微分方程的齐次解与特解

一个微分方程的完全解=齐次解 + 特解

微分方程的特解形式完全由外加激励所决定，外加激励是指数形式，方程特解就是指数形式；而齐次解完全由内部激励(系统的固有结构)决定。

响应的划分：

全响应=零输入响应 + 零状态响应

全响应=瞬(暂)态响应 + 稳态响应

全响应=自由响应 (与外加激励无关)+ 强迫响应(顾名思义，受迫于外加激励)

其中首先需要分清的地方就在于，零输入响应是齐次解的一部分，不等价于齐次解。

零输入响应指外加激励e ( t ) = 0 e(t)=0e(t)=0，其响应指的是系统的原始储能，所以零状态响应即系统的原始储能(初始状态r ( 0 − ) r(0_{-})r(0−​))为0，只有外部激励产生响应。

以下通过两个角度来分析

一. 概念的角度

定义的不同

①自由响应(对应齐次解)是指动态电路的完全响应中，

已由初始条件确定待定系数k的微分方程通解部分，它的函数形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。

②零输入响应是指在没有外加激励时，仅由t = 0时刻的非零初始状态引起的响应，即电路系统中的原始储能引起的响应。

性质的不同

①自由响应的函数形式由电路系统的本身结构来决定，基本上与外加激励无关；

②零输专入响应在一定程度上取决于初始状态和电路特属性，这种响应随时间按指数规律衰减。

范围不同

①自由响应不但包括零输入响应，还含有零状态响应中的一部分；

②零输入响应只能属于自由响应的一部分。

二. 通过数学角度可以直观地看出零输入响应是齐次解的一部分

已知全解=齐次解 + 特解

自由响应对应的就是齐次解(系统函数决定，与外加激励无关，此齐次解应为不含常数项)，强迫响应对应的就是特解(外加激励决定，此特解为常数项)；

然而求解过程中得到的零输入响应和零状态响应明显各包含一部分齐次解的分量，

故只能说零输入响应是齐次解的一部分，实际上：齐次解= 零输入响应 + 零状态响应的一部分。

即

自由响应不等同于零输入响应，自由响应=零输入响应+零状态响应中的一部分。

关于暂态响应和稳态响应

暂态响应

动态电路全响应中，当t→∞时，趋于0的部分，称为暂态响应；

稳态响应

动态电路全响应中，除去暂态响应，剩下的部分称为稳态响应。

通俗地讲：

稳态就是系统稳定后的数值

瞬态就是输入的时刻系统的相应，在时间常数之内的变化比较大，达到稳态之前的过程

自然响应就是本征响应，跟信号的输入没有关系，只跟系统本身有关。

受迫响应就是有信号输入影响的响应。

通过S域系统函数的极点分布来分析

极点在左半轴为指数衰减；虚轴上为等幅；在右半轴为指数增长。

已知零状态响应，时域上r ( t ) = e ( t ) ∗ h ( t ) r(t)=e(t)*h(t)r(t)=e(t)∗h(t)，时域上卷积对应复频域上乘积R ( s ) = E ( s ) H ( s ) R(s)=E(s)H(s)R(s)=E(s)H(s)

暂态响应和稳态响应的区分也是如此

一般情况下，对于稳定系统，H ( s ) H(s)H(s)极点的实部都小于0(极点位于左半轴)，故自由响应函数呈衰减形式，在这种情况下，自由响应就是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。

若有全响应r ( t ) = 1.5 + 2 e − t − 2.5 e − 2 t r(t) = 1.5 + 2e^{-t}-2.5e{-2t}r(t)=1.5+2e−t−2.5e−2t，则

但需要注意特殊情况：

如果激励信号本身就是衰减信号，即极点在左半轴，当时间t tt趋于无穷大以后，强迫响应也等于0，这时，强迫响应与自由响应一起组成瞬(暂)态响应(因为最后都趋于0了，这是瞬态响应的定义)，而系统的稳态响应等于0；

当极点在虚轴上或是原点处是，其自由响应就是无休止的等幅振荡，自由响应也就成为稳态响应，这是一种特例(成为临界(或边界)稳定系统)；

当极点位于右半轴，则自由响应是增幅振荡，这属于不稳定系统。