参考来源于《泛函分析讲义》，张恭庆，林源渠编著，北京大学出版社

文章目录

第一章度量空间
- 压缩映像原理
- - 定义1.1.1 距离
  - 定义1.1.3 收敛
  - 定义1.1.4 闭集
  - 定义1.1.5 基本列与完备
  - 定义1.1.8 连续
  - 定义1.1.10 压缩映射
  - 定理1.1.11 Banach不动点定理——压缩映像原理
- 完备化
- - 定义1.2.1 等距同构
  - 定义1.2.2 稠密性
  - 定义1.2.4 完备化空间
- 列紧集
- - 有界
  - 定义1.3.1 列紧
  - 定义1.3.5 ε\varepsilonε网
  - 定义1.3.6 完全有界
  - 定理1.3.7 Hausdorff
  - 定义1.3.8 可分
  - 定义1.3.10 紧
  - 定义1.3.14 一致有界、等度连续(一致连续)
  - 定理1.3.15 Arzela-Ascoli
- 线性赋范空间
- - 定义1.4.1
  - 定义1.4.2 准范数
  - 定义1.4.3 范数
  - 定义1.4.15 范数等价
  - 定义1.4.21 次线性泛函
  - 定义1.4.23 最佳逼近
  - 定义1.4.24 严格凸
  - 引理1.4.31 F.Riesz引理
  - 定理1.4.28 有穷维B∗B^*B∗空间的刻画
- 凸集与不动点
- - 定义1.5.1 凸集
  - 定义1.5.3 凸包、凸组合
  - 定义1.5.5 Minkowski泛函
  - 定义1.5.7 吸收凸集、对称凸集
- 内积空间
- - 定义1.6.1 共轭双线性函数
  - 定义1.6.3 内积
  - 命题1.6.8 Cauchy-Schwarz不等式
  - 命题1.6.13 平行四边形法则
  - 定义1.6.14 Hilbert空间
  - 定义1.6.17 正交
  - 定义1.6.19 正交集
  - 定义1.6.23 Bessel不等式与Parseval等式
  - 定义1.6.29 同构
  - 定义1.6.31 最佳逼近和正交分解

第一章度量空间

压缩映像原理

定义1.1.1 距离

X\mathscr XX上定义一个双变量实值函数ρ(x,y)\rho(x,y)ρ(x,y)满足下列三个条件:
(1) ρ(x,y)=0⇔x=y\rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x=yρ(x,y)=0⇔x=y
(2) ρ(x,y)=ρ(y,x)\rho(x,y)=\rho(y,x)ρ(x,y)=ρ(y,x)
(3) ρ(x,z)=ρ(x,y)+ρ(y,z)\rho(x,z)=\rho(x,y)+\rho(y,z)ρ(x,z)=ρ(x,y)+ρ(y,z)
ρ\rhoρ叫做X\mathscr XX上的一个距离，以ρ\rhoρ为距离的距离空间X\mathscr XX记做(X,ρ)(\mathscr X, \rho)(X,ρ)

定义1.1.3 收敛

距离空间(X,ρ)(\mathscr X, \rho)(X,ρ)上的点列{xn}\{x_n\}{xn}收敛到x0x_0x0是指ρ(xn,x0)→0(n→∞)\rho(x_n,x_0)\to 0(n\to\infty)ρ(xn,x0)→0(n→∞)，记做lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0n→∞limxn=x0

定义1.1.4 闭集

EEE为度量空间(X,ρ)(\mathscr X, \rho)(X,ρ)中的子集。若∀{xn}⊂E\forall \{x_n\}\subset E∀{xn}⊂E有xn→x0x_n\to x_0xn→x0，则x0∈Ex_0\in Ex0∈E

定义1.1.5 基本列与完备

(1) ρ(xn,xm)→0(n,m→∞)\rho(x_n,x_m)\to0(n,m\to\infty)ρ(xn,xm)→0(n,m→∞)
(2) ∀ε>0,∃N(ε)s.t.m,n⩾N(ε)⇒ρ(xn,xm)<ε\forall\varepsilon>0,\exists N(\varepsilon) s.t. m,n\geqslant N(\varepsilon)\Rightarrow\rho(x_n,x_m)<\varepsilon∀ε>0,∃N(ε)s.t.m,n⩾N(ε)⇒ρ(xn,xm)<ε
所有收敛列都是基本列
所有基本列都收敛，则空间完备
完备度量空间的闭子集必完备

