【数学】三角形内接平行四边形问题

三角形内接平行四边形问题 \Huge\textsf{三角形内接平行四边形问题} 三角形内接平行四边形问题

如图， △ \triangle △ABC中有平行四边形DECF，

设 S △ A D E = S 1 , S △ B D F = S 2 , S_{\triangle ADE}=S_1,\;S_{\triangle BDF}=S_2,\; S△ADE=S1,S△BDF=S2,

求证： 1. S △ A B C = ( S 1 + S 2 ) 2 ; 2. S D E C F = 2 S 1 S 2 . 1.S_{\triangle ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2;\;2.S_{DECF}=2\sqrt{S_1S_2}. 1.S△ABC=(S1 +S2 )2;2.SDECF=2S1S2 .

证： \textsf{证：} 证：

( 1 ) ∵ D E ∥ B C (1) \because DE \parallel BC (1)∵DE∥BC

∴ △ A D E ∼ △ A B C \therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC ∴△ADE∼△ABC

∴ S △ A D E S △ A B C = A D 2 A B 2 \therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD^2}{AB^2} ∴S△ABCS△ADE=AB2AD2

即 S 1 S △ A B C = A D A B \textsf{即}\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{AD}{AB} 即S△ABC S1 =ABAD①

同理 △ B D F ∼ △ B A C , S 2 S △ A B C = B D A B \textsf{同理}\triangle BDF \sim \triangle BAC ,\;\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{BD}{AB} 同理△BDF∼△BAC,S△ABC S2 =ABBD②

①+② 得 S 1 + S 2 S △ A B C = A D + B D A B \textsf{得}\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{AD+BD}{AB} 得S△ABC S1 +S2 =ABAD+BD

又 ∵ A D + B D = A B \textsf{又}\because AD+BD =AB 又∵AD+BD=AB

∴ S 1 + S 2 = S △ A B C , \therefore \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}=\sqrt{S_{\triangle ABC}}, ∴S1 +S2 =S△ABC ,

( S 1 + S 2 ) 2 = S △ A B C . (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2=S_{\triangle ABC}. (S1 +S2 )2=S△ABC.

得证。 \textsf{得证。} 得证。

( 2 ) S D E C F = S △ A B C − S 1 − S 2 (2)S_{DECF}=S_{\triangle ABC}-S_1-S_2 (2)SDECF=S△ABC−S1−S2

= ( S 1 + S 2 ) 2 − S 1 − S 2 =(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2-S_1-S_2 =(S1 +S2 )2−S1−S2

= S 1 + 2 S 1 S 2 + S 2 − S 1 − S 2 =S_1+2\sqrt{S_1S_2}+S_2-S_1-S_2 =S1+2S1S2 +S2−S1−S2

= 2 S 1 S 2 =2\sqrt{S_1S_2} =2S1S2 .

得证。 \textsf{得证。} 得证。

别急，没完呢。

如图， △ \triangle △ABC中有平行四边形DEFG，

设 S △ A D E = S 1 , S △ B D G = S 2 , S △ C E F = S 3 , S_{\triangle ADE}=S_1,\;S_{\triangle BDG}=S_2,\;S_{\triangle CEF}=S_3,\; S△ADE=S1,S△BDG=S2,S△CEF=S3,

求证： 1. S △ A B C = ( S 1 + S 2 + S 3 ) 2 ; 2. S D E F G ≤ S 1 + S 2 + S 3 . 1.S_{\triangle ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2+S_3})^2;\;2.S_{DEFG}\le S_1+S_2+S_3. 1.S△ABC=(S1 +S2+S3 )2;2.SDEFG≤S1+S2+S3.

