UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理22 度量概率空间中的弱收敛 Portmanteau定理
UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理22 度量概率空间中的弱收敛 Portmanteau定理
现在我们讨论度量空间中的弱收敛，假设(Ω,d)(\Omega,d)(Ω,d)是一个度量空间，(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)是一个概率空间，Xn,XX_n,XXn,X是定义在Ω\OmegaΩ上的随机变量，它们的分布为μn,μ\mu_n,\muμn,μ。
Portmanteau定理
关于依分布收敛，下面的叙述等价：
- Xn→dXX_n \to_d XXn→dX
- 对任意开集GGG，lim infP(Xn∈G)≥P(X∈G)\liminf P(X_n \in G) \ge P(X \in G)liminfP(Xn∈G)≥P(X∈G)
- 对任意闭集KKK，lim supP(Xn∈K)≤P(X∈K)\limsup P(X_n \in K) \le P(X \in K)limsupP(Xn∈K)≤P(X∈K)
- 对任意集合AAA，如果P(X∈∂A)=0P(X \in \partial A) = 0P(X∈∂A)=0，则limP(Xn∈A)=P(X∈A)\lim P(X_n \in A) = P(X \in A)limP(Xn∈A)=P(X∈A)
关于弱收敛，下面的叙述等价：
- μn⇒μ\mu_n \Rightarrow \muμn⇒μ
- 对任意开集GGG，lim infμn(G)≥μ(G)\liminf \mu_n(G) \ge \mu(G)liminfμn(G)≥μ(G)
- 对任意闭集KKK，lim supμn(K)≤μ(K)\limsup \mu_n(K) \le \mu(K)limsupμn(K)≤μ(K)
- 对任意集合AAA，如果μ(∂A)=0\mu(\partial A) = 0μ(∂A)=0，则μ(An)→μ(A)\mu(A_n) \to \mu(A)μ(An)→μ(A)
证明的路径是1⇒3⇒2⇒4⇒11 \Rightarrow 3 \Rightarrow 2 \Rightarrow 4 \Rightarrow 11⇒3⇒2⇒4⇒1，贴一份Durrett的证明
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