定义1.1.8 连续

T:(X,ρ)→(Y,r)T:(\mathscr X,\rho)\to(\mathscr Y, r)T:(X,ρ)→(Y,r)为连续映射
(1) ρ(xn,x0)→0⇒r(T(xn),T(x0))→0\rho(x_n,x_0)\to0\Rightarrow r(T(x_n),T(x_0))\to0ρ(xn,x0)→0⇒r(T(xn),T(x0))→0
(2) ∀ε>0,∀x0∈X,∃δ=δ(x0,ε),s.t.ρ(x,x0)<δ⇒r(T(x),T(x0))<ε(∀x∈X)\forall\varepsilon>0, \forall x_0\in\mathscr X,\exists\delta=\delta(x_0,\varepsilon),s.t.\rho(x,x_0)<\delta\Rightarrow r(T(x),T(x_0))<\varepsilon\qquad(\forall x \in \mathscr X)∀ε>0,∀x0∈X,∃δ=δ(x0,ε),s.t.ρ(x,x0)<δ⇒r(T(x),T(x0))<ε(∀x∈X)
(3) lim⁡n→∞xn=x0⇒lim⁡n→∞T(xn)=T(lim⁡n→∞xn)=T(x0)\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0 \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}T(x_n)=T(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)=T(x_0)n→∞limxn=x0⇒n→∞limT(xn)=T(n→∞limxn)=T(x0)

定义1.1.10 压缩映射

称T:(X,ρ)→(X,ρ)T:(\mathscr X, \rho)\to(\mathscr X,\rho)T:(X,ρ)→(X,ρ)是一个压缩映射，如果存在0<α<1,s.t.ρ(T(x),T(y))⩽αρ(x,y)(∀x,y∈X)0<\alpha<1,s.t.\rho(T(x),T(y))\leqslant\alpha\rho(x,y)\quad(\forall x,y\in\mathscr X)0<α<1,s.t.ρ(T(x),T(y))⩽αρ(x,y)(∀x,y∈X)

定理1.1.11 Banach不动点定理——压缩映像原理

设(X,ρ)(\mathscr X, \rho)(X,ρ)是一个完备的距离空间，TTT是(X,ρ)(\mathscr X, \rho)(X,ρ)到自身的一个压缩映射，则TTT在X\mathscr XX上存在唯一不动点。

注：
(1) α=0\alpha=0α=0时也成立
(2) α=1\alpha=1α=1时为弱压缩映射，此时TTT可以有不动点，也可以没有不动点

完备化

定义1.2.1 等距同构

设(X,ρ),(X1,ρ1)(\mathscr X,\rho),(\mathscr X_1,\rho_1)(X,ρ),(X1,ρ1)是两个度量空间，如果存在映射φ:X→X1\varphi:\mathscr X\to\mathscr X_1φ:X→X1满足
(1) φ\varphiφ是满射
(2) ρ(x,y)=ρ1(φ(x),φ(y))(∀x,y∈X)\rho(x,y)=\rho_1(\varphi(x), \varphi(y))\quad(\forall x,y\in\mathscr X)ρ(x,y)=ρ1(φ(x),φ(y))(∀x,y∈X)
则称(X,ρ)和(X1,ρ1)(\mathscr X,\rho)和(\mathscr X_1,\rho_1)(X,ρ)和(X1,ρ1)是等距同构的，并称φ\varphiφ为等距同构映射，有时简称等距同构。
注：由(2)还可以推出φ\varphiφ是单射。

定义1.2.2 稠密性

设(X,ρ)(\mathscr X,\rho)(X,ρ)是度量空间，集合E⊂XE\subset\mathscr XE⊂X为在X\mathscr XX的稠密子集
⇔∀x∈X,∀ε>0,∃z∈E,s.t.ρ(x,z)<ε⇔∀x∈X,∃{xn}⊂E,s.t.xn→x⇔∀ε>0，有X=⋃z∈EB(z,ε)\begin{aligned} &\Leftrightarrow\forall x\in\mathscr X,\forall\varepsilon>0,\exists z\in E,s.t.\quad \rho(x,z)<\varepsilon \\ &\Leftrightarrow\forall x\in\mathscr X,\exists\{x_n\}\subset E,s.t.\quad x_n\to x \\ &\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，有\mathscr X=\bigcup\limits_{z\in E}\mathcal B(z,\varepsilon) \end{aligned} ⇔∀x∈X,∀ε>0,∃z∈E,s.t.ρ(x,z)<ε⇔∀x∈X,∃{xn}⊂E,s.t.xn→x⇔∀ε>0，有X=z∈E⋃B(z,ε)

定义1.2.4 完备化空间

包含给定度量空间(X,ρ)(\mathscr X,\rho)(X,ρ)的最小的完备度量空间成为X\mathscr XX的完备化空间。

最小的完备度量空间不是唯一的。

若要求度量空间在其完备化空间中稠(在等距同构意义下)，则可证其完备化度量空间必在等距同构下唯一。

命题1.2.5
若(X1,ρ1)(\mathscr X_1,\rho_1)(X1,ρ1)是一个以(X,ρ)(\mathscr X,\rho)(X,ρ)为子空间的完备度量空间，并且X\mathscr XX等距同构于X1\mathscr X_1X1的一个稠子集，则X1\mathscr X_1X1是X\mathscr XX的唯一完备化空间。

