第十三届 ACM/CCPC 吉林省赛 J. Send Scores Problem

ACM/CCPC 历届真题题解目录

Problem J. Send Scores Problem

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Description
Please calculate ⌊cos⁡2((n−1)!+1nπ)⌋⌊\cos^2{(\frac{(n-1)!+1}{n}}π)⌋⌊cos2(n(n−1)!+1π)⌋
　
Input
First line contains an integer T (1 ≤ T ≤ 10310^3103) represents the number of test cases.
For each test case:
The first line contains an integer n (2 ≤ n ≤ 10910^9109) represents the number of grids the king needed.
　
Output
For each test case, output a line contains an integer represents the answer.
　
Sample
Input
3
3
4
5
　
Output
1
0
1
　
Hint
⌊x⌋ means the maximum integer not greater than x.
n! means 1 ∗ 2 ∗ … ∗ (n − 1) ∗ n.

题目大意：
　　输入一个整数n，求出公式的结果。
　
分析：
　　就是一道简单的数论题，用的是威尔逊定理。
　　首先，公式是cos⁡2\cos^2cos2向下取整，那么结果只有两种可能，1或0(自己先思考一下为什么)。
　　我们都知道cos的范围是[-1, 1]，那么cos⁡2\cos^2cos2的范围就是[0, 1]，向下取整之后，除了1以外，其他结果都是0。
　　很显然，得1的概率比得0的概率低很多的，所以我们可以先考虑一下什么时候表达式的值会得1。简单反推一下，有以下结果：
⌊cos⁡2((n−1)!+1nπ)⌋=1⇒cos⁡((n−1)!+1nπ)=1或−1⇒((n−1)!+1)%n=0⇒(n−1)!%n=−1⌊\cos^2{(\frac{(n-1)!+1}{n}}π)⌋ =1\\ \Rightarrow \cos{(\frac{(n-1)!+1}{n}}π) = 1或-1 \\ \Rightarrow ((n-1)!+1)\ \%\ n = 0 \\ \Rightarrow (n-1)!\ \%\ n = -1 ⌊cos2(n(n−1)!+1π)⌋=1⇒cos(n(n−1)!+1π)=1或−1⇒((n−1)!+1) % n=0⇒(n−1)! % n=−1
　　推到这里，想来该会的人也都会了，那就是威尔逊定理：最后的等式成立时，当且仅当n为质数。
　　
PS：
　　这里说一些题外话。当时比赛的时候，我们还真就不知道这个定理。但这道题也不是不能做。
　　首先，10910^9109的阶乘暴力是一定超时的，但cos函数又一定是有规律的，何况平方向下取整只有1和0，且1的概率很小，也是没问题的。那么这道题就一定可以找出一个规律来。
　　所以，我们当时就写了一个暴力的函数，然后输出了n∈[2,100]n \in[2, 100]n∈[2,100]中所有结果为1的值n。输出结果为：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ……很明显，n是质数！当时我和队友小明{豁然开朗.jpg}
　　当然，这只是一种取巧的方法，还是推荐要多学知识的。不过AC才是真理，谁能保证自己每个知识点都会？思路才是王道，它才能帮你克服一切难关解决问题。
　
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;int t, n;//判断num是否为素数
bool check(int num)
{for(int i = 2; i * i <= num; i++)if(num % i == 0) return false;return true;
}int main()
{scanf("%d", &t);while(t--){scanf("%d", &n);printf("%d\n", check(n) ? 1 : 0);}return 0;
}