【自动控制原理】——第二章——数学模型【时域】【复频域】【梅森增益公式】

文章目录

0.数学模型的概念
1.控制系统的时域数学模型（微分方程）
- 线性微分方程的一般特征
- 非线性微分方程的线性化
- 拉普拉斯例题传送门
2.控制系统的复数域数学模型
- 2.1传递函数的定义
- 2.2传递函数的性质
- 2.3传递函数的常用表示形式
- 2.4传递函数的零、极点对输出的影响
- 2.5例题
3.控制系统的结构图与信号流图
- 结构图的等效变换
- 结构图例题
- 信号流图的概念和组成
- 信号流图中的常用术语
梅森公式
- 梅森公式概念
- 梅森公式例题

0.数学模型的概念

什么是数学模型？
描述控制系统的输入变量、输出变量以及内部变量之间动态关系的数学表达式。
为什么要建立数学模型？
对系统进行定量分析和设计的基础。（例如，求解输出量，计算性能指标）
数学模型的建立方法
（1）分析法：分析系统各部分的运动机理，根据它们依据的物理规律、化学规律等列些运动方程。
（2）实验法：

人为地给系统输入端施加某种测试信号，记录其输出响应；根据记录的输入、输出数据，用适当的数学模型去逼近黑箱，从而建立数学模型。
（实验法所建立的模型未必能描述系统内部的运行机理，但能描述输入量与输出量之间的动态关系。）
这也称为系统辨识方法。
4. 数学模型的类型
1)微分方程：时域
其它模型的基础直观求解繁琐
2)传递函数：复频域
微分方程拉氏变换后的结果

1.控制系统的时域数学模型（微分方程）

【例题1】

【例题2】

线性微分方程的一般特征

实际物理系统的线性微分方程一般具有以下形式：

叠加原理包括：齐次性+可加性

非线性微分方程的线性化

在实际工程中，物理元件都具有不同程度的非线性。非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以将非线性方程近似地转化为线性微分方程，使对系统动态特性的分析大为简化。
线性化的方法
（1）忽略弱非线性因素如果元件的非线性因素较弱或者不在系统非线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略
（2）在平衡点附近的小偏差法（切线法，增量线性化法）实质是在一个很小的范围内，用直线来代替非线性曲线。

方程中含有变量或变量的导数的非线性函数线性化

线性微分方程如何求解

拉普拉斯例题传送门

用拉普拉斯变换

2.控制系统的复数域数学模型

2.1传递函数的定义

直接得

2.2传递函数的性质

（1）传递函数与微分方程一一对应；
由传递函数也可以得到微分方程，d/dt和s相互替换
（2）传递函数表征了系统本身的动态特性。
传递函数只取决于系统本身的结构和参数，而与输入和初始条件等外部因素无关。
（3）实际系统m ≤ n,分子分母多项式的系数均为实数；
（4）传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应g(t)， g(t)= L-1[G(s)]。

2.3传递函数的常用表示形式

传递函数的有理分式形式

传递函数的零、极点形式（“首1”的形式）

传递函数的典型环节形式（“尾1”的形式）

2.4传递函数的零、极点对输出的影响

1.系统的自由运动属性（模态）

2. 极点决定了系统自由运动属性（模态）

极点位置决定了系统响应的稳定性和快速性

（1）极点实部的负或正，决定系统是否稳定。
（2）极点实部的幅值（极点距离虚轴的位置）决定系统响应的快速性。

零点位置决定了各个运动模态所占的比例
（1）影响系统响应曲线的形状，影响响应的快速性。
（2）一般，零点离极点较远时，该极点对应的模态所占比例较大。反之亦然。因此，零点有阻断极点模态“激发”的作用。

2.5例题

3.控制系统的结构图与信号流图

结构图绘制步骤
根据每个元件的拉氏变换方程，绘出其单元结构图。置系统的输入于最左端，输出于最右端，按照信号的流向，把各单元结构图中相同的信号连接起来，就得到整个系统的结构图.

结构图的等效变换

(1) 串联

(2) 并联

(3) 反馈

(4) 比较点和引出点的移动

一般不宜交换比较点和引出点。
“-”号可以在信号线上移动，但不能越过比较点或引出点。

结构图例题

结构图合并举例

信号流图的概念和组成

组成
节点：系统中的变量（信号），用“ ”表示，同时具有叠加的作用
支路：连接节点，标上支路增益，有向线段，表示了一个信号对另一个信号的函数关系，用增益或传递函数表示（相当于乘法器）。
若增益为负数，标上“－”，为正则略。支路是有方向性的。

信号流图中的常用术语

梅森公式

梅森公式概念

一般采用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s)
梅森公式也可以直接用于结构图

P: 输入节点到输出节点之间的传递函数（也称总增益）。
n: 从输入节点到输出节点的前向通路的总数。
Pk ：从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益。
∆ ：信号流图的特征式：

∆k 第k条前向通路特征式的余因子，等于流图特
征式 ∆中除去与第k条前向通路相接触的回路
增益项（相当于令其等于0）以后的余项式。

梅森公式例题

【例题1】

【例题2】

【例题3】

【例题4】

闭环系统的传递函数