定理1.2.6
每一个度量空间有一个其自身在其中稠的唯一完备化空间。

例1.2.7
设ρ(x,y)=max⁡a⩽t⩽b∣x(t)−y(t)∣\rho(x,y)=\max\limits_{a\leqslant t \leqslant b}|x(t)-y(t)|ρ(x,y)=a⩽t⩽bmax∣x(t)−y(t)∣，由weitrstrass定理，P[a,b]P[a,b]P[a,b]在C[a,b]C[a,b]C[a,b]中稠，且(C[a,b],ρ)(C[a,b],\rho)(C[a,b],ρ)完备。

例1.2.8
设ρ1(x,y)=∫ab∣x(t)−y(t)∣dt\rho_1(x,y)=\int_a^b|x(t)-y(t)|dtρ1(x,y)=∫ab∣x(t)−y(t)∣dt，C[a,b]C[a,b]C[a,b]在L1[a,b]L^1[a,b]L1[a,b]中稠，且(L1[a,b],ρ1)(L^1[a,b],\rho_1)(L1[a,b],ρ1)完备。

列紧集

有界

设(X,ρ)(\mathscr X,\rho)(X,ρ)是一个距离空间，A是X\mathscr XX的子集。如果∃x0∈X\exists x_0 \in\mathscr X∃x0∈X及r>0r>0r>0使得A⊂B(x0,r)A\subset\mathcal B(x_0,r)A⊂B(x0,r)，则称A是有界的。

定义1.3.1 列紧

设(X,ρ)(\mathscr X,\rho)(X,ρ)是一个距离空间，AAA是X\mathscr XX的子集。如果AAA的任意点列在X\mathscr XX中有收敛子列，则称AAA是列紧的。若这个子列还收敛到AAA中的点，则称AAA是自列紧的。如果空间X\mathscr XX是列紧的，则称X\mathscr XX是列紧空间。

定义1.3.5 ε\varepsilonε网

对ε>0,N⊂M\varepsilon>0,N\subset Mε>0,N⊂M有
M⊂⋃y∈NB(y,ε)M\subset\bigcup\limits_{y\in N}\mathcal B(y,\varepsilon)M⊂y∈N⋃B(y,ε)
则NNN为MMM的ε\varepsilonε网。若NNN有穷集，则为有穷ε\varepsilonε网

定义1.3.6 完全有界

MMM完全有界，则∀ε>0\forall\varepsilon>0∀ε>0，都存在MMM的一个有穷ε\varepsilonε网

定理1.3.7 Hausdorff

列紧集⇒\Rightarrow⇒完全有界⇒\Rightarrow⇒有界，完全有界⟹完备\stackrel{完备}\Longrightarrow⟹完备列紧集

定义1.3.8 可分

一个距离空间若有可数个稠密子集，则称为是可分的。
完全有界的距离空间是可分的。

定义1.3.10 紧

拓扑空间X\mathscr XX中，称集合MMM是紧的，如果X\mathscr XX中每个覆盖MMM的开集族中都有有穷个开集覆MMM。
紧⇔\Leftrightarrow⇔自列紧

定义1.3.14 一致有界、等度连续(一致连续)

设MMM紧的距离空间，F⊂C(M)F\subset C(M)F⊂C(M)。若∃M1>0\exists M_1>0∃M1>0，使得∣φ(x)∣⩽M1(∀x∈M,∀φ∈F)|\varphi(x)|\leqslant M_1\quad(\forall x\in M,\forall\varphi\in F)∣φ(x)∣⩽M1(∀x∈M,∀φ∈F)则F是一致有界的。
等价于FFF为C(M)C(M)C(M)的有界集。
如果∀ε>0，∃δ(ε)>0\forall\varepsilon>0，\exists \delta(\varepsilon)>0∀ε>0，∃δ(ε)>0，使得∣φ(x1)−φ(x2)∣<ε(∀x1,x2∈M,ρ(x1,x2)<δ,∀φ∈F)|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon\quad(\forall x_1,x_2\in M,\rho(x_1,x_2)<\delta,\forall\varphi\in F)∣φ(x1)−φ(x2)∣<ε(∀x1,x2∈M,ρ(x1,x2)<δ,∀φ∈F)，则称FFF是等度连续的。

