶数，则(x,f(x_0))不是拐点当n为偶数，则(x,f(x0))不是拐点

注：将极值点的必要条件和充分条件的导数阶数提高一阶，便是拐点的一个必要条件和三个充分条件

（四）曲线的渐近线 ★ 注意区分左右

1、水平渐近线

limx−>∞f(x)=A,则y=A,是f(x)的水平渐近线lim_{x->∞}f(x)=A,则y=A,是f(x)的水平渐近线limx−>∞f(x)=A,则y=A,是f(x)的水平渐近线

2、垂直渐近线

limx−>x0f(x0)=∞，则x=x0是f(x)的垂直渐近线lim_{x->x_0}f(x_0)=∞，则x=x_0是f(x)的垂直渐近线limx−>x0f(x0)=∞，则x=x0是f(x)的垂直渐近线

3、斜渐近线

limx−>∞f(x)x=a,limx−>∞f(x)−ax=b,那么y=ax+b是f(x)的斜渐近线lim_{x->∞}\frac{f(x)}{x}=a,lim_{x->∞}f(x)-ax=b,那么y=ax+b是f(x)的斜渐近线limx−>∞xf(x)=a,limx−>∞f(x)−ax=b,那么y=ax+b是f(x)的斜渐近线

若f(x)可以写成ax+b+o(x)若f(x)可以写成ax+b+o(x)若f(x)可以写成ax+b+o(x) (x−>∞时，o(x)−>0)(x->∞时，o(x)->0)(x−>∞时，o(x)−>0) 那么ax+b就是斜渐近线

（五）平面曲线的曲率

1、曲率的定义

K=limΔs−>0∣ΔαΔs∣K=lim_{\Delta_{s->0}}|\frac{\Delta_{\alpha}}{\Delta_s}|K=limΔs−>0∣ΔsΔα∣

2、曲率的计算

k=∣y′′∣(1+y′2)32k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}k=(1+y′2)23∣y′′∣

k=∣y′′x′−x′′y′∣(x′2+y′2)32，类比一下参数方程的d2ydx2=y′′x′−x′′y′x′3k=\frac{|y''x'-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}，类比一下参数方程的\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y''x'-x''y'}{x'^3}k=(x′2+y′2)23∣y′′x′−x′′y′∣，类比一下参数方程的dx2d2y=x′3y′′x′−x′′y′

3、曲率半径

R=1KR=\frac{1}{K}R=K1

（六）题型：函数的单调性、极值与最值

1、主要还是通过导数来进行解题

2、对于不可导的点，就用导数的定义来求该点的极限值

3、抽象函数的极值

用极限的保号性来做 武P71例题3，在去心邻域内的函数值>0，只能推出该点的极限值≥0

表达出f’(x)、f’'(x)的式子，然后用极限来做，武P71 例题4

武P72例题5，分别用洛必达、泰勒公式、极限保号性来解题

4、隐函数的极值，用到将y用x的式子代换来作题，武P71例题2

5、参数方程有关，最好列出t、x、y的对应范围，还要注意x(t)的单调性，武P73例题2

（七）题型：曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率

1、关注渐近线的趋近于某点的左右两端问题

2、关注斜渐近线的ax+b+o(x) 这种解法，确实不太好想

（八）题型：方程的根的存在性及个数

1、存在性解题常用方法：

零点定理

罗尔定理

2、根的个数解题常用方法：

单调性

罗尔定理推论：在区间I上，fn(x)≠0，则在区间I上最多有n个实根，可以用反证法证明在区间I上，f^n(x)≠0，则在区间I上最多有n个实根，可以用反证法证明在区间I上，fn(x)=0，则在区间I上最多有n个实根，可以用反证法证明武P75

3、遇到一些题目，不能很好的求出具体的点，具体的值

那么我们可以通过单调性得到其在区间上最多有几个零点，再通过取特殊点进行估值说明武P77 例3、4

4、对于含参数的方程

通常做法是将参数分离出来，给求解带来方便，这种思想在武P77例题6体现的淋漓尽致

（九）证明函数不等式

1、常用方法：

单调性、最大值最小值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、凹凸性

2、不等式中没有x，只有a，b(二者有大小关系)

