[积分学]重积分与曲线积分曲面积分的理解
积分作为高等数学的核心部分，主要含盖了一重积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第二型曲线积分，第一型曲面积分，第二型曲面积分。微积分学在研究中作为必不可少的工具，熟练掌握一些计算方法和重要公式比如是最基本的了。下面是我的一些总结：
1.一重积分
一重积分，主要精力就要研究不定积分和定积分了。不定积分的求解是后面求其他积分的基础，是最最最基础的部分，这里一定要有充分的认识，后续的其他积分求解都会以一重积分的不定积分作为基础来进行推算的。
1)意义
∫f(x)dx：dx为长度元素
一重积分的意义是一个物理量在另一个物理量上的累加效果。比如速度关于时间的函数为v(t)，速度*时间=路程。
∫v(t)dt=s(t).
一重积分还可以表示积分函数的变化情况。
一重积分的几何意义是求得函数f(x)在区间(a,b)上函数与x轴围成图形的面积。如图：
2)求解
☆☆☆换元积分法：
∫f(u(x))u`(x)dx = ∫f(u)du
☆☆☆分布积分法：
∫udv=uv-∫vdu
3)基本积分公式
2.二重积分
1)意义
∫∫(D)f(x,y)dθ：dθ为面积元素
二重积分的意义是一个物理量在一个二维物理量上的累加效果。比如曲顶柱体的体积，平面薄片的质量。
二重积分的几何意义是f(x,y)在区域D上与xOy平面围成的闭区域的体积。
2)求解
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y)dθ=∫*(a->b)* dx∫*(φ1(x)->φ2(x))* f(x,y)dy或∫∫f(x,y)dθ=∫*(c->d)* dy∫*(φ1(y)->φ2(y))* f(x,y)dx
☆☆☆换元积分法：
1.极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(rcosθ,rsinθ)r drdθ。注意这里多了一个r
2.直角坐标，x=x(u,v) ，y=y(u,v)。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv。这里的J是雅可比行列式，
J=∂(x,y)/∂(u,v)=(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)
3.三重积分
1)意义
这里可以用密度来进行理解：已知ρ(x,y,z)表示空间体在每一点的密度大小。积分可以求得物体的质量。
∫∫∫(Ω)ρ(x,y,z)dV，这里dV为体积元素。
2)求解
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y,z)dV=∫∫dxdy∫*(z1(x,y)->z2(x,y))* f(x,y,z)dz或∫∫f(x,y,z)dV=∫*(α->β)* dz∫∫*D(z1)->D(z2)*f(x,y,z)dxdy或
☆☆☆换元积分法：
1.极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f(rcosθ,rsinθ,z)r drdθdz。和二重积分还原一样。
2.球面坐标，令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=cosφ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫[f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)(r^2)sinφ] drdθdz.这里多了(r^2)sinφ。
3.直角坐标，x=x(u,v,l) ，y=y(u,v,l)，z=z(u,v,l)。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f[x(u,v,l),y(u,v,l),z(u,v,l)] |J| dudvdl。这里的J是雅可比行列式，J=∂(x,y,z)/∂(u,v,l).
4.曲线积分
4-1第一型曲线积分
1)意义
已知一条曲线的线密度，求曲线的质量。这里不同于求曲线的长度，如果这是一条质量均匀的曲线，那么利用弧微分求出它的长度就可以知道它的质量了。但是现在只能知到它的线密度，代表他不一定是均匀的。
∫(L)f(x,y)ds，表示对平面上弧长的曲线积分。∫(L)f(x,y,z)ds就可以表示空间的曲线了。
2)求解
∫(L)f(x,y)ds
对于参数方程x=x(t),y=y(t)。ds=√[x`(t)*x`(t)+y`(t)*y`(t) ]dt
∴ ∫(L)f(x,y)ds = ∫(ta->tb)f[x(t),y(t)] √[x`(t)*x`(t)+y`(t)*y`(t) ]dt
1.如果y=y(x)，∫(L)f(x,y)ds = ∫(xa->xb)f[x,y(x)] √[1+y`(x)*y`(x) ]dx
2.如果x=x(y)，∫(L)f(x,y)ds = ∫(yc->yd)f[x(y),y] √[x`(y)*x`(y)+1 ]dy
4-2第二型曲线积分
1)意义
在xOy平面内一质点受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 的作用沿光滑曲线弧L,从点A运动到点B，求F做的功。
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy。如果L是闭合曲线则写成∮(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy
2)求解
对于参数方程x=x(t),y=y(t)
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(ta->tb)[P(x(t),(t))*x`(t)+Q(x(t),y(t))*y`(t)]dt
4-3第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系
∫(L)Pdx+Qdy+Rdz=∫(L)[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds
αβγ分别为曲线在点(x,y,z)处与坐标轴的夹角。
5.曲面积分
5-1第一型曲面积分
1)意义
类似于第一型曲线积分，现在知道曲面的面密度ρ(x,y,z),求曲面的质量。
∫∫(∑)ρ(x,y,z)dS
2)求解
∫∫(∑)f(x,y,z)dS
对于方程z=z(x,y)。∫ ∫(∑)f(x,y,z)dS = ∫(Dxy)f[x,y,z(x,y)] √[1+(∂z/∂x)(∂z/∂x) + (∂z/∂y)(∂z/∂y) ]dxdy
5-2第二型曲面积分
1)意义
对于稳定流动的不可压缩的流体在(x,y,z)处的流度可以表示为v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
求单位时间内流向定向曲面的流体的质量及流量φ。
φ= ∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
2)求解
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
=±∫∫(Dyz)P(x,y,z)dydz±∫∫(Dxz)Q(x,y,z)dxdz±∫∫(Dxy)R(x,y,z)dxdy
正负号根据∑面的正负方向来判断。
5-3第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的联系
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy=∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
即∫∫(∑)Pydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫(∑)(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ )dS
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