定理1.3.15 Arzela-Ascoli

F⊂C(M)F\subset C(M)F⊂C(M)是一个列紧集⟺F\Longleftrightarrow F⟺F为一致有界且等度连续的函数族。

线性赋范空间

定义1.4.1

线性流形 E=E0+x0,E0E=E_0+x_0,E_0E=E0+x0,E0为线性子空间
线性流形还是线性子空间⇔x0∈E0\Leftrightarrow x_0\in E_0⇔x0∈E0
线性包{xλ}\{x_\lambda\}{xλ}的有穷线性组合，也称{xλ}\{x_\lambda\}{xλ}张成的线性子空间，记为span{xλ}span\{x_\lambda\}span{xλ}
span{xλ}=⋂{xλ}⊂M,M为线性子空间Mspan\{x_\lambda\}=\bigcap_{\{x_\lambda\}\subset M,M为线性子空间}Mspan{xλ}={xλ}⊂M,M为线性子空间⋂M

定义1.4.2 准范数

∣∣⋅∣∣:X→R1||\cdot||:\mathscr{X}\to\mathbb{R}^1∣∣⋅∣∣:X→R1满足条件：
(1) ∣∣x∣∣⩾0(∀x∈X);∣∣x∣∣=0⇔x=θ||x||\geqslant0(\forall x\in\mathscr{X});||x||=0\Leftrightarrow x=\theta∣∣x∣∣⩾0(∀x∈X);∣∣x∣∣=0⇔x=θ
(2) ∣∣x+y∣∣⩽∣∣x∣∣+∣∣y∣∣(∀x,y∈X)||x+y||\leqslant||x||+||y||(\forall x,y\in\mathscr{X})∣∣x+y∣∣⩽∣∣x∣∣+∣∣y∣∣(∀x,y∈X)
(3) ∣∣−x∣∣=∣∣x∣∣(∀x∈X)||-x||=||x||(\forall x\in\mathscr{X})∣∣−x∣∣=∣∣x∣∣(∀x∈X)
(4) lim⁡an→0∣∣anx∣∣=0,lim⁡∣∣xn→0∣∣∣∣axn∣∣=0\lim\limits_{a_n\to0}||a_nx||=0, \lim\limits_{||x_n\to0||}||ax_n||=0an→0lim∣∣anx∣∣=0,∣∣xn→0∣∣lim∣∣axn∣∣=0

对X\mathscr{X}X赋予准范数∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣后称为F∗F^*F∗空间
完备的F∗F^*F∗空间称为FFF空间

定义1.4.3 范数

∣∣⋅∣∣:X→R1||\cdot||:\mathscr{X}\to\mathbb{R}^1∣∣⋅∣∣:X→R1满足条件：
(1) ∣∣x∣∣⩾0(∀x∈X);∣∣x∣∣=0⇔x=θ||x||\geqslant0(\forall x\in\mathscr{X});||x||=0\Leftrightarrow x=\theta∣∣x∣∣⩾0(∀x∈X);∣∣x∣∣=0⇔x=θ（正定性）
(2) ∣∣x+y∣∣⩽∣∣x∣∣+∣∣y∣∣(∀x,y∈X)||x+y||\leqslant||x||+||y||(\forall x,y\in\mathscr{X})∣∣x+y∣∣⩽∣∣x∣∣+∣∣y∣∣(∀x,y∈X)（三角不等式）
(3) ∣∣ax∣∣=∣a∣∣∣x∣∣(∀a∈K,∀x∈X)||ax||=|a|||x||(\forall a\in\mathbb{K},\forall x\in\mathscr{X})∣∣ax∣∣=∣a∣∣∣x∣∣(∀a∈K,∀x∈X)（齐次性）

对X\mathscr{X}X赋予范数∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣后称为B∗B^*B∗空间
完备的B∗B^*B∗空间称为BBB空间或Banach空间。

LpL^pLp范数：(∫Ω∣u(x)∣pdμ)1p(\int_{\Omega}|u(x)|^pd\mu)^\frac{1}{p}(∫Ω∣u(x)∣pdμ)p1
lpl^plp范数： (∑n=1∞∣u(x)∣p)1p(\sum_{n=1}^{\infty}|u(x)|^p)^\frac{1}{p}(∑n=1∞∣u(x)∣p)p1
L∞L^{\infty}L∞范数: inf⁡μ(E0)=0,E0⊂Ω(sup⁡x∈Ω∖E0∣u(x)∣)\inf\limits_{\mu(E_0)=0,E_0\subset\Omega}(\sup\limits_{x\in\Omega\setminus E_0}|u(x)|)μ(E0)=0,E0⊂Ωinf(x∈Ω∖E0sup∣u(x)∣),又记esssup⁡x∈Ω∣u(x)∣ess \sup\limits_{x\in\Omega}|u(x)|essx∈Ωsup∣u(x)∣

