MATLAB教程_11方程式求根_台大郭彦甫课程笔记

一、符号寻根法（解析法）
- 1、使用sym()或syms()创建符号变量
- 2、符号根查找：solve（）
- 3、解多重方程
- 4、求解用符号表示的方程
- 5、符号微分：diff（）
- 6、符号积分：int（）
- 7、符号与数字
二、数值方法
- 1、Review of [Function Handles](https://blog.csdn.net/weixin_45433350/article/details/113394742) (@)
- 2、fsolve（）
- 3、fzero()
- 4、可以给函数fsolve()和fzero()附加选项
- 6、数值寻根方法

解一个函数的方法：
1. 解析解
2. 图解
3. 数值解

一、符号寻根法（解析法）

对符号而不是数字进行数学运算
使用“符号变量”执行符号数学

1、使用sym()或syms()创建符号变量

syms()

>> syms x        %简单，建议使用
>> x + x + x
ans =
3*x
>> (x + x + x)/4
ans =
(3*x)/4>> y = x^2-2*x-8
y =
x^2 - 2*x - 8

sym()

>> x=sym('x');
>> x + x + x
ans =
3*x
>> (x + x + x)/4
ans =
(3*x)/4

2、符号根查找：solve（）

函数“solve”找到方程的根
1）基本解法

>> syms x
>> y = x*sin(x)-x
y =
x*sin(x) - x
>> solve(y,x)  %解的是令y=0时函数的根
ans =0
pi/2

2）简化解法

>> syms x
solve(x*sin(x)-x, x)
ans =0
pi/2

练习1：cos(x)2−sin(x)2=0cos(x)^2-sin(x)^2=0cos(x)2−sin(x)2=0和cos(x)2+sin(x)2=0cos(x)^2+sin(x)^2=0cos(x)2+sin(x)2=0【解得的答案不完整】

>> syms x
>> y = cos(x)^2-sin(x)^2;
>> solve(y,x)
ans =
pi/4
%在[0,2π]应该有两个解
>> clear;
f=@(x) cos(x)^2-sin(x)^2
fzero(f,0)
f =包含以下值的 function_handle:@(x)cos(x)^2-sin(x)^2
ans =-0.7854
%用数值方法求解也只有一种解>> syms x
y = cos(x)^2+sin(x)^2;
solve(y,x)
ans =
Empty sym: 0-by-1
%应该有虚数解

3、解多重方程

举例——二元一次方程式{x−2y=5x+y=6\begin{cases} x-2y=5 \\ x+y=6 \end{cases}{x−2y=5x+y=6

>> syms x y
eq1 = x - 2*y - 5;
eq2 = x + y - 6;
A = solve(eq1,eq2,x,y)
A =包含以下字段的 struct:x: [1×1 sym]y: [1×1 sym]
>> A.x    %查看x,y的值时，用的是“ . ”
ans =
17/3
>> A.y
ans =
1/3

4、求解用符号表示的方程

如果给我们一个用符号表示的函数怎么办？
ax2−b=0ax^2-b=0ax2−b=0

>> syms x a b
solve('a*x^2-b')
检查对函数 'solve' 的调用中是否缺失参数或参数数据类型不正确。
>> solve(a*x^2-b)
ans =
b^(1/2)/a^(1/2)
-b^(1/2)/a^(1/2)

求bbb的解怎么办？
改变solve括号中的xxx为bbb

>> syms x a b
solve(a*x^2-b,b)
ans =
a*x^2

练习2：用符号方法求解这个方程(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x−a)2+(y−b)2=r2

>> syms x y a b r
eq = (x-a).^2 + (y-b).^2 - r.^2;
solve(eq,x)
ans =
a + (b + r - y)^(1/2)*(r - b + y)^(1/2)
a - (b + r - y)^(1/2)*(r - b + y)^(1/2)

练习3：用符号方法求矩阵逆inv(A)

>> syms a b c d
A = [a b; c d];
inv(A)
ans =
[ d/(a*d - b*c), -b/(a*d - b*c)]
[-c/(a*d - b*c),  a/(a*d - b*c)]

5、符号微分：diff（）

计算符号函数的导数：y=4x5y=4x^5y=4x5

>> syms x
y  = 4*x^5;
yprime = diff(y)
yprime =
20*x^4

练习4：计算微分法
f(x)=ex2x3−x+3,dfdx=?f(x)=\frac{e^{x^2}}{x^3-x+3}, \; \frac{df}{dx}=?f(x)=x3−x+3ex2,dxdf=?
g(x)=x2+xy−1y3+x+3,dfdx=?g(x)=\frac{x^2+xy-1}{y^3+x+3}, \; \frac{df}{dx}=?g(x)=y3+x+3x2+xy−1,dxdf=?

syms x y
f(x) = exp(x^2)/(x^3 - x + 3);
g(x) = (x^2 + x*y - 1)/(y^3 + x + 3);
>> fprime = diff(f(x))
fprime =
(2*x*exp(x^2))/(x^3 - x + 3) - (exp(x^2)*(3*x^2 - 1))/(x^3 - x + 3)^2
>> gprime = diff(g(x))
gprime =
(2*x + y)/(y^3 + x + 3) - (x^2 + y*x - 1)/(y^3 + x + 3)^2

6、符号积分：int（）

计算符号函数的积分：

提示：使用subs（）

>> syms x;
y = x^2*exp(x);
z = int(y)
z =
exp(x)*(x^2 - 2*x + 2)
>> z = z-subs(z, x, 0)
z =
exp(x)*(x^2 - 2*x + 2) - 2

练习5：

>> syms x;
y = (x^2 - x +1)/(x + 3);
int(y,[0,10])
ans =
log(302875106592253/1594323) + 10

7、符号与数字

	优势	劣势
Symbolic	解析解	有时候解决不了
	让你凭直觉了解解的形式	可能太复杂了
Numeric	总能找到解决办法	很难得出更深的理解
	可以使解决方案精确
	易于编码

二、数值方法

用MATLAB中的一些内建的数值运算、函式来解方程式的根

1、Review of Function Handles (@)

•handle是指向函数的指针
•可用于将函数传递给其他函数

2、fsolve（）

•数值根解算器
•例如，求解此方程：

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一、符号寻根法（解析法）

1、使用sym()或syms()创建符号变量

2、符号根查找：solve（）

3、解多重方程

4、求解用符号表示的方程

5、符号微分：diff（）

6、符号积分：int（）

7、符号与数字

二、数值方法

1、Review of Function Handles (@)

2、fsolve（）

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