UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步6 鞅的性质鞅差序列

上一讲我们引入了鞅的定义，称(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅，如果

∀n\forall n∀n，XnX_nXn绝对可积
{Xn}\{X_n\}{Xn} adapted to {Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}
E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=X_nE[Xn+1∣Fn]=Xn

如果第三条改为E[Xn+1∣Fn]≥XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]\ge X_nE[Xn+1∣Fn]≥Xn就是sub-martingale；如果第三条改为E[Xn+1∣Fn]≤XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]\le X_nE[Xn+1∣Fn]≤Xn就是super-martingale。这一讲我们讨论鞅的基本性质。

性质一 假设(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅，则σ({Xk:k≤n})\sigma(\{X_k:k \le n\})σ({Xk:k≤n})是使XnX_nXn成为鞅的最小的Filtration。
证明
显然Xn∈L1X_n \in L^1Xn∈L1并且Xn∈σ({Xk:k≤n})X_n \in \sigma(\{X_k:k \le n\})Xn∈σ({Xk:k≤n})，因为∀n,Xn∈Fn\forall n, X_n \in \mathcal{F}_n∀n,Xn∈Fn，于是σ({Xk:k≤n})⊂Fn\sigma(\{X_k:k \le n\}) \subset \mathcal{F_n}σ({Xk:k≤n})⊂Fn，根据Tower property，
E[Xn+1∣σ({Xk:k≤n})]=E[E[Xn+1∣Fn]∣σ({Xk:k≤n})]=E[Xn∣σ({Xk:k≤n})]=XnE[X_{n+1}|\sigma(\{X_k:k \le n\})] \\ = E[E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]|\sigma(\{X_k:k \le n\})] \\ = E[X_n|\sigma(\{X_k:k \le n\})]=X_nE[Xn+1∣σ({Xk:k≤n})]=E[E[Xn+1∣Fn]∣σ({Xk:k≤n})]=E[Xn∣σ({Xk:k≤n})]=Xn

关于如何选择Filtration，这个性质带给我们两点启发：

随机过程生成的Filtration是最小的Filtration，它被称为Natural filtration，因此一个鞅过程总是可以有一个Filtration的；
更大的Filtration也可以用，但是正如Tower property展示的那样，只有与Natural filtration重叠的部分才是有效信息。

性质二 {dj,Fj}j≥0\{d_j,\mathcal{F}_j\}_{j \ge 0}{dj,Fj}j≥0是martingale difference sequence (鞅差序列，MDS)，如果

dj∈Fjd_j \in \mathcal{F}_jdj∈Fj (adapted)
dj∈L1d_j \in L^1dj∈L1
E[dj+1∣Fj]=0E[d_{j+1}|\mathcal{F}_j]=0E[dj+1∣Fj]=0

如果第三条改为≥\ge≥就是submartingale difference sequence；如果第三条改为≤\le≤就是supermartingale difference sequence。关于鞅差序列有下面一些结果：

Xn=∑j=0ndjX_n = \sum_{j=0}^n d_jXn=∑j=0ndj，则(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅
(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅，则构造d0=X0−EX0d_0=X_0-EX_0d0=X0−EX0, dj=Xj−Xj−1,∀j≥1d_j=X_j-X_{j-1}, \forall j \ge 1dj=Xj−Xj−1,∀j≥1，(dj,Fj)(d_j,\mathcal{F}_j)(dj,Fj)是MDS

性质三 orthogonality of MDS
假设(dj,Fj)(d_j,\mathcal{F}_j)(dj,Fj)是一个MDS，dj∈L2d_j \in L^2dj∈L2，则djd_jdj是正交序列。
证明
首先，Edj=E[E[dj∣Fj−1]]=0,∀j≥0Ed_j = E[E[d_j|\mathcal{F}_{j-1}]] = 0,\forall j \ge 0Edj=E[E[dj∣Fj−1]]=0,∀j≥0；
下面计算∀i≠j\forall i \ne j∀i=j，不妨设i<ji<ji<j
E[didj]=E[E[didj∣Fj−1]]=E[diE[dj∣Fj−1]]=E[di⋅0]=0E[d_id_j]=E[E[d_id_j|\mathcal{F}_{j-1}]]=E[d_{i}E[d_j|\mathcal{F}_{j-1}]] = E[d_i \cdot 0]=0E[didj]=E[E[didj∣Fj−1]]=E[diE[dj∣Fj−1]]=E[di⋅0]=0

例假设(dj,Fj)(d_j,\mathcal{F}_j)(dj,Fj)是一个MDS，Xn=∑j≥0djX_n = \sum_{j \ge 0}d_jXn=∑j≥0dj，计算
E[Xn]2=E[∑1≤i,j≤ndidj]2=∑k=1nE[dk]2E[X_n]^2 = E \left[ \sum_{1 \le i,j \le n} d_id_j \right]^2=\sum_{k=1}^nE[d_k]^2E[Xn]2=E[1≤i,j≤n∑didj]2=k=1∑nE[dk]2

根据orthogonality of MDS，所有交叉项的期望为0，于是有了上面的式子。

性质四 假设(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅，我们可以基于鞅构造一个sub-martingale。假设ψ\psiψ是一个凸函数并且ψ(Xn)∈L1\psi(X_n) \in L^1ψ(Xn)∈L1，根据Jensen不等式与鞅的性质
ψ(Xn)≤ψ(E[Xn+1∣Fn])\psi(X_n) \le \psi(E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n])ψ(Xn)≤ψ(E[Xn+1∣Fn])则(ψ(Xn),Fn)(\psi(X_n),\mathcal{F}_n)(ψ(Xn),Fn)是一个submartingale。

例 Centering by conditional mean
假设{ξi}\{\xi_i\}{ξi}是一列任意的L1L^1L1随机变量，定义dj=ξj−E[ξj∣Fj−1]d_j = \xi_j-E[\xi_j|\mathcal{F}_{j-1}]dj=ξj−E[ξj∣Fj−1]，其中Fj\mathcal{F}_jFj是Filtration，则

djd_jdj是MDS
∑j≥1dj\sum_{j \ge 1} d_j∑j≥1dj是鞅