定义1.4.15 范数等价

∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2比∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1强，是指
∣∣xn∣∣2→0⇒∣∣xn∣∣1→0(当n→∞)||x_n||_2\to0\Rightarrow||x_n||_1\to0\qquad(当n\to\infty)∣∣xn∣∣2→0⇒∣∣xn∣∣1→0(当n→∞)
如果∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2比∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1强且∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1比∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2强，则称∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1与∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2等价。
为了∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2比∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1强，必需且仅须存在常数C>0C>0C>0，使得∣∣x∣∣1⩽C∣∣x∣∣2(∀x∈X)||x||_1\leqslant C||x||_2\quad(\forall x\in\mathscr{X})∣∣x∣∣1⩽C∣∣x∣∣2(∀x∈X)
所以∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1与∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2等价必须且仅须存在常数C1,C2>0C_1,C_2>0C1,C2>0，使得C1∣∣x∣∣1⩽∣∣x∣∣2⩽C2∣∣x∣∣1C_1||x||_1\leqslant ||x||_2\leqslant C_2||x||_1C1∣∣x∣∣1⩽∣∣x∣∣2⩽C2∣∣x∣∣1
注：
(1) 有穷维任意两个范数等价，无穷维不成立
(2) 相同维度的两个有穷维线性赋范空间在代数上是同构的，在拓扑上是同胚的
(3) 有穷维B∗\mathcal{B}^*B∗空间必是B\mathcal{B}B空间
(4) B∗B^*B∗空间上的任意有穷维子空间必是闭子空间

定义1.4.21 次线性泛函

P:X→R1P:\mathscr{X}\to\mathbb{R}^1P:X→R1满足条件：
(1) P(x+y)⩽P(x)+P(y)(∀x,y∈X)P(x+y)\leqslant P(x)+P(y)(\forall x,y\in\mathscr{X})P(x+y)⩽P(x)+P(y)(∀x,y∈X)（次可加性）
(2) P(λx)=λP(x)(∀λ>0,∀x∈X)P(\lambda x)=\lambda P(x)(\forall \lambda>0,\forall x\in\mathscr{X})P(λx)=λP(x)(∀λ>0,∀x∈X)（正齐次性）
则称PPP是X\mathscr{X}X上的一个次线性泛函

若PPP还满足P(x)⩾0(∀x∈X)P(x)\geqslant0(\forall x\in\mathscr{X})P(x)⩾0(∀x∈X)并且(2)是齐次性，即P(ax)=∣a∣P(x)(∀a∈K,∀x∈X)P(ax)=|a|P(x)(\forall a\in\mathbb{K},\forall x\in\mathscr{X})P(ax)=∣a∣P(x)(∀a∈K,∀x∈X)，则称PPP是一个半范数或半模

设PPP是有穷维B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X上的一个次线性泛函，如果P(x)⩾0(∀x∈x)P(x)\geqslant0(\forall x\in\mathscr{x})P(x)⩾0(∀x∈x)，并且P(x)=0⇔x=θP(x)=0\Leftrightarrow x=\thetaP(x)=0⇔x=θ，则存在正常数c1,c2c_1,c_2c1,c2使得c1∣∣x∣∣⩽P(x)⩽c2∣∣x∣∣(∀x∈X)c_1||x||\leqslant P(x)\leqslant c_2||x|| \qquad(\forall x\in\mathscr{X})c1∣∣x∣∣⩽P(x)⩽c2∣∣x∣∣(∀x∈X)

定义1.4.23 最佳逼近

设X\mathscr{X}X是一个B∗B^*B∗空间，若e1,e2,...,ene_1,e_2,...,e_ne1,e2,...,en是X\mathscr{X}X中给定的向量组，则∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X，存在着最佳逼近系数λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nλ1,λ2,...,λn满足
∣∣x−∑i=1nλiei∣∣=min⁡a∈Kn∣∣x−∑i=1naiei∣∣||x-\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i||=\min\limits_{a\in\mathbb{K}^n}||x-\sum_{i=1}^{n}a_ie_i||∣∣x−i=1∑nλiei∣∣=a∈Knmin∣∣x−i=1∑naiei∣∣

若记M:=spane1,e2,...,en;ρ(x,M):=inf⁡y∈M∣∣x−y∣∣;xo:=∑i=1nλieiM:=span{e_1,e_2,...,e_n};\rho(x,M):=\inf\limits_{y\in M}||x-y||;x_o:=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_iM:=spane1,e2,...,en;ρ(x,M):=y∈Minf∣∣x−y∣∣;xo:=∑i=1nλiei，则有ρ(x,x0)=ρ(x.M)\rho(x,x_0)=\rho(x.M)ρ(x,x0)=ρ(x.M)。称x0∈Mx_0\in Mx0∈M为xxx在MMM上的最佳逼近元。在B∗B^*B∗空间中，任意指定元素在给定的有限维子空间上的最佳逼近元总是存在的，但唯一性需要依靠B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X模的性质

