[CTSC2010]珠宝商（点分治+根号分治+后缀自动机）

[CTSC2010]珠宝商

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简要题意
给定一颗nnn个节点的树，和一个长度为mmm的模式串SSS
树上每个节点都有一个字符
求树上所有路径的点的字符拼成的字符串在SSS中的出现次数之和

解题思路

路径统计？一听就很点分治
字串出现次数？一听就很SAM
那这个题实际也就是这两个的结合了

I

首先有一个显然的O(n2)O(n^2)O(n2)做法
建出SAMSAMSAM
并求出每个节点代表的字串在SSS中出现的次数，即为siz[x]siz[x]siz[x]
那么我们直接枚举路径起点，然后跑dfsdfsdfs，并同时在SAMSAMSAM上跑
跑到一个节点就统计这个节点的sizsizsiz就行了

II

考虑点分治
求出树的重心rrr，然后求出经过重心的字符串的答案
因为设路径是s→ts\to ts→t
那么可以把路径拆成两部分，s→rs\to rs→r 和r→tr\to tr→t
我们考虑枚举SSS中的位置
计算有多少s→rs\to rs→r的路径是以当前位置结束的
计算有短少r→tr\to tr→t的路径是从当前位置开始的
乘起来就是：经过当前位置，且在当前位置时路径上正好是rrr的路径条数
加起来就是答案了
观察到两个计算是对称的
我们只需要建出SSS的反串的后缀自动机，然后在两个SAM上的操作就一模一样了
问题变化为求有多少s→rs\to rs→r的路径经过某个SAMSAMSAM中的节点
一个显然的思路是
我们从rrr开始向下dfsdfsdfs，并维护当前路径对应的是SAMSAMSAM中的哪个节点
然后把节点权值加一
那么出现在一个节点中的路径条数就是parent树上，当前点到根节点的权值之和
现在还有一个问题
注意到我们必须在路径前加字符，然后在SAM上跑
思考怎么维护这个
设当前路径长度为TTT,在SAMSAMSAM上的节点是xxx，某个xxx出现的位置是RxR_xRx,新加入个字符时ccc
那么如果
T<len[x]T<len[x]T<len[x]那么加字符如果可以对应某个节点，那么一定还是xxx,直接判断
S[R[x]−T]S[R[x]-T]S[R[x]−T]是不是c就行了

T=len[x]T=len[x]T=len[x]
我们需要找一个节点yyy使得fa[y]=xfa[y]=xfa[y]=x,且S[R[y]−len[fa[y]]]=cS[R[y]-len[fa[y]]]=cS[R[y]−len[fa[y]]]=c
可以预处理出来

别忘了点分治时同一个子树要容斥掉
我们分析一波复杂度
因为每次统计答案必须遍历SSS一遍
所以复杂度
O(nlog⁡n+nm)O(n\log n+nm)O(nlogn+nm)
似乎更糟了
因此我们还有算法IIIIIIIII

