UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步8 鞅收敛定理

上一讲我们定义了停时，并引入了鞅收敛定理，这一讲我们完成鞅收敛定理的证明，并完成上一讲的例题。

鞅收敛定理 假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是一个{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的submartingale，且满足sup⁡nEXn+<∞\sup_n EX_n^+<\inftysupnEXn+<∞，则Xn→X,a.sX_n \to X,a.sXn→X,a.s，并且E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞。

推论如果XnX_nXn是一个非负supermartingale，则Xn→XX_n\to XXn→X a.s. 并且EX≤EX0EX \le EX_0EX≤EX0。

证明

第一部分：我们先假设鞅收敛定理成立，然后论述推论。

如果XnX_nXn是一个非负supermartingale，则−Xn-X_n−Xn是一个submartingale，并且因为Xn≥0X_n \ge 0Xn≥0, 则(−Xn)+=0(-X_n)^+=0(−Xn)+=0，所以sup⁡nE[(−Xn)+]=0<∞\sup_nE[(-X_n)^+]=0<\inftysupnE[(−Xn)+]=0<∞, 根据鞅收敛定理，−Xn→Y-X_n \to Y−Xn→Y a.s., ∃Y\exists Y∃Y such that E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞。根据supermartingale的性质，
E[X0]≥E[Xn],∀nE[X_0] \ge E[X_n],\forall nE[X0]≥E[Xn],∀n

因此根据Fatou引理
E[X0]≥lim inf⁡E[Xn]≥E[lim inf⁡Xn]=E[lim⁡Xn]=E[X]E[X_0] \ge \liminf E[X_n] \ge E[\liminf X_n]=E[\lim X_n]=E[X]E[X0]≥liminfE[Xn]≥E[liminfXn]=E[limXn]=E[X]

第二部分：证明鞅收敛定理中几乎必然收敛的部分。

先回顾一下证明过程中需要的结果
Doob’s inequality (Upcrossing Inequality) 假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是一个{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的submartingale，a<ba<ba<b，N0=−1N_0=-1N0=−1,
N1=inf⁡{m>N0:Xm≤a}N2=inf⁡{m>N1:Xm≥b}⋯N2k−1=inf⁡{m>N2k−2:Xm≤a}N2k=inf⁡{m≥N2k−1:Xm≥b}N_1=\inf\{m>N_0:X_m \le a\} \\ N_2 = \inf\{m >N_1:X_m \ge b\} \\ \cdots \\ N_{2k-1} = \inf\{m>N_{2k-2}:X_m \le a\} \\ N_{2k} = \inf\{m \ge N_{2k-1}:X_m \ge b\}N1=inf{m>N0:Xm≤a}N2=inf{m>N1:Xm≥b}⋯N2k−1=inf{m>N2k−2:Xm≤a}N2k=inf{m≥N2k−1:Xm≥b}

定义
Un=sup⁡{k:N2k≤n}U_n = \sup\{k:N_{2k} \le n\}Un=sup{k:N2k≤n}

则
(b−a)EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+](b-a)EU_n \le E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+](b−a)EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+]

下面我们来证明鞅收敛定理。为了使用Upcrossing，我们需要构造一些结构：

{w:lim inf⁡Xn(w)<lim sup⁡Xn(w)}=⋃a<b{w:lim inf⁡Xn(w)<a<b<lim sup⁡Xn(w)}\{w:\liminf X_n(w)<\limsup X_n(w)\} \\ = \bigcup_{a<b}\{w:\liminf X_n(w)<a<b<\limsup X_n(w)\}{w:liminfXn(w)<limsupXn(w)}=a<b⋃{w:liminfXn(w)<a<b<limsupXn(w)}

其中{w:lim inf⁡Xn(w)<a<b<lim sup⁡Xn(w)}\{w:\liminf X_n(w)<a<b<\limsup X_n(w)\}{w:liminfXn(w)<a<b<limsupXn(w)}表示的事件是XnX_nXn从aaa以下穿过到bbb以上无数次的事件的子集。

然后我们再分析一下Upcorssing不等式，
(b−a)EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+]⇒EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+]b−a⇒EUn≤E[(Xn−a)+]b−a≤E[Xn]++∣a∣b−a(b-a)EU_n \le E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+] \\ \Rightarrow EU_n \le \frac{E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+] }{b-a} \\ \Rightarrow EU_n \le \frac{E[(X_n-a)^+]}{b-a} \le \frac{E[X_n]^++|a|}{b-a}(b−a)EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+]⇒EUn≤b−aE[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+]⇒EUn≤b−aE[(Xn−a)+]≤b−aE[Xn]++∣a∣

根据UnU_nUn的定义，Un↑UU_n \uparrow UUn↑U，这里UUU表示整个序列的upcrossing的次数。根据控制收敛定理，
EUn↑EU≤sup⁡nE[Xn]++∣a∣b−aEU_n \uparrow EU\le \frac{\sup_nE[X_n]^++|a|}{b-a}EUn↑EU≤b−asupnE[Xn]++∣a∣