定义1.4.24 严格凸

B∗B^*B∗空间(X,∣∣⋅∣∣)(\mathscr{X},||\cdot||)(X,∣∣⋅∣∣)是严格凸的，是指∀x,y∈X,x≠y\forall x,y\in\mathscr{X},x\neq y∀x,y∈X,x=y必有∣∣x∣∣=∣∣y∣∣=1⇒∣∣ax+by∣∣<1(∀a,b>0,a+b=1)||x||=||y||=1\Rightarrow||ax+by||<1\qquad(\forall a,b>0,a+b=1)∣∣x∣∣=∣∣y∣∣=1⇒∣∣ax+by∣∣<1(∀a,b>0,a+b=1)

∀a,b\forall a,b∀a,b可以改成∃a0,b0\exists a_0,b_0∃a0,b0

严格凸则存在唯一最佳逼近系数
严格凸强烈依赖于所考虑的范数

引理1.4.31 F.Riesz引理

如果X0\mathscr{X}_0X0是B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X的一个真闭子空间，那么对∀0<ε<1，∃y∈X\forall 0<\varepsilon<1，\exists y\in\mathscr{X}∀0<ε<1，∃y∈X,使得∣∣y∣∣=1||y||=1∣∣y∣∣=1，并且∣∣y−x∣∣⩾1−ε(∀x∈X0)||y-x||\geqslant1-\varepsilon(\forall x\in\mathscr{X}_0)∣∣y−x∣∣⩾1−ε(∀x∈X0)

定理1.4.28 有穷维B∗B^*B∗空间的刻画

(1) B∗B^*B∗是有穷维的⇔X\Leftrightarrow\mathscr{X}⇔X的单位球面是列紧的
(2) B∗B^*B∗是有穷维的⇔X\Leftrightarrow\mathscr{X}⇔X的单位球面任意有界集是列紧的
(3) 设X\mathscr{X}X是有限维B∗B^*B∗空间，则列紧集⇔\Leftrightarrow⇔有界集
(4) 设X\mathscr{X}X是有限维B∗B^*B∗空间，则紧集⇔\Leftrightarrow⇔自列紧集⇔\Leftrightarrow⇔列紧闭集⇔\Leftrightarrow⇔有界闭集
(5) 设X\mathscr{X}X是有限维B∗B^*B∗空间，集合M⊂XM\subset\mathscr{X}M⊂X是完全有界集⇔M\Leftrightarrow M⇔M有界
(6) 在B∗B^*B∗空间中，则紧集是完全有界闭集，反之不一定成立；在BBB空间中，紧集⇔\Leftrightarrow⇔完全有界闭集

凸集与不动点

定义1.5.1 凸集

∀x,y∈E,∀0⩽λ⩽1,λx+(1−λ)y∈E\forall x,y \in E,\forall 0\leqslant\lambda\leqslant1, \lambda x+(1-\lambda)y\in E∀x,y∈E,∀0⩽λ⩽1,λx+(1−λ)y∈E，则EEE为凸集。
这个概念不要求空间有拓扑结构，但要有代数结构。
∀λ∈[0,1]\forall\lambda\in[0,1]∀λ∈[0,1]不能减弱为∀λ∈[0,1]∩Q\forall\lambda\in[0,1]\cap\mathbb{Q}∀λ∈[0,1]∩Q，可以减弱为∀λ∈[0,1]∖Q\forall\lambda\in[0,1]\setminus\mathbb{Q}∀λ∈[0,1]∖Q，但不能减弱为∃λ0∈[0,1]∖Q\exist\lambda_0\in[0,1]\setminus\mathbb{Q}∃λ0∈[0,1]∖Q

定义1.5.3 凸包、凸组合

若{Eλ∣λ∈Λ}\{E_{\lambda}|\lambda\in\Lambda\}{Eλ∣λ∈Λ}是线性空间X\mathscr{X}X中的一族凸集，则⋂λ∈ΛEλ\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}E_{\lambda}λ∈Λ⋂Eλ也是凸集。
若{Eλ∣λ∈Λ}\{E_{\lambda}|\lambda\in\Lambda\}{Eλ∣λ∈Λ}是线性空间X\mathscr{X}X中包含AAA的一族凸集，则称⋂λ∈ΛEλ\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}E_{\lambda}λ∈Λ⋂Eλ为AAA的凸包(最小凸集)，并记做co(AAA)。
称∑i=1nλixi\sum\limits^{n}_{i=1}\lambda_ix_ii=1∑nλixi为x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn的凸组合，其中λi⩾0,∑i=1nλi=1\lambda_i\geqslant0,\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=1λi⩾0,i=1∑nλi=1
AAA的凸包是AAA中元素任意凸组合的全体。