武P79 例2 将其中一个写成x，这样就得到了一个函数，用单调性

还可以通过观察，将式子中a、变换为一个整体，再用x替换

武P80 例3 将；两个表达式的形式通过转换，可以看作是一个函数在不同点的函数值，就转换为求该函数的单调性

（十）微分中值定理有关的证明题

1、证明只存在一个点c∈(a,b),使F[c,f(c),f′(c)]=0证明只存在一个点c∈(a,b),使F[c,f(c),f'(c)]=0证明只存在一个点c∈(a,b),使F[c,f(c),f′(c)]=0

分析法

微分方程法

归纳的规律：f′(c)+g(x)f(x)=0,构造F(X)=e∫g(x)dxf(x)f'(c)+g(x)f(x)=0,构造F(X)=e^{\int{g(x)dx}}f(x)f′(c)+g(x)f(x)=0,构造F(X)=e∫g(x)dxf(x)，这种情况，有时f(x)不是显性的，需要构造一个h(x)=f(x)±常数，这时的h′(x)=f′(x)h'(x)=f'(x)h′(x)=f′(x)

一些二阶的导数，也可以通过用替换法降阶的方法，写成一阶的形式

分式->交叉相乘

2、证明存在两个中值点c,d∈(a,b),使F[c,d,f′(c),f′(d)]=0证明存在两个中值点c,d∈(a,b),使F[c,d,f'(c),f'(d)]=0证明存在两个中值点c,d∈(a,b),使F[c,d,f′(c),f′(d)]=0

不要求c≠d ：在同一区间用两次中值定理(拉格朗日中值定理、柯西中值定理)

要求c不等于d，要将区间[a,b]划分为两个子区间，在两个子区间上分别进行拉格朗日中值定理

对于要划分区间的，有的题目会有第一问，通常第一问就是我们第二问划分区间的中间点

若没有第一问，那么就需要我们自己来找中间点，通常的做法是采用逆推法，即我们自己假设一个中间点c，然后进行两次拉格朗日中值定理，对整理后的式子，我们进行观察，看c的取值

3、证明存在一个中值点c∈(a,b),使F[c,fn(c)]=0证明存在一个中值点c∈(a,b),使F[c,f^n(c)]=0证明存在一个中值点c∈(a,b),使F[c,fn(c)]=0

这种函数与高阶导数的关系式，我们通常采用带拉格朗日余项的泰勒公式

其中在选点方面，我们选择题目中给出的信息最多的点来作为x0x_0x0 ,当有有的点存在导数信息时，优先采取该点作为x0x_0x0,将其他点作为x带入泰勒公式中

一元函数积分学

第一节：不定积分

（一）原函数和不定积分

在区间I上，F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx在区间上处处成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数如果F(x)是f(X)的一个原函数，那么F(x)+c都是f(x)的原函数，且是其全部原函数在区间I上，F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx在区间上处处成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数\\如果F(x)是f(X)的一个原函数，那么F(x)+c都是f(x)的原函数，且是其全部原函数在区间I上，F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx在区间上处处成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数如果F(x)是f(X)的一个原函数，那么F(x)+c都是f(x)的原函数，且是其全部原函数

在区间I上，函数f(x)带有任意常数的原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+c在区间I上，函数f(x)带有任意常数的原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为\int f(x)dx=F(x)+c在区间I上，函数f(x)带有任意常数的原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+c

（二）原函数的存在性

若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必定存在原函数若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必定存在原函数若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必定存在原函数

若f(x)在区间I上存在第一类间断点，则f(X)在区间I上必定不存在原函数若f(x)在区间I上存在第一类间断点，则f(X)在区间I上必定不存在原函数若f(x)在区间I上存在第一类间断点，则f(X)在区间I上必定不存在原函数

（三）不定积分的性质

(∫f(x)dx)′=f(x)(\int f(x)dx)'=f(x)(∫f(x)dx)′=f(x) d∫f(x)dx=f(x)dxd\int f(x)dx=f(x)dxd∫f(x)dx=f(x)dx ∫f′(x)dx=f(x)+c\int f'(x)dx=f(x)+c∫f′(x)dx=f(x)+c ∫df(x)=f(x)+c\int df(x)=f(x)+c∫df(x)=f(x)+c