我们假设了sup⁡nEXn+<∞\sup_n EX_n^+<\inftysupnEXn+<∞，因此EU<∞,a.s.EU<\infty,a.s.EU<∞,a.s.。我们可以进一步得到（可以用反证法验证）
P({w:lim inf⁡Xn(w)<a<b<lim sup⁡Xn(w)})=0P(\{w:\liminf X_n(w)<a<b<\limsup X_n(w)\})=0P({w:liminfXn(w)<a<b<limsupXn(w)})=0

因此
P(lim inf⁡Xn(w)=lim sup⁡Xn(w))=1P(\liminf X_n(w)=\limsup X_n(w))=1P(liminfXn(w)=limsupXn(w))=1

所以Xn→XX_n \to XXn→X a.s.，这里XXX是某个随机变量。

第三部分：证明极限可积，E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞。

根据Fatou引理，
EX+≤lim inf⁡EXn+≤sup⁡nEXn+<∞EX^+ \le \liminf EX_n^+ \le \sup_n EX_n^+<\inftyEX+≤liminfEXn+≤nsupEXn+<∞

因为EXn−=EXn+−EXn≤EXn+−EX0EX_n^- = EX_n^+-EX_n \le EX_n^+ - EX_0EXn−=EXn+−EXn≤EXn+−EX0，根据Fatou引理，
EX−≤lim inf⁡EXn−≤sup⁡nEXn++EX0<∞EX^- \le \liminf EX_n^- \le \sup_n EX_n^+ +EX_0<\inftyEX−≤liminfEXn−≤nsupEXn++EX0<∞

因此E∣X∣=EX++EX−<∞E|X| = EX^++EX^-<\inftyE∣X∣=EX++EX−<∞。

例 Branching Process
假设ξij\xi_{ij}ξij是互相独立的取值为自然数的随机变量，P(ξij=k)=pk,∀k≥0P(\xi_{ij}=k)=p_k,\forall k \ge 0P(ξij=k)=pk,∀k≥0，记m=∑k≥0kpkm = \sum_{k \ge 0}kp_km=∑k≥0kpk，定义Xn=∑i=1Xn−1ξin,X0=aX_n = \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in},\ \ X_0=aXn=i=1∑Xn−1ξin, X0=a

在这个设定中，我们可以把ξij\xi_{ij}ξij的下标iii理解为第iii户，jjj理解为第jjj代，ξij\xi_{ij}ξij表示第iii户、第jjj代有几个娃，则XnX_nXn的含义可以是某家族第nnn代的总人口数，mmm表示平均每一代每一户有几个娃。

问题1：第nnn代平均有多少人？
E[Xn]=E[∑i=1Xn−1ξin]=E[E[∑i=1Xn−1ξin∣Xn−1]]=E[mXn−1]E[X_n]=E \left[ \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in} \right] = E \left[ E\left[ \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in} | X_{n-1} \right]\right] = E[ mX_{n-1}]E[Xn]=E[i=1∑Xn−1ξin]=E[E[i=1∑Xn−1ξin∣Xn−1]]=E[mXn−1]

于是我们有了一个递推式：
E[Xn]=mE[Xn−1]E[X_n]=mE[X_{n-1}]E[Xn]=mE[Xn−1]

所以
E[Xn]=amnE[X_n]=am^nE[Xn]=amn

这个结果能给我们下面几条启发：

在这个模型下，如果m<1m<1m<1，这个家族第nnn代期望人口归零，当nnn足够大的时候；
如果m>1m>1m>1，这个家族期望人口将指数增长；
如果m=1m=1m=1，这个家族期望人口保持不变

问题2：XnX_nXn是鞅吗？
定义Zn=Xn/mnZ_n=X_n/m^nZn=Xn/mn，Fn=σ{ξij:j≤n}\mathcal{F}_n=\sigma\{\xi_{ij}:j \le n\}Fn=σ{ξij:j≤n}，则(Zn,Fn)(Z_n,\mathcal{F}_n)(Zn,Fn)是一个鞅，因为
E[Zn+1∣Fn]=E[∑i=1Xnξi,n+1/mn∣Fn]=mXnmn+1=ZnE[Z_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E \left[ \sum_{i=1}^{X_n}\xi_{i,n+1} /m^n|\mathcal{F}_n\right] = \frac{mX_n}{m^{n+1}} = Z_nE[Zn+1∣Fn]=E[i=1∑Xnξi,n+1/mn∣Fn]=mn+1mXn=Zn

根据鞅收敛定理，∃W≥0,a.s.\exists W \ge 0 ,a.s.∃W≥0,a.s.，WWW可积，并且
Zn→WZ_n \to WZn→W

问题3：论述m<1m<1m<1时这个家族消亡的概率为1
根据Markov不等式，
P(Xn≥1)≤EXn=amnP(X_n \ge 1) \le EX_n = am^nP(Xn≥1)≤EXn=amn

因此，根据Borel-Cantelli引理，
P(Xn≥1i.o.)=0⇔P(Xn=0e.v.)=1P(X_n \ge 1\ i.o.)=0 \\ \Leftrightarrow P(X_n =0 \ e.v.)=1P(Xn≥1 i.o.)=0⇔P(Xn=0 e.v.)=1