Prof. Orley Ashenfelter, architect of modern labor economics, former AEA president

双重差分法是估计处理效应的常见方法，但也有被滥用的倾向，因为有些应用者对于双重差分法的优点与局限缺乏了解，特别是其潜在的平行趋势(parallel trend)假定……

差分法的局限

经济学家常关心某政策实施后的效应，比如对于收入( y )的作用。最简单(天真)的做法是比较处理组(即受政策影响的地区或个体)的前后差异，比如

这称为“差分估计量”(difference estimator)，即将处理组(treatment group)政策实施后的样本均值，减去政策实施前的样本均值。然而，由于宏观经济环境也随时间而变(时间效应)，故政策实施地区的前后差异未必就是处理效应(treatment effects)。

双重差分法的反事实逻辑

为了解决差分法的局限性，常用方法是寻找适当的控制组(control group)，即未实施政策的地区(或未参加项目的个体)，作为处理组的反事实(counterfactual)参照系。具体来说，可将未受政策影响的控制组之前后变化视为纯粹的时间效应，即

综合以上两个差分，即将处理组的前后变化减去控制组的前后变化，可得到对于政策处理效应更为可靠的估计：

    (1)

这就是所谓的双重差分估计量(Difference in Differences，简记DD或DID)，因为它是处理组差分与控制组差分之差。该法最早由 Ashenfelter(1978)引入经济学，而国内最早的应用或为周黎安、陈烨(2005)。

从以上推理可知，DID的反事实逻辑能够成立，其基本前提是，处理组如果未受到政策干预，其时间效应或趋势应与控制组一样(故可以后者来控制时间效应)，这就是所谓的 “平行趋势”(parallel trend)或 “共同趋势”(common trend)假定。下图直观地展示了DID的思想与平行趋势假定。

其中，t= 1 表示政策实施前(before)，而t= 2 表示政策实施后(after)。然而，通过双重差分得到的DID估计量并不易计算其标准误，无法加入控制变量，也不易推广到多期数据。故在实践中，一般通过回归的方法来得到DID估计量。

双重差分法的回归模型

考虑以下面板模型：

(2)

其中，Gi为分组虚拟变量(处理组=1，控制组=0)，表示处理组与控制组的固有差异(无论是否实施政策都存在)；Dt为分期虚拟变量(政策实施后=1，政策实施前=0，允许使用多期数据)，表示政策实施前后的时间效应(即使不实施政策也存在)；而交互项 Gi·Dt才真正表示处理组在政策实施后的效应，即处理效应。这是因为，处理组在政策干预之后的期望值为：

而处理组在政策干预之前的期望值为：

故处理组期望值的前后变化为：

(3)

另一方面，控制组在政策干预之后的期望值为：

而控制组在政策干预之前的期望值为：

故控制组期望值的前后变化为：

(4)

将(3)式减去(4)式可知，双重差分的结果正好是回归方程(2)中交互项Gi·Dt之系数β。进一步可以证明，用OLS估计面板模型(2)，所得交互项Gi·Dt之系数β的估计值，正好等于双重差分法(1)的计算结果(陈强，2014，第335、339页)。

一般的双重差分回归

更一般地，可在面板模型中加入个体固定效应、时间固定效应，以及其它控制变量：

(5)

其中，ui为个体固定效应(取代了更为粗糙的分组虚拟变量 Gi，若同时二者包括将导致严格多重共线性)，λt为时间固定效应(取代了更为粗糙的分期虚拟变量 Dt，若同时包括二者将导致严格多重共线性)，zit为一系列控制变量(影响结果变量 y 的其它因素)，而εit为暂时性冲击(transitory shock)。

不难看出，上式其实就是 “双向固定效应模型”(two-way fixed effects)，因为它既包括个体固定效应(ui)，也包括时间固定效应(λt)；只不过多了双重差分法的关键变量，即交互项Gi·Dt(也称为 “政策虚拟变量”，policy dummy)。在具体回归中，个体固定效应ui可通过加入个体虚拟变量来实现(即LSDV法，或进行组内离差变换，within transformation)；而时间效应λt可通过加入每期的时间虚拟变量(time dummies)来实现。