（四）基本积分公式

∫1a2+x2=ln∣x+a2+x2∣+c\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}=ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+c∫a2+x21=ln∣x+a2+x2∣+c ∫1x2−a2=ln∣x+x2−a2∣+c\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c∫x2−a21=ln∣x+x2−a2∣+c

∫1a2−x2=12aln∣a+xa−x∣\int\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|∫a2−x21=2a1ln∣a−xa+x∣

（五）三种主要积分法★

1) 第一类换元法(微凑法)

2)第二类换元法

三角换元，倒数换元

3)分部积分法

原则是将容易找到原函数的放到du(x)中，如pn(x)是n次多项式，当其与eax、sinax、cosax一起出现时，将后者放入du(x)中原则是将容易找到原函数的放到du(x)中，如p_n(x)是n次多项式，当其与e^{ax}、sinax、cosax一起出现时，将后者放入du(x)中原则是将容易找到原函数的放到du(x)中，如pn(x)是n次多项式，当其与eax、sinax、cosax一起出现时，将后者放入du(x)中

若pn(x)与lnx,arctanx、arcsinx一起出现时，将前者放入du(x)若p_n(x)与ln^x,arctanx、arcsinx 一起出现时，将前者放入du(x)若pn(x)与lnx,arctanx、arcsinx一起出现时，将前者放入du(x)

若eax与sinax、cosax一起出现时，可连续两次将指数函数凑进微分号分部换元求得若e^{ax}与sinax、cosax一起出现时，可连续两次将指数函数凑进微分号分部换元求得若eax与sinax、cosax一起出现时，可连续两次将指数函数凑进微分号分部换元求得

（六）三类常见可积函数积分

1）有理函数积分

一般方法：部分分式法

特殊方法：加项减项拆项或凑微分降幂

2）三角有理式

一般方法：tanx2=t,sinx=2tanxx1+tan2x2tan\frac{x}{2}=t,sinx=\frac{2tan\frac{x}{x}}{1+tan^2\frac{x}{2}}tan2x=t,sinx=1+tan22x2tanxx tanx=2tanxx1−tan2x2tanx=\frac{2tan\frac{x}{x}}{1-tan^2\frac{x}{2}}tanx=1−tan22x2tanxx cosx=1−tan2x21+tan2x2cosx=\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}cosx=1+tan22x1−tan22x

特殊方法：三角变形、换元、分部

几种常用的换元法：

R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=cosx,即凑dcosxR(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=cosx,即凑dcosxR(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=cosx,即凑dcosx

R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=sinx,即凑dsinxR(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=sinx,即凑dsinxR(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=sinx,即凑dsinx

R(−sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=tanx,即凑dtanxR(-sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=tanx,即凑dtanxR(−sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=tanx,即凑dtanx

3）简单无理函数

分子分母同次，将其转换为有理函数

不可积(原函数不是初等函数的)，如∫ex2\int e^{x^2}∫ex2，在多元积分中，用交换位次积分解决

（七）不定积分计算中出现的问题

∫ex−1dx,令=t,进行有理化\int \sqrt{e^x-1}dx,令\sqrt{}=t,进行有理化∫ex−1dx,令=t,进行有理化

存在eax的分式，经常分子分母上下同乘e−ax解决存在e^{ax}的分式，经常分子分母上下同乘e^{-ax}解决存在eax的分式，经常分子分母上下同乘e−ax解决

（八）不定积分杂例

复合函数求积分，武P101例题4

给出f(X)的一个原函数，让你求∫g(x)f′(x)dx,用分部积分，这样可以得到f(x),那么题目中给出的条件就可以用到，武P100例2给出f(X)的一个原函数，让你求\int g(x)f'(x)dx,用分部积分，这样可以得到f(x),那么题目中给出的条件就可以用到，武P100例2给出f(X)的一个原函数，让你求∫g(x)f′(x)dx,用分部积分，这样可以得到f(x),那么题目中给出的条件就可以用到，武P100例2

