【概率论与数理统计 Probability and Statistics 9】——二维随机变量的条件分布(离散+连续)与条件密度(连续)
文章目录
- 一、条件分布的定义
- 二、二维离散型条件分布的计算
- 三、连续型随机变量的条件分布和条件密度
一、条件分布的定义
F(x∣A)=P{X≤x∣A}F(x|A) = P\{X≤x|A\}F(x∣A)=P{X≤x∣A}
至于这个定义,其实就是条件概率嘛:P{X≤x∣A}=P{X≤x,A}P(A)P\{X≤x|A\} = \frac{P\{X ≤ x, A\}}{P(A)}P{X≤x∣A}=P(A)P{X≤x,A}
二、二维离散型条件分布的计算
我们直接上具体的例子,难度其实是不大的:已知 X, Y 的联合分布表如下:
X\Y | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0.1 | 0.3 |
1 | 0.3 | 0.3 |
需要计算各种条件分布。
因为是离散型的随机变量,X 或者 Y 的取值被限定在了那几个值里面。所以各种条件概率就可以表示为:P{X=0∣Y=0};P{X=1∣Y=0};P{X=0∣Y=1};P{X=1∣Y=1}P{Y=0∣X=0};P{Y=1∣X=0};P{Y=0∣X=1};P{Y=1∣X=1}P\{X=0|Y=0\};P\{X=1|Y=0\};P\{X=0|Y=1\};P\{X=1|Y=1\}\\ P\{Y=0|X=0\};P\{Y=1|X=0\};P\{Y=0|X=1\};P\{Y=1|X=1\}P{X=0∣Y=0};P{X=1∣Y=0};P{X=0∣Y=1};P{X=1∣Y=1}P{Y=0∣X=0};P{Y=1∣X=0};P{Y=0∣X=1};P{Y=1∣X=1}
这种题目有固定解法:
【1】先把 X, Y 的边缘分布求出来(这在上一篇 BlogBlogBlog 里面涉及了)也就是说,通过这一步,我们可以计算得到:P{X=0},P{X=1},P{Y=0},P{Y=1}P\{X=0\}, P\{X=1\}, P\{Y=0\}, P\{Y=1\}P{X=0},P{X=1},P{Y=0},P{Y=1}
【2】我们举一个例子说明:如果要求的是 P{X=1∣Y=0}P\{X=1|Y=0\}P{X=1∣Y=0},那么根据定义可以表示为:P{X=1∣Y=0}=P{X=1,Y=0}P{Y=0}P\{X=1|Y=0\} = \frac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{Y=0\}}P{X=1∣Y=0}=P{Y=0}P{X=1,Y=0}
我们发现:P{X=1,Y=0}P\{X=1,Y=0\}P{X=1,Y=0} 就是联合分布表里面 X = 1, Y = 0 的概率嘛,直接从上表找到即可(为0.3)
【3】除一下秒得结果
三、连续型随机变量的条件分布和条件密度
同样,我们先简单给出定义:
对于 X, Y 两个随机变量,其联合密度函数已知:f(x,y)f(x,y)f(x,y),又已知了它们的边缘密度函数 fX(x),fY(y)f_X(x), f_Y(y)fX(x),fY(y)
如果 fY(y)>0f_Y(y)>0fY(y)>0,那么在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数即为:F(x∣y)=∫−∞xf(u,y)fY(y)duF(x|y) = \int_{-∞}^x\frac{f(u, y)}{f_Y(y)}duF(x∣y)=∫−∞xfY(y)f(u,y)du
两边一同时求导就可以得到 X 的条件密度函数了(值得一提的是,对等式右边是一个变上限积分的求导)得到f(x∣y)=F′(x∣y)=f(x,y)fY(y)(1)f(x|y) = F'(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\tag{1}f(x∣y)=F′(x∣y)=fY(y)f(x,y)(1)
同理,Y 的条件密度函数也是一样的:f(y∣x)=f(x,y)fX(x)(2)f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}\tag{2}f(y∣x)=fX(x)f(x,y)(2)
不过大家在计算的时候要注意一点:如果题目是这样问的:求 f(y∣x=2)f(y|x = 2)f(y∣x=2),那么我们的计算公式就应该变成:f(2,y)fX(2)\frac{f(2, y)}{f_X(2)}fX(2)f(2,y)
好啦,这就是本次 BlogBlogBlog 的全部内容,下一篇 BlogBlogBlog 我们将会学习二维随机变量函数的分布和分布密度(包括离散型和连续型)
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