2020 ccpc 吉林省赛 H

题意：

给一组数 a i a_i ai,求 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ g c d ( a i , a j ) = d ] \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(a_i,a_j)=d] i=1∑nj=1∑n[gcd(ai,aj)=d]

在赛场上我当时脑抽写了个假的算法，看似是 O ( T m l o g m ) O(Tmlogm) O(Tmlogm)，但实际上是 O ( T m k ) O(Tmk) O(Tmk),只能说这道题的出题人真的没有认真出数据，没有全为1的 x的数据，结果我跑过去才发现假了，现在补个正解

首先裸的莫比乌斯反演，直接上套路秒了,我当时傻叉了换了另一种方式反演

g ( d ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ g c d ( a i , a j ) = d ] g(d)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(a_i,a_j)=d] g(d)=i=1∑nj=1∑n[gcd(ai,aj)=d]

f ( x ) = ∑ x ∣ d g ( d ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ x ∣ d [ g c d ( a i , a j ) = d ] = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ x ∣ a i 且 x ∣ a j ] f(x)=\sum_{x|d}g(d)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}\sum_{x|d}[gcd(a_i,a_j)=d]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}[x|ai且x|aj] f(x)=∑x∣dg(d)=i=1∑nj=1∑n∑x∣d[gcd(ai,aj)=d]=i=1∑nj=1∑n[x∣ai且x∣aj]

g ( n ) = ∑ n ∣ d m u ( d n ) f ( d ) g(n)=\sum_{n|d}mu(\frac{d}{n})f(d) g(n)=∑n∣dmu(nd)f(d)

g 和 f 都可以在一组中由于调和级数在 O ( n l o g n ) 时间内处理出来，复杂度 O ( T n l o g n ) , 具体看代码 g和f都可以在一组中由于调和级数在O(nlogn)时间内处理出来，复杂度O(Tnlogn),具体看代码 g和f都可以在一组中由于调和级数在O(nlogn)时间内处理出来，复杂度O(Tnlogn),具体看代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
int mu[maxn],prime[maxn],t,n,m,k,a;
bool v[maxn];
ll cnt[maxn],cnt_ans[maxn],ans[maxn],tot;
void init(){ mu[1]=1;for(int i=2;i<maxn;++i){ if(!v[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<maxn;++j){ v[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0) break;mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); init();cin>>t;while(t--){ cin>>n>>m>>k;for(int i=1;i<=m;++i)ans[i]=cnt_ans[i]=cnt[i]=0;for(int i=1;i<=n;++i){ cin>>a;cnt[a]++;}for(int i=1;i<=m;++i){ for(int j=i;j<=m;j+=i){ cnt_ans[i]+=cnt[j];}}for(int i=1;i<=m;++i){ for(int j=i;j<=m;j+=i){ ans[i]+=cnt_ans[j]*cnt_ans[j]*mu[j/i];}}for(int i=1;i<=k;++i){ cin>>a;cout<<ans[a]<<"\n";}}return 0;
}

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