第二节：定积分

（一）定积分的概念

在区间[a,b]上任意插入n−1个点，将区间分为n个小区间[xi−1,xi]，f(i)xi在区间上做连续求和，并且满足n个小区间中最大的区间是趋近于0的，那么这个这个求和极限值就是该区域的定积分在区间[a,b]上任意插入n-1个点，将区间分为n个小区间[x_{i-1},x_{i}]，f(i)x_i在区间上做连续求和，并且满足n个小区间中最大的区间是趋近于0的，\\那么这个这个求和极限值就是该区域的定积分在区间[a,b]上任意插入n−1个点，将区间分为n个小区间[xi−1,xi]，f(i)xi在区间上做连续求和，并且满足n个小区间中最大的区间是趋近于0的，那么这个这个求和极限值就是该区域的定积分

注：定积分表示一个数值，取决于积分区间和被积函数，与积分变量无关，即∫f(x)dx=∫f(t)dt\int f(x)dx=\int f(t)dt∫f(x)dx=∫f(t)dt

定积分不依赖于区间[a,b]的分法，也不依赖于点i的取法

若定积分去区间[0,1]上n等分，那么这里存在一个定积分和极限求值的题型，即将极限求职转换为求定积分的值，可见极限笔记处

（二）定积分的几何意义

就是函数与x轴围成的面积，在上方，值为正；在下方值为负；上下方都存在，则为差

（三）可积性

1、必要条件

函数f(x)在区间上可积，则该函数在该区间上必定有界函数f(x)在区间上可积，则该函数在该区间上必定有界函数f(x)在区间上可积，则该函数在该区间上必定有界，后者不能推导前者的反例是迪利克雷函数

2、充分条件

函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上必定可积函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上必定可积函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上必定可积

函数f(X)在区间上有有限个间断点，且有界，则函数在该区间上必定可积函数f(X)在区间上有有限个间断点，且有界，则函数在该区间上必定可积函数f(X)在区间上有有限个间断点，且有界，则函数在该区间上必定可积

函数f(X)在区间上有有限个第一类间断点，则该函数在该区间上必定可积函数f(X)在区间上有有限个第一类间断点，则该函数在该区间上必定可积函数f(X)在区间上有有限个第一类间断点，则该函数在该区间上必定可积

（四）定积分的计算

1、牛顿-莱布尼茨公式

2、换元积分法

这里注意积分上下限也要换掉

3、分部积分法

给出f(X)，让你求f(x)的积分，此时用分部积分武P109例6

4、利用奇偶性、周期性

5、利用公式

∫0Π2sinnxdx=∫0Π2cosnxdx=n−1n∗...∗12∗Π2，n为偶数\int_{0}^{\frac{Π}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{Π}{2}}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}*...*\frac{1}{2}*\frac{Π}{2}，n为偶数∫02Πsinnxdx=∫02Πcosnxdx=nn−1∗...∗21∗2Π，n为偶数

n−1n∗...∗23,n为大于1的奇数\frac{n-1}{n}*...*\frac{2}{3},n为大于1的奇数nn−1∗...∗32,n为大于1的奇数

x多项式，通常考虑将其配方，进行三角代换\sqrt{x多项式}，通常考虑将其配方，进行三角代换x多项式，通常考虑将其配方，进行三角代换

（五）变上限积分

若f(x)在[a，b]上连续，则∫axf(t)dt在[a,b]上可导，且(∫axf(t)dt)′=f(x)若f(x)在[a，b]上连续，则\int_{a}^{x}f(t)dt在[a,b]上可导，且(\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)若f(x)在[a，b]上连续，则∫axf(t)dt在[a,b]上可导，且(∫axf(t)dt)′=f(x)

连续性：若f(X)在[a,b]上可积，则∫abf(t)dt在[a,b]上连续若f(X)在[a,b]上可积，则\int_{a}^{b}f(t)dt在[a,b]上连续若f(X)在[a,b]上可积，则∫abf(t)dt在[a,b]上连续

可导性：如果f(X)在[a,b]上，除了x0处外均连续，则在点x0处如果f(X)在[a,b]上，除了x_0处外均连续，则在点x_0处如果f(X)在[a,b]上，除了x0处外均连续，则在点x0处

f(x)f(x)f(x) F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_{a}^{x}f(t)dtF(x)=∫axf(t)dt

(1)连续可导，且F′(x0)=f(x0)F'(x_0)=f(x_0)F′(x0)=f(x0)

