信号与系统第四章-第六章习题易错点整理
信号与系统第四章-第六章习题易错点整理
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留意书上蓝色圈的题目
第四章-傅里叶变换
- 注意基波角频率为全部Ω的最大公约数
- 在计算傅里叶的An、Bn时，需要额外考虑n=0的情况，当n=0时往往是额外值。
- 傅里叶周期信号的功率 （帕塞瓦尔等式）
P=1T∫−T2T2f2(t)dt=(A02)2+∑n=1∞(12An2)=∑n=−∞+∞∣Fn∣2P=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f^2\left(t\right)}dt={(\frac{A_0}{2})}^2+\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2}{A_n}^2})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|F_n\right|^2P=T1∫−2T2Tf2(t)dt=(2A0)2+n=1∑∞(21An2)=n=−∞∑+∞∣Fn∣2 - 能量谱（信号能量，帕塞瓦尔方程，能量等式）
E=∫−T2T2f2(t)dt=12π∫−T2T2∣F(jw)∣2dtE=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f^2\left(t\right)}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left|F(jw)\right|^2dtE=∫−2T2Tf2(t)dt=2π1∫−2T2T∣F(jw)∣2dt - δ(w−j)\delta(w-j)δ(w−j)类似的冲激函数，我们讨论时候w看做常数，故冲击一直不存在，可以直接化为零
- ε(12t−1)\varepsilon(\frac{1}{2}t-1)ε(21t−1)类似的阶跃函数不应该随意使用尺度变换（或者说阶跃函数不适用于尺度变换）通过阶跃点我们知道ε(12t−1)=ε(t−2)\varepsilon(\frac{1}{2}t-1)=\varepsilon(t-2)ε(21t−1)=ε(t−2)此后再进行变换
- sgn符号函数在化简过程中可以变成分段函数
- 留意傅里叶变换中e部分在特值（w=0）是为1，图像化解题时可以变为面积
- H(s)是对应Yzs而并非Y
- 遇到离散函数nΩ时候，可以考虑逐值带入
- 门函数的卷积问题：时域内两个相同门函数（例如高度为E，宽度为τ\tauτ）卷积之后将形成三角函数，这个三角函数的高度为E2×τE^2\times\tauE2×τ，宽度为2τ2\tau2τ
- 遇到三角函数平方而不方便逆变换的时候，考虑降幂处理or积化和差等一系列三角函数技巧
- 留意卷积性质
- 不同于阶跃响应，冲击响应存在尺度变换，δ(at)=1aδ(t)\delta\left(at\right)=\frac{1}{a}\delta\left(t\right)δ(at)=a1δ(t)（注意和尺度变换相区分）
- 注意区分周期冲激响应（取样函数）和非周期冲激响应，其中傅里叶变换中周期冲激响应的傅里叶变换为：F[δT(t)]=F[∑n=−∞+∞δ(t−nT)]=ws∑n=−∞+∞δ(w−nws)\mathcal{F}\left[\delta_T\left(t\right)\right]=\mathcal{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta\left(t-nT\right)\right]=w_s\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta\left(w-nw_s\right)F[δT(t)]=F[n=−∞∑+∞δ(t−nT)]=wsn=−∞∑+∞δ(w−nws)
- 注意回顾原始公式、包括傅里叶的正反变换，周期函数的傅里叶变换等等。
- 对于一个函数，可以分解出奇分量和偶分量。
- 傅里叶微分变换不涉及初始条件，但是在s域中存在F（0）
- 对于系统中出现的滤波器，直接在频域中乘以滤波H
- 在傅里叶变换中遇到了cos则考虑移动特性，而在laplace变换中考虑S/S2+W2
第五章-s域
- cos（）中出现诸如π等初相位，不应该使用移位的角度求解，而应该展开后化简
- s域逆变换时注意ε(t)\varepsilon(t)ε(t)
- 阶跃响应g（t）可由冲激响应h（t）积分得来g(t)=∫−∞th(τ)dτg(t)=\int_{-\infty}^{t}{h(\tau)}d\taug(t)=∫−∞th(τ)dτ
- 系统框图中的大小写并不重要，都是时域卷积频域相乘
- s域是解决微分方程解的方法，z域是解决差分方程的方法
- 注意初值定理的使用条件：F（s）为真分式。
- 注意终值定理的使用条件：s=0在收敛域中。
- 注意当在计算laplace变换时计算K系数时，如果出现重根，则系数的计算有所不同。
- 对于不方便进行拆解的分母，可以考虑使用cos的对应频域公式（s/s2+w2）来化简
- 对于分母整体平方的式子，考虑使用微分特性来计算。
- 对于f’t的laplace变换没有初始值的存在
- 零状态响应是将ft的变换带入计算出的结果
- 阶跃响应：系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应。
- 对于出现的方格，永远表示其频域的结果进行相乘。
- 双边laplace变换可以考虑使用定义来进行求解
- 注意laplace的收敛域的计算
- 对于s域，如果收敛域为1<R<3，则1为因果信号，3为反因果信号。
第六章-z域
- z域双边反变换之后要将各收敛域对应函数不分域相加，总收敛域去交集
- 记住常用(k+1)ε(k)−−−(zz−a)2(k+1)\varepsilon(k)---{(\frac{z}{z-a})}^2(k+1)ε(k)−−−(z−az)2
- 判断是否为因果反因果的方法，先由z变换的式子画出极点、由极点画圆，圆外为因果信号，圆内为反因果信号。随后看题目给出的收敛域，如果收敛域范围中的点可以在极点圆外，则该极点对应的信号为因果信号，反之。
- （j）的k次方可以变为指数形式并由此化简
- 初始状态的改变会影响yzi
- 留意部分和公式（书p294）
- 注意z域和s域的尺度变换的区别
- z域的cos（mk）相当于尺度变换
- z域中的分子没有z的情况，可以使用移位特性来解决，相当于z^mF（z）
- 无论分子是否存在常数是否影响计算，都直接使用/z的方式来化简
- 初始条件下产生的零输入响应同样满足线性关系，如-input对应-Yzi
- 对于部分和，还可以考虑是离散下定义公式的z=1的情况
- 留意|H（jw）|的计算方法。
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