其实这题和上一道题是同一题！ \textsf{其实这题和上一道题是同一题！} 其实这题和上一道题是同一题！

我们只要把 △ C E F 向左平移： \textsf{我们只要把}\triangle CEF\textsf{向左平移：} 我们只要把△CEF向左平移：

就出来了。 \textsf{就出来了。} 就出来了。

第一问同理，不多说。 \textsf{第一问同理，不多说。} 第一问同理，不多说。

至于第二问，我们有上一问的结论： S D E C F = 2 S 1 S 2 \textsf{至于第二问，我们有上一问的结论：}S_{DECF}=2\sqrt{S_1S_2} 至于第二问，我们有上一问的结论：SDECF=2S1S2

那么到了这一问就是 S D E C F = 2 S 1 ( S 2 + S 3 ) \textsf{那么到了这一问就是}S_{DECF}=2\sqrt{S_1(S_2+S_3)} 那么到了这一问就是SDECF=2S1(S2+S3)

而众所周知 2 a b ≤ a + b （不知道的自行百度“均值不等式”） \textsf{而众所周知}2\sqrt{ab}\leq a+b\tiny\textsf{（不知道的自行百度“均值不等式”）} 而众所周知2ab ≤a+b（不知道的自行百度“均值不等式”）

∴ 2 S 1 ( S 2 + S 3 ) ≤ S 1 + S 2 + S 3 \therefore 2\sqrt{S_1(S_2+S_3)}\leq S_1+S_2+S_3 ∴2S1(S2+S3) ≤S1+S2+S3

即 S D E F G ≤ S 1 + S 2 + S 3 . \textsf{即}S_{DEFG}\le S_1+S_2+S_3. 即SDEFG≤S1+S2+S3.

从此考试中此类题型的填空选择口算啦awa

附录：

1.画图软件：Desmos
（几何区）

2.参考资料：暂时没在网络上找到相应资料

3.转载请注明出处 （虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD） \tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）} （虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）

【数学】三角形内接平行四边形问题相关推荐

直线和圆交点 halcon_初中数学三角形、四边形、圆辅助线的添加方法
今天,小编为大家整理了初中数学三角形.四边形.圆的辅助线添加方法,速来看!! 1三角形中常见辅助线的添加与角平分线有关的 (1)可向两边作垂线: (2)可作平行线,构造等腰三角形: (3)在角的两边 ...
求四边形最大内接矩形_三角形内接矩形的最大面积问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三角形内接矩形的最大面积问题作者:李云虎来源:<中学教学参考 · 理科版> 2013 年第 01 期 [问题]美佳玩具厂生产 ...
c实现三角形角度大于一个值_初中数学|高分必备！数学三角形相关知识点梳理汇总...
三角形全等问题中考在即!学好任何一个学科的关键都在于适当地总结归类.认真梳理知识点- 今天,小编主要分享关于初中数学"三角形全等问题"的一些知识点总结,希望可以帮助同学们牢固掌握 ...
三角形已知边长求高公式_五年级数学：“长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形” 知识重点、难点全解析，附习题！...
张老师 - 5年级(多品小学教育) 里辛镇中心小学谭老师和冰溪镇县后山小学谭老师需要的这份学习资料现在分享. 本资料已制作电子版下载码是:5odc7n2i 多边形的面积知识点 1公式长方形:周长= ...
c++直角空心三角形_八年级数学三角形专题知识点汇总，掌握了考满分！
1三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是 ...
Java编写三角形和平行四边形
三角形 public class 正三角 {public static void main(String[] args) {for (int j = 1; j <= 4; j++) {for ( ...
判断三个数是否能构成三角形_七年级初一下册数学三角形专题复习提纲及经典例题...
初一下册数学知识点:三角形 ◆ ◆ ◆ 三角形是初一下学期学习的第四章内容,并且也是初中数学中几何部分的基础图形,这一部分是初中.高中乃至整个数学的基础,是很重要的一部分内容,也是考试的重点和难点 ...
JAVA程序之矩形、三角形、平行四边形、菱形
矩形 public class b {public static void main(String[] args) {System.out.println("矩形");//**** ...
空间三角形_教师招聘试讲-小学数学三角形内角和教案
一.教学目标 [知识与能力]探究并掌握三角形内角和是180°,并能应用三角形内角和解决一些简单的实际问题. [过程与方法]学生在探索过程中,发现和提出问题,通过用转化的思想,培养学生的空间观念,几何直 ...

【数学】三角形内接平行四边形问题

【数学】三角形内接平行四边形问题相关推荐

最新文章

热门文章