双重差分法的假定

为了使用OLS一致地估计方程(5)，需要作以下两个假定。

假定1、此模型设定正确。特别地，无论处理组还是控制组，其时间趋势项都是 λt。此假定即上文的 “平行趋势假定”(parallel trend assumption)。此假定比较隐蔽(有人称为 “hidden assumption”)，因为只要写下方程(5)，就已默认了平行趋势假定。

假定2、暂时性冲击 εit与政策虚拟变量 Gi·Dt 不相关。这是保证双向固定效应为一致估计量(consistent estimator)的重要条件。

在此，可以允许个体固定效应 ui与政策虚拟变量 Gi·Dt相关(可通过双重差分或组内变换消去 ui，或通过LSDV法控制 ui)。DID允许根据个体特征(ui)进行选择，只要此特征不随时间而变；这是DID的最大优点，即可以部分地缓解因 “选择偏差”(selection bias)而导致的内生性(endogeneity)。

如果违背假定1(平行趋势假定)，会有什么后果？假设真实模型为：

则处理组(Gi=1)的时间趋势为 (λt+ηt)，而控制组(Gi=0)的时间趋势为 λt，故为非平行趋势。如果将此模型误设为平行趋势，则实际估计的模型为

其中，Giηt被纳入扰动项中，导致扰动项 (Giηt+ εit)与政策虚拟变量(Gi·Dt)相关，使得OLS不一致，也违背了上述假定2。

阿森费尔特沉降(Ashenfelter’s dip)

在使用个体或企业层面的微观数据时，有些人认为因个体无法影响宏观政策(或培训项目)的推出，故为外生。但事实上，个体依然可以自我选择是否参加项目，从而导致内生性。

比如，Ashenfelter (1978) 在研究就业培训的效应时发现，参加就业培训者在参加培训之年 (1964) 以及之前的那年 (1963)，其平均收入不仅相对于控制组下降，而且绝对地下降，称为 “阿森费尔特沉降”(Ashenfelter’s dip)，参见下图。

在上图中，实线为参加项目者的平均收入，而虚线为未参加项目者的平均收入(二者均为男性白人，该现象也存在于女性白人、男性黑人、女性黑人，在此从略)。上图表明，在1963年与1964年收入下降的不走运者(εit为很大的负向冲击)，很多人自我选择参加就业培训。

如果因为 εit或 εi,t-1 特别低而参加培训，则通常 εi,t+1 与 εi,t+2会恢复到正常值，导致高估培训项目的效应。而 {εit} 也可能存在自相关。这使得暂时性冲击 εit 与政策虚拟变量 Gi·Dt 相关，导致不一致的估计(也意味着非平行的时间趋势，违背假定1，参见上图)。

非平行趋势的检验与处理方法

方法一、画时间趋势图

如果在政策干预前有多期数据，则可分别画处理组与控制组的时间趋势图(类似于上图)，并直观判断这两组的时间趋势是否平行(比如，考察是否存在Ashenfelter's dip)。如果二者大致平行，则可增强对平行趋势假定的信心。然而，即使在政策干预前两组的时间趋势相同，也无法保证二者在干预后的时间趋势也相同(后者本质上不可观测，因为时间效应已与处理效应混合在一起)。另外，如果只有两期数据，则无法使用此法。

方法二、加入更多的控制变量

从上文的讨论可知，非平行趋势可能由于遗漏变量所导致，故在 zit 中加入更多控制变量，或可缓解内生性。但此法在实践中不易实施。

方法三、假设线性时间趋势

如果假设时间趋势为线性函数，则可加入每位个体的时间趋势项：

在具体回归时，加入个体虚拟变量与时间趋势项 t= 1, 2, ... , T 的交互项即可。然而，线性时间趋势毕竟是较强的假定，不一定能成立。故此法也不完全解决问题，但可作为稳健性检验。

方法四、三重差分法

在一定条件下，可通过引入两个控制组，进行三次差分，称为“三重差分法”(difference-in-differences-in-differences，简记DDD)，这样可以更好地控制时间趋势的差异，使得平行趋势假定更易成立。有关DDD的进一步介绍，参见陈强(2014，第343页)。

参考文献