求四边形最大内接矩形_三角形内接矩形的最大面积问题
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三角形内接矩形的最大面积问题
作者：李云虎
来源：《中学教学参考
·
理科版》
2013
年第
01
期
【问题】美佳玩具厂生产一批玩具时剩下大量的全等三角形的余料，如图
1
，
△
ABC
就是
其中一块余料，边
BC=120mm
，高
AD=80mm.
玩具厂为了有效利用这些余料，决定把它们加
工成矩形布料，使矩形的一边在
BC
上，其余两个顶点分别在
AB
、
AC
上，探究：怎样加工才
能使得矩形布料的面积最大？
图
1
我们知道，如果四边形的四个顶点都在三角形的边上，那么就称这个四边形为此三角形的
内接四边形，特别的，当四边形是矩形时，就称此四边形为三角形的内接矩形
.
将这一实际问
题转化成数学问题就是三角形内接矩形的边长满足什么条件时，矩形的面积最大，最大面积与
该三角形的面积有什么关系？
三角形内接矩形最大面积问题的求解，是代数、几何数形结合的典型，用到了相似三角形
的性质、二次函数的性质、三角形面积公式等基本的数学知识
.
这是一个典型的最优化问题，
解决这类最大面积问题往往需要构建二次函数模型，进而利用二次函数求最值的有关知识加以
解决
.
要正确解决这个问题，我们首先来看特殊的三角形
——
直角三角形的情形
.
【情形一】如图
2
所示，在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
，在
△
ABC
内部作一个矩形
DEFC
，其
中
CD
、
CF
分别在两直角边
AC
和
BC
上，设
BC=a
、
AC=b
、
AB=c
、
CF=x
，矩形
DCFE
的面
积为
y
，当
x
取何值时，
y
的值最大？最大值是多少？
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