定义1.5.5 Minkowski泛函

设X\mathscr{X}X是线性空间，CCC是X\mathscr{X}X上含有θ\thetaθ的凸子集，在X\mathscr{X}X上规定一个取值于[0,∞][0,\infty][0,∞]的函数
P(x)=inf⁡{λ>0∣xλ∈C}(∀x∈X)P(x)=\inf\{\lambda>0|\frac{x}{\lambda}\in C\}\qquad(\forall x\in\mathscr{X})P(x)=inf{λ>0∣λx∈C}(∀x∈X)
与CCC对应，称函数PPP为CCC的Minkowski泛函。约定inf⁡ϕ=∞:x∞=0,x=θ∈C\inf\phi=\infty: \frac{x}{\infty}=0,x=\theta\in Cinfϕ=∞:∞x=0,x=θ∈C
它有以下性质：
(1) P(x)∈[0,∞],P(θ)=0P(x)\in[0,\infty],P(\theta)=0P(x)∈[0,∞],P(θ)=0
(2) P(λx)=λP(x)(∀x∈X,∀λ>0)P(\lambda x)=\lambda P(x)(\forall x\in\mathscr{X},\forall\lambda>0)P(λx)=λP(x)(∀x∈X,∀λ>0)(正齐次性)
(3)P(x+y)⩽P(x)+P(y)(∀x,y∈X)P(x+y)\leqslant P(x)+P(y) (\forall x,y\in\mathscr{X})P(x+y)⩽P(x)+P(y)(∀x,y∈X)(次可加性)

定义1.5.7 吸收凸集、对称凸集

吸收集: CCC为含有θ\thetaθ的凸集且∀x∈X,∃λ>0\forall x\in\mathscr{X},\exist\lambda>0∀x∈X,∃λ>0，使得xλ∈C\frac{x}{\lambda}\in Cλx∈C
对称集: x∈C⇒−x∈Cx\in C\Rightarrow -x\in Cx∈C⇒−x∈C

若θ\thetaθ为CCC的内点，则CCC必吸收，反之不一定成立。
若在吸收集的定义中将凸集的要求去掉，则即使CCC为吸收的，θ\thetaθ也不一定为CCC的内点，此时CCC不一定为凸集。例如令C:=B((0,0),1)∖{(x,x2):x∈R∖{0}}C:=B((0,0),1)\setminus\{(x,x^2):x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}C:=B((0,0),1)∖{(x,x2):x∈R∖{0}}，则CCC为“吸收集”。

设X\mathscr{X}X为有限维B∗B^*B∗空间，若C⊂XC\subset\mathscr{X}C⊂X为含有θ\thetaθ点的吸收凸集，则θ\thetaθ必为CCC的内点。

CCC是吸收凸集⇒\Rightarrow⇒ Minkowski泛函P(x)P(x)P(x)是实值函数(不是∞\infty∞)
CCC是对称凸集，必须P(x)P(x)P(x)是实齐次的，即P(αx)=∣α∣P(x)P(\alpha x)=|\alpha|P(x)P(αx)=∣α∣P(x)

均衡集: 复线性空间X\mathscr{X}X的一个子集CCC称为均衡的是指x∈C⇒αx∈C(∀α∈C,∣α∣=1)x\in C\Rightarrow\alpha x\in C\quad(\forall\alpha\in\mathbb{C},|\alpha|=1)x∈C⇒αx∈C(∀α∈C,∣α∣=1)

复线性空间X\mathscr{X}X上的任一个均衡吸收凸集CCC决定了这个空间上的一个半模。

设X\mathscr{X}X上的一个B∗B^*B∗空间，CCC是一个含有θ\thetaθ点的闭凸集。如果P(x)P(x)P(x)是CCC的Minkowski泛函，那么P(x)P(x)P(x)下半连续，且有C={x∈X∣P(x)⩽1}C=\{x\in\mathscr{X}|P(x)\leqslant1\}C={x∈X∣P(x)⩽1}。
此外，如果CCC还是有界的，此时不需要CCC闭，那么P(x)P(x)P(x)适合P(x)=0⇔x=θP(x)=0\Leftrightarrow x=\thetaP(x)=0⇔x=θ。又若CCC以θ\thetaθ为一内点，那么CCC还是吸收的，并且P(x)P(x)P(x)还是一致连续的。
注：称PPP为下半连续：若对∀a∈R\forall a\in\mathbb{R}∀a∈R，有{x∈X:P(x)⩽a}\{x\in\mathscr{X}:P(x)\leqslant a\}{x∈X:P(x)⩽a}为闭集。

