2020 CCPC 绵阳站 J-Joy of Handcraft （调和级数线段树）

之前一直对线段树有种恐惧感，感觉十分晦涩难懂，但是我还是得迎男而上！这题必须补！我说的！耶稣都留不住！

题目

https://pintia.cn/problem-sets/1322796904464203776/problems/1322798545527595017

题意

有n个灯泡，每个灯泡有两种属性分别为t，x。
t表示的是开关周期，一个灯泡打开的时间为 (2kt+1)- (2kt+t)，关闭时间为(2kt+t+1)- (2kt+2t+t)[其中k=0,1,2,…] 。意思就是如果t=1,那么灯会在1，3，5，7…的时间亮起，其他时间关闭。
x表示的是该灯泡的亮度现在问你从1到m的时间，每单位时间的最大亮度为多少。
n,m (1≤n,m≤10⁵)

题解

线段树的想法就是，把每个灯泡能开的时间段都塞到线段树里。然后求答案的时候在取每一个点的最大值。

接下来就考虑一下时间复杂度，假设在长度为m的时间里，1~m的时间都有不同灯泡亮着，那这样我们需要插入的次数就为：
m1+m2+......+mm=m∗ln(m+1)+r\frac{m}{1}+\frac{m}{2}+......+\frac{m}{m}=m* ln(m+1) + r1m+2m+......+mm=m∗ln(m+1)+r其中r为欧拉常数，这是个调和级数。复杂度可以近似为m∗logmm*logmm∗logm

加上线段树插入的复杂度logmlogmlogm，总的时间复杂度为m∗2logmm*2logmm∗2logm，我们可以近似认为这个算法时间复杂度为O(m∗logm)O(m*logm)O(m∗logm)。（四舍五入好多常数都被忽略了，xixi~）

然后我们就能写了。
代码中稍微优化了一下，加了个去重，把相同时间，亮度小的灯泡直接忽略了。
具体是参考的这篇博客

为什么不用树状数组要使用线段树？
emmmmmmmm，这里插入数据是区间插入，我好像听说树状数组可以区间插入，但是网上没看到有人这么写，而且线段树有lazy标记，区间插入也是比较简单的，只是多了pushdown()和pushup()的操作而已。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
//线段树的正解做法
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5 + 7;
int n,m;
struct node
{int t,x;
} b[MAXN],a[MAXN];
struct Tree {int l,r;int mx,lazy;
}t[MAXN << 2];
bool cmp(node a,node b)
{if(a.t == b.t) return a.x > b.x;//相同时间区间内找出亮度最大的即可else return a.t < b.t;
}
int tree[MAXN<<2],lazy[MAXN<<2];
void pushup(int i)
{t[i].mx = max(t[i * 2].mx,t[i * 2 + 1].mx);
}
void pushdown(int i)
{if(t[i].lazy){t[i * 2].lazy = max(t[i].lazy,t[i * 2].lazy);t[i * 2 + 1].lazy = max(t[i].lazy,t[i * 2 + 1].lazy);t[i * 2].mx = max(t[i].lazy,t[i * 2].mx);t[i * 2 + 1].mx = max(t[i].lazy,t[i * 2 + 1].mx);t[i].lazy = 0;}
}
void build(int i, int L, int R)
{t[i].l = L;t[i].r = R;t[i].mx = t[i].lazy = 0;if(L == R){return;}int mid = (L + R) >> 1;build(i * 2,L,mid);build(i * 2 + 1,mid + 1,R);pushup(i);
}
void update(int i,int x,int y,int v)
{if(x <= t[i].l && t[i].r <= y){t[i].lazy = max(t[i].lazy,v);t[i].mx = max(t[i].mx,v);return;}pushdown(i);int m = (t[i].l + t[i].r) >> 1;if(x <= m) update(i * 2,x,y,v);if(y > m) update(i * 2 + 1,x,y,v);pushup(i);
}
int query(int i,int x)
{if(t[i].l == t[i].r){return t[i].mx;}pushdown(i);int m = (t[i].l + t[i].r) >> 1;if(x <= m) return query(i * 2,x);if(x > m) return query(i * 2 + 1,x);return -1;
}int main()
{int T,cas = 0;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1; i <= n; i ++){scanf("%d%d",&b[i].t,&b[i].x);}sort(b+1,b+1+n,cmp);int cnt = 1;a[1] = b[1];for(int i = 2; i <= n; i ++) //按照时间去一下重{if(b[i].t != a[cnt].t)a[++cnt] = b[i];}build(1,1,m);for(int i = 1; i <= cnt; i ++){for(int k = 0;; k ++){//2kt+1 ~ (2k+1)t+1int l = k*2*a[i].t + 1,r = (k*2+1)*a[i].t;r = min(r,m);//有些区间的长度可能右端点超过m 取个minif(l <= m && r <= m) update(1,l,r,a[i].x);if(l >= m || r == m) break;}}printf("Case #%d:",++cas);for(int i = 1; i <= m; i ++){printf(" %d",query(1,i));}printf("\n");}return 0;
}