(2)可去可导，且F′(x0)=limx−>x0f(x)F'(x_0)=lim_{x->x_0}f(x)F′(x0)=limx−>x0f(x)

(3)跳跃连续但不可导，且F−′(x0)=f(x0−),F+′(x0)=f(x0+)F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^+)F−′(x0)=f(x0−),F+′(x0)=f(x0+)

奇偶性

若f(x)为偶函数，则∫0xf(t)dt为奇函数若f(x)为偶函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt为奇函数若f(x)为偶函数，则∫0xf(t)dt为奇函数

处理变上限积分常用的三种解法：

洛必达法则等价无穷小代换积分中值定理

（六）定积分的性质

1、不等式

若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则\int_{a}^{b}f(x)dx≤\int_{a}^{b}g(x)dx若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

若f(x)在[a,b]上连续，则(b−a)m≤∫abf(x)dx≤(b−a)M若f(x)在[a,b]上连续，则(b-a)m≤\int_{a}^{b}f(x)dx≤(b-a)M若f(x)在[a,b]上连续，则(b−a)m≤∫abf(x)dx≤(b−a)M

∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx|\int_{a}^{b}f(x)dx|≤\int_{a}^{b}|f(x)|dx∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx

2、积分中值定理

若f(x)在区间[a,b]连续，则∫abf(x)dx=(b−a)f(c),a<c<b若f(x)在区间[a,b]连续，则\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(c),a<c<b若f(x)在区间[a,b]连续，则∫abf(x)dx=(b−a)f(c),a<c<b

若f(x)、g(x)在区间[a,b]连续，则∫abf(x)g(x)dx=f(c)∫abg(x)dx,a≤c≤b若f(x)、g(x)在区间[a,b]连续，则\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx,a≤c≤b若f(x)、g(x)在区间[a,b]连续，则∫abf(x)g(x)dx=f(c)∫abg(x)dx,a≤c≤b

（七）积分不等式题型

1、变量代换

2、积分中值定理

3、变上限积分

将不等式中的定点问题，通过变上限积分转换为函数问题，前提是给出f(x)单调性，如武P120 例3

变上限积分还可以将f(x)与f’(x)联系起来

4、定积分不等式性质

5、柯西积分不等式 (∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx+∫abg2(x)dx(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2≤\int_{a}^{b}f^2(x)dx+\int_{a}^{b}g^2(x)dx(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx+∫abg2(x)dx

第三节：反常积分

（一）无穷区间上的反常积分

f(x)在(−∞，+∞)上连续，如果反常积分∫−∞0f(x)dx和∫0+∞f(x)dx都收敛，则称反常积分∫−∞+∞收敛若其中一个发散，则反常积分发散f(x)在(-∞，+∞)上连续，如果反常积分\int_{-∞}^{0}f(x)dx和\int_{0}^{+∞}f(x)dx都收敛，则称反常积分\int_{-∞}^{+∞}收敛\\若其中一个发散，则反常积分发散f(x)在(−∞，+∞)上连续，如果反常积分∫−∞0f(x)dx和∫0+∞f(x)dx都收敛，则称反常积分∫−∞+∞收敛若其中一个发散，则反常积分发散

∫0+∞f(x)dx=limt−>+∞∫0tf(x)dx\int_{0}^{+∞}f(x)dx=lim_{t->+∞}\int_{0}^{t}f(x)dx∫0+∞f(x)dx=limt−>+∞∫0tf(x)dx

判别其是否收敛的方法：

比较判别法

比较法的极限形式

常用结论 xpx^pxp p>1 收敛否则发散

（二）无界函数的反常积分

暇点

判别其是否收敛的方法：

比较判别法

比较法的极限形式

常用结论 ∫ab,a为暇点，(x−a)p\int_{a}^{b},a为暇点，(x-a)^p∫ab,a为暇点，(x−a)p ∫ab,b为暇点，(b−x)p\int_{a}^{b},b为暇点，(b-x)^p∫ab,b为暇点，(b−x)p p<1收敛，否则发散

