UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步10 Doob可选停止定理与一维随机游走的exiting time

这一讲介绍可选停时(optional stopping)，我们先回顾一下停时的定义：

假设{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}是一个filtration，称随机变量N:Ω→NN:\Omega \to \mathbb{N}N:Ω→N是{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的一个停时，如果∀n<∞\forall n <\infty∀n<∞，
{w∈Ω:N(w)≤n}∈Fn\{w\in \Omega:N(w) \le n\} \in \mathcal{F}_n{w∈Ω:N(w)≤n}∈Fn

或者用等价地
{w∈Ω:N(w)=n}∈Fn\{w\in \Omega:N(w) = n\} \in \mathcal{F}_n{w∈Ω:N(w)=n}∈Fn

定义σ\sigmaσ-代数associated with停时NNN
FN={A⊂Ω:A∩{N=n}∈Fn}\mathcal{F}_N = \{A \subset \Omega:A \cap \{N=n\} \in \mathcal{F}_n\}FN={A⊂Ω:A∩{N=n}∈Fn}

评注

FN≠σ(N)\mathcal{F}_N \ne \sigma(N)FN=σ(N)；
FN\mathcal{F}_NFN是σ\sigmaσ-代数；
NNN是FN\mathcal{F}_NFN-可测的；(验证FN⊇σ(N)\mathcal{F}_N \supseteq \sigma(N)FN⊇σ(N)即可, ∀A∈σ(N)\forall A \in \sigma(N)∀A∈σ(N), ∃k,A={N=k}\exists k,A = \{N=k\}∃k,A={N=k}, A∩{N=n}={N=k}χ{n=k}+ϕχ{n≠k}∈FnA \cap \{N=n\}=\{N=k\}\chi_{\{n=k\}}+\phi\chi_{\{n\ne k\}} \in \mathcal{F}_nA∩{N=n}={N=k}χ{n=k}+ϕχ{n=k}∈Fn)
N≤MN \le MN≤M, 则FN⊆FM\mathcal{F}_N \subseteq \mathcal{F}_MFN⊆FM

性质1 {Xi}\{X_i\}{Xi}是一列iid的随机变量，Fn=σ({Xk:k≤n})\mathcal{F}_n = \sigma(\{X_k:k \le n\})Fn=σ({Xk:k≤n})，NNN是{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的一个停时，假设P(N<∞)>0P(N<\infty)>0P(N<∞)>0，则给定N<∞N<\inftyN<∞的条件下，{XN+n:n≥1}\{X_{N+n}:n\ge 1\}{XN+n:n≥1}与FN\mathcal{F}_NFN独立，并且与{Xn:n≥1}\{X_n:n \ge 1\}{Xn:n≥1}同分布。

其中随机变量与σ\sigmaσ-代数互相独立的含义是：X:(Ω,B,P)→(R,B(R))X:(\Omega,\mathcal{B},P)\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))X:(Ω,B,P)→(R,B(R))，A\mathcal{A}A是B\mathcal{B}B的子σ\sigmaσ-代数，称XXX与A\mathcal{A}A互相独立，如果
∀A∈A,E∈σ(X),P(A∩E)=P(A)P(E)\forall A \in \mathcal{A},E \in \sigma(X),P(A \cap E) = P(A)P(E)∀A∈A,E∈σ(X),P(A∩E)=P(A)P(E)

Doob optional sampling theorem (optional stopping theorem)
假设(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是一个submartingale，0≤N1≤N2≤K0 \le N_1 \le N_2 \le K0≤N1≤N2≤K，即N1,N2N_1,N_2N1,N2是有界的停时，其中KKK是一个常数，则
E[XN2∣FN1]≥XN1,a.s.E[X_{N_2}|\mathcal{F}_{N_1}] \ge X_{N_1},a.s.E[XN2∣FN1]≥XN1,a.s.