III

设当前分治子树的大小为WWW
来一波根号分治
如果W≥nW\geq \sqrt nW≥n按照算法IIIIII统计就可以了
如果W<nW<\sqrt nW<n,按照n2n^2n2的做法做就行了
总复杂度O(nn+mn)O(n\sqrt n+m\sqrt n)O(nn+mn)
还有一个细节
就是容斥的时候如果子节点的子树小于n\sqrt nn
也需要类似O(n2)O(n^2)O(n2)的做法去做
否则会被菊花图卡到O(nm)O(nm)O(nm)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5+7;
int read()
{int X=0;bool flag=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')flag=1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0';ch=getchar();}if(flag) return ~(X-1);return X;
}
struct edge
{int y,next;
}e[N];
int link[N],t=0;
bool vis[N];
void add(int x,int y)
{e[++t].y=y;e[t].next=link[x];link[x]=t;
}
int n,m,S;
char str[N];
int a[N];
int pos1[N],pos2[N];
struct SAM
{int len[N],tr[N][26],fa[N];int pre[N][26];int tot,last,siz[N];int fst[N],cnt[N];SAM(){tot=last=1;}inline void copy(int x,int y){fa[x]=fa[y];len[x]=len[y];for(int c=0;c<26;c++)tr[x][c]=tr[y][c];}inline void Extend(int c,int x){int p=last,np=last=++tot;len[np]=len[p]+1;siz[np]=1;fst[np]=x;while(p&&!tr[p][c]){tr[p][c]=np;p=fa[p]; }if(!p) fa[np]=1;else{int q=tr[p][c];if(len[q]==len[p]+1) fa[np]=q;else{int nq=++tot;copy(nq,q);len[nq]=len[p]+1;fa[np]=fa[q]=nq;while(p&&tr[p][c]==q){tr[p][c]=nq;p=fa[p];}}}}int c[N],SA[N];int s[N];inline void Build(){for(int i=1;i<=tot;i++) c[len[i]]++;for(int i=1;i<=tot;i++) c[i]+=c[i-1];for(int i=1;i<=tot;i++) SA[c[len[i]]--]=i;for(int i=tot;i>=2;i--){int x=SA[i];siz[fa[x]]+=siz[x];fst[fa[x]]=fst[x];pre[fa[x]][s[fst[x]-len[fa[x]]]]=x;}}inline void clear(){for(int i=1;i<=tot;i++)cnt[i]=0;}inline void spread(){for(int i=2;i<=tot;i++)cnt[SA[i]]+=cnt[fa[SA[i]]];}inline void Addin(int x,int fat,int p,int T){if(len[p]==T) p=pre[p][a[x]];else if(s[fst[p]-T]!=a[x]) p=0;if(!p) return;
//      cout<<x<<' '<<p<<endl;cnt[p]++;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==fat||vis[y]) continue;Addin(y,x,p,T+1);} }void Put(){for(int i=1;i<=tot;i++)for(int c=0;c<26;c++)if(tr[i][c]) cout<<i<<' '<<tr[i][c]<<' '<<c<<endl;}void push(){for(int i=2;i<=tot;i++)cout<<fa[i]<<' '<<i<<endl;}
}A,B;
int s[N];
int siz[N],son[N];
void getroot(int x,int pre,int &root,int tot)
{siz[x]=1;son[x]=0;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre||vis[y]) continue;getroot(y,x,root,tot);siz[x]+=siz[y];son[x]=max(son[x],siz[y]);}son[x]=max(son[x],tot-siz[x]);if(!root||son[root]>son[x]) root=x;
}
LL ans=0;
void getsiz(int x,int pre)
{siz[x]=1;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre||vis[y]) continue;getsiz(y,x);siz[x]+=siz[y];}
}
void getans(int x,int pre,int opt)
{A.clear();B.clear();if(pre){A.Addin(x,0,A.tr[1][a[pre]],1);B.Addin(x,0,B.tr[1][a[pre]],1);}else {A.Addin(x,0,1,0);B.Addin(x,0,1,0);}A.spread();B.spread();for(int i=1;i<=m;i++)ans+=opt*A.cnt[pos1[i]]*B.cnt[pos2[m-i+1]];
}
int q[N],top=0;
int par[N];
void getpoint(int x,int pre)
{q[++top]=x;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre||vis[y]) continue;par[y]=x;getpoint(y,x);}
}
int ban=0;
void getpath(int x,int pre,int p,int opt)
{p=A.tr[p][a[x]];if(!p) return;ans+=opt*A.siz[p];
//  cout<<x<<' '<<A.siz[p]<<endl;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre||vis[y]||y==ban) continue;getpath(y,x,p,opt);}
}
void Blocks(int x)
{top=0;getpoint(x,0);for(int i=1;i<=top;i++)getpath(q[i],0,1,1);
}void getpart(int x,int pre)
{top=0;int rt=x;par[rt]=pre;getpoint(x,pre);for(int i=1;i<=top;i++){int p=1,cur=q[i];while(cur!=pre){p=A.tr[p][a[cur]];cur=par[cur];}p=A.tr[p][a[cur]];getpath(x,0,p,-1);}
}
void Divide(int x,int tot)
{if(tot<=S){Blocks(x);return;}vis[x]=1;getans(x,0,1);
//  cout<<x<<"----"<<ans<<endl;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(vis[y]) continue;int z=0,T=siz[y];if(siz[y]>S) getans(y,x,-1);else getpart(y,x);
//      cout<<y<<' '<<ans<<endl;getroot(y,x,z,siz[y]);Divide(z,T);}
}int main()
{n=read();m=read();S=sqrt(m);for(int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read();add(x,y);add(y,x); }scanf("%s",str+1);for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=str[i]-'a';scanf("%s",str+1);for(int i=1;i<=m;i++)s[i]=str[i]-'a';for(int i=1;i<=m;i++){A.Extend(s[i],i);pos1[i]=A.last;A.s[i]=s[i];}reverse(s+1,s+m+1);for(int i=1;i<=m;i++){B.Extend(s[i],i);pos2[i]=B.last;B.s[i]=s[i];}A.Build();B.Build();int root=0;getroot(1,0,root,n);Divide(root,n);cout<<ans;return 0;
}