（三）反常积分敛散性判断和计算

计算的核心方法通常为换元和分部

第四节：定积分应用

（一）几何应用

1、平面图形的面积

我们可以通过元素法，一重积分进行计算

更一般的，我们可以站在二重积分的角度来看，那么可以得到，所有的平面图形面积为∫∫1dρ\int \int1dρ∫∫1dρ

2、空间体的体积

我们可以通过元素法，进行计算

更一般的，我们总结为

$f(x)绕,y=ax+b旋转，(假设y不穿过f(x))，那么随机在区域内取一小块面积dρ，则dρ到y的距离的函数为r(x,y)\则dv=2Π\int\int r(x,y)dρ $

r(x,y)=∣ax+by+c∣a2+b2r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}r(x,y)=a2+b2∣ax+by+c∣

若在极坐标下，那么我们写出r(x,y)，可以利用x=rsina y=rcosa 来进行转换即可，武P132例4(2)

若给出空间体的截面面积函数为s(x)，则V=∫abs(x)dx\int_{a}^{b}s(x)dx∫abs(x)dx

3、曲线弧长

直角坐标下：s=∫ab1+y′2dxs=\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'^2}dxs=∫ab1+y′2dx

参数方程：s=∫abx′(t)+y′2(t)dt,(a≤t≤b)s=\int_{a}^{b}\sqrt{x'^(t)+y'^2(t)}dt,(a≤t≤b)s=∫abx′(t)+y′2(t)dt,(a≤t≤b)

极坐标下：s=∫abr2(o)+r′2(0)do,(a≤o≤b)s=\int_{a}^{b}\sqrt{r^2(o)+r'^2(0)}do,(a≤o≤b)s=∫abr2(o)+r′2(0)do,(a≤o≤b)

4、旋转体侧面积

$我们取一小段弧长ds,求得其到旋转轴的距离函数r(x,y),那么旋转体的侧面积为2Π\int_{a}^{{b}r(x,y)\sqrt{1+y’}2}dx $ 直角坐标情况下

（二）物理应用

变力沿直线所做的功

液体的压力

引力(极少考)

质心、形心(极少考)

对于物理引用，没有什么常规的公式，最好的解法就是通过元素法进行分析解答

常微分方程

一阶微分方程

可分离变量的方程

齐次方程

线性方程

如y′+p(x)y=Q(x)y'+p(x)y=Q(x)y′+p(x)y=Q(x)

若不是以上三种可以解决的，考虑x、y对调，或利用变量代换将其换为以上三种

可降阶的高阶方程

①

②

③

高阶线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程

题型

微分方程求解

综合题

应用题

多元函数微分学

重极限

①求重极限的方法：

利用极限性质(夹逼原理、四则运算法则)

消去分母中极限为零的因子(有理化、无穷小代换)

利用无穷小量与有界量之积为无穷小量

②证明重极限不存在的方法

沿两种不同的路径极限不同

连续

性质：连续函数的和、差、积、商复合仍连续

基本初等函数在其定义域内连续、初等函数在其定义区域内连续

有界性，在有界闭区域D上连续，则在D上必有界

最值性，在有界闭区域D上连续，存在最大值和最小值

介值性，在有界闭区域D上连续，在D上可以取到介于最大值和最小值之间的任何值

偏导数

几何意义

高阶偏导数

全微分

①定义

②必要条件

③充分条件

④用定义判断：

⑤连续、一阶偏导数存在、可微、偏导数连续的关系

题型：讨论连续性、可导性、可微性

偏导数域全微分的计算

复合函数求导

全微分形式不变性

隐函数求导

①公式：

②等式两边求导

③利用微分形式不变性

题型：求一点处的偏导数与全微分

①分段点处用定义去求

②求具体点用先代后求的方法比较简单

题型：求已给出的具体表达式函数的偏导数和全微分

题型：含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分

题型：隐函数的偏导与全微分

极值与最值

无条件极值

极值的必要条件

极值的充分条件：

条件极值及拉格朗日乘数法

最大值最小值

①求内部的极值点

②求边界上的最大值最小值

③比较

二重积分

二重积分的性质

①不等式性质

②积分中值定理

二重积分的计算

①利用直角坐标

②利用极坐标

③利用对称性和奇偶性计算

④利用变量对称性计算

⑤累次积分交换次序

与二重积分有关的综合题

与二重积分有关的积分不等式题