当XnX_nXn为鞅是取等。

推论 min⁡(N,K)\min(N,K)min(N,K)是停时，并且
E[Xmin⁡(N,K)∣Fmin(N,K)]≥Xmin⁡(N,L),∀K≥LE[X_{\min(N,K)}|\mathcal{F}_{min(N,K)}] \ge X_{\min(N,L)}, \forall K \ge LE[Xmin(N,K)∣Fmin(N,K)]≥Xmin(N,L),∀K≥L

以及{Xmin⁡(N,K),Fmin(N,K)}\{X_{\min(N,K)},\mathcal{F}_{min(N,K)}\}{Xmin(N,K),Fmin(N,K)}是一个submartingale。

这个定理的证明在随机过程那个系列（嗯，还没写呢）完成。

例 {ξi}\{\xi_i\}{ξi}是一个iid的序列
P(ξi=1)=1/2,P(ξi=−1)=1/2S0=x0,Sn=x0+∑i=1nξnP(\xi_i=1)=1/2,P(\xi_i=-1)=1/2 \\ S_0 = x_0, S_n =x_0+ \sum_{i=1}^n\xi_nP(ξi=1)=1/2,P(ξi=−1)=1/2S0=x0,Sn=x0+i=1∑nξn

假设边界为[a,b][a,b][a,b]，x0∈[a,b]x_0 \in [a,b]x0∈[a,b]，我们的目标是讨论这个随机游走如何脱离边界。这就是一个典型的optional stopping的问题，因为不论是从边界aaa还是bbb脱离都是脱离，因此我们要考虑的其实是min⁡(Na,Nb)\min(N_a,N_b)min(Na,Nb)，其中
Na=第一次到达a的时间，Nb=第一次到达b的时间N_a=第一次到达a的时间，N_b =第一次到达b的时间Na=第一次到达a的时间，Nb=第一次到达b的时间

记Nab=min⁡(Na,Nb)N_{ab}=\min(N_a,N_b)Nab=min(Na,Nb)，我们想计算的是：

P(Na<Nb)P(N_a < N_b)P(Na<Nb)
P(Nb<Na)=1−P(Na<Nb)P(N_b<N_a)=1-P(N_a<N_b)P(Nb<Na)=1−P(Na<Nb)
ENabEN_{ab}ENab

Claim 1. {Sn}\{S_n\}{Sn}与{Sn2−n}\{S^2_n-n\}{Sn2−n}都是Fn=σ({ξi:i≤n})\mathcal{F}_n = \sigma(\{\xi_i:i \le n\})Fn=σ({ξi:i≤n})上的鞅。{Sn}\{S_n\}{Sn}是鞅这点非常明显，我们说明一下{Sn2−n}\{S^2_n-n\}{Sn2−n}，
∣Sn2−n∣≤Sn2+n≤(x0+n)2+n|S_n^2-n| \le S_n^2 + n \le (x_0+n)^2+n∣Sn2−n∣≤Sn2+n≤(x0+n)2+n

所以是有界的，因此Sn2−nS_n^2-nSn2−n可积，下面计算
E[Sn+12−(n+1)∣Fn]=E[(Sn+ξn+1)2−n−1∣Fn]=E[Sn2+2Snξn+1+ξn+12−n−1∣Fn]=Sn2−n+2SnE[ξn+1∣Fn]+E[ξn+12−1∣Fn]E[S_{n+1}^2-(n+1)|\mathcal{F}_n] = E[(S_n+\xi_{n+1})^2-n-1|\mathcal{F}_n] \\ = E[S_n^2+2S_n\xi_{n+1}+\xi_{n+1}^2-n-1|\mathcal{F}_n] \\ = S_n^2 - n+2S_nE[\xi_{n+1}|\mathcal{F}_n]+E[\xi^2_{n+1}-1|\mathcal{F}_n]E[Sn+12−(n+1)∣Fn]=E[(Sn+ξn+1)2−n−1∣Fn]=E[Sn2+2Snξn+1+ξn+12−n−1∣Fn]=Sn2−n+2SnE[ξn+1∣Fn]+E[ξn+12−1∣Fn]

其中
E[ξn+1∣Fn]=E[ξn+1]=0E[ξn+12−1∣Fn]=E[ξn+12−1]=0E[\xi_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E[\xi_{n+1}] = 0 \\E[\xi^2_{n+1}-1|\mathcal{F}_n] = E[\xi^2_{n+1}-1]=0E[ξn+1∣Fn]=E[ξn+1]=0E[ξn+12−1∣Fn]=E[ξn+12−1]=0

于是E[Sn+12−(n+1)∣Fn]=Sn2−nE[S_{n+1}^2-(n+1)|\mathcal{F}_n]=S_n^2 - nE[Sn+12−(n+1)∣Fn]=Sn2−n
Claim 2. ENab=∣ab∣EN_{ab}=|ab|ENab=∣ab∣ (如果x0=0x_0=0x0=0)
要说明这个结论，我们要用到Doob可选停止定理，但NabN_{ab}Nab无界，所以我们考虑min⁡(Nab,n)\min(N_{ab},n)min(Nab,n)，计算
E[Smin⁡(Nab,n)∣Fmin⁡(Nab,0)=F0]=S0=x0=0E[S_{\min(N_{ab},n)}|\mathcal{F}_{\min(N_{ab},0)}=\mathcal{F}_0]=S_0=x_0=0 E[Smin(Nab,n)∣Fmin(Nab,0)=F0]=S0=x0=0同理E[Smin⁡(Nab,n)2−min⁡(Nab,n)]=0E[S_{\min(N_{ab},n)}^2-\min(N_{ab},n)]=0E[Smin(Nab,n)2−min(Nab,n)]=0

注意到min⁡(Nab,n)↑Nab,n→∞\min(N_{ab},n) \uparrow N_{ab},n \to \inftymin(Nab,n)↑Nab,n→∞，以及a2≤Smin⁡(Nab,n)2≤b2a^2 \le S_{\min(N_{ab},n)}^2 \le b^2a2≤Smin(Nab,n)2≤b2，根据单调有界必收敛，
E[Smin⁡(Nab,n)2]→E[SNab2]E[S_{\min(N_{ab},n)}^2] \to E[S_{N_{ab}}^2]E[Smin(Nab,n)2]→E[SNab2]

根据期望的单调收敛定理，
E[SNab2]→E[Nab]E[S_{N_{ab}}^2] \to E[N_{ab}]E[SNab2]→E[Nab]

于是E[SNab]=0E[S_{N_{ab}}]=0E[SNab]=0（极限的唯一性），
E[SNab]=aP(Na<Nb)+bP(Nb<Na)=0E[S_{N_{ab}}] = aP(N_a<N_b)+bP(N_b<N_a)=0E[SNab]=aP(Na<Nb)+bP(Nb<Na)=0

因为P(Nb<Na)=1−P(Na<Nb)P(N_b<N_a)=1-P(N_a<N_b)P(Nb<Na)=1−P(Na<Nb)，所以
P(Na<Nb)=bb−a,P(Nb<Na)=−ab−aP(N_a<N_b)=\frac{b}{b-a},P(N_b<N_a) = \frac{-a}{b-a}P(Na<Nb)=b−ab,P(Nb<Na)=b−a−a

以及
E[Nab]=a2P(Na<Nb)+b2P(Nb<Na)=a2bb−a−ab2b−a=∣ab∣E[N_{ab}]=a^2P(N_a<N_b)+b^2P(N_b<N_a) \\ = \frac{a^2b}{b-a}-\frac{ab^2}{b-a} = |ab|E[Nab]=a2P(Na<Nb)+b2P(Nb<Na)=b−aa2b−b−aab2=∣ab∣