内积空间

定义1.6.1 共轭双线性函数

(1) a(x,α1y1+α2y2)=αˉ1a(x,y1)+αˉ2a(x,y2)a(x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=\bar{\alpha}_1a(x,y_1)+\bar{\alpha}_2a(x,y_2)a(x,α1y1+α2y2)=αˉ1a(x,y1)+αˉ2a(x,y2)
(2) a(α1x1+α2x2,y)=α1a(x1,y)+α2a(x2,y)a(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2,y)=\alpha_1a(x_1,y)+\alpha_2a(x_2,y)a(α1x1+α2x2,y)=α1a(x1,y)+α2a(x2,y)

q(x):=a(x,x)q(x):=a(x,x)q(x):=a(x,x)为aaa诱导的二次型
q(x)∈R1⇔a(x,y)=a(y,x)‾q(x)\in\mathbb{R}^1\Leftrightarrow a(x,y)=\overline{a(y,x)}q(x)∈R1⇔a(x,y)=a(y,x)

定义1.6.3 内积

线性空间X\mathscr{X}X上的一个共轭双线性函数
(⋅,⋅):X×X→K(\cdot,\cdot):\mathscr{X}\times\mathscr{X}\to\mathbb{K}(⋅,⋅):X×X→K
称为是一个内积，若它满足：
(1) (x,y)=(y,x)‾(∀x,y∈X)(x,y)=\overline{(y,x)}\quad (\forall x,y\in\mathscr{X})(x,y)=(y,x)(∀x,y∈X)（共轭对称性）
(2) (x,x)⩾0(∀x∈X),(x,x)=0⇔x=θ(x,x)\geqslant0\quad(\forall x\in\mathscr{X}),(x,x)=0\Leftrightarrow x=\theta(x,x)⩾0(∀x∈X),(x,x)=0⇔x=θ（正定性）

例：
l2l^2l2空间是内积空间，(x,y)=∑i=1∞xiyˉi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^\infty x_i\bar{y}_i(x,y)=i=1∑∞xiyˉi
L2L^2L2空间是内积空间，(u,v)=∫Ωu(x)v(x)‾dx(u,v)=\int_\Omega u(x)\overline{v(x)}dx(u,v)=∫Ωu(x)v(x)dx

命题1.6.8 Cauchy-Schwarz不等式

设((X),(⋅,⋅))(\mathscr(X),(\cdot,\cdot))((X),(⋅,⋅))是内积空间，令∣∣x∣∣=(x,x)12(∀x∈X)||x||=(x,x)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall x\in\mathscr{X})∣∣x∣∣=(x,x)21(∀x∈X)，则有∣(x,y)∣⩽∣∣x∣∣∣∣y∣∣(∀x,y∈X)|(x,y)|\leqslant||x||||y||\quad(\forall x,y\in\mathscr{X})∣(x,y)∣⩽∣∣x∣∣∣∣y∣∣(∀x,y∈X)。等号成立当且仅当x,y线性相关。

由此可得内积是关于范数∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣的连续函数，内积空间(X,(⋅,⋅))(\mathscr{X},(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅))是严格凸的B∗B^*B∗空间

命题1.6.13 平行四边形法则

在B∗B^*B∗空间(X,∣∣⋅∣∣)(\mathscr{X},||\cdot||)(X,∣∣⋅∣∣)中引入一个内积(⋅,⋅)(\cdot,\cdot)(⋅,⋅)满足∣∣x∣∣=(x,x)12||x||=(x,x)^{\frac{1}{2}}∣∣x∣∣=(x,x)21，当且仅当范数∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣满足平行四边形等式∣∣x+y∣∣2+∣∣x−y∣∣2=2(∣∣x∣∣2+∣∣y∣∣2)(∀x,y∈X)||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)\quad(\forall x,y\in\mathscr{X})∣∣x+y∣∣2+∣∣x−y∣∣2=2(∣∣x∣∣2+∣∣y∣∣2)(∀x,y∈X)

定义1.6.14 Hilbert空间

完备的内积空间称为Hilbert空间

定义1.6.17 正交

两个元素正交：(x,y)=0(x,y)=0(x,y)=0，记为x⊥yx\perp yx⊥y
正交补：M⊥:={x∈X∣x⊥M}M^{\perp}:=\{x\in\mathscr{X}|x\perp M\}M⊥:={x∈X∣x⊥M}

(1) 若x⊥yi(i=1,2)x\perp y_i(i=1,2)x⊥yi(i=1,2)，则x⊥(λ1y1+λ2y2)x\perp(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2)x⊥(λ1y1+λ2y2)
(2) 若x=y+zx=y+zx=y+z，且y⊥zy\perp zy⊥z，则|∣x∣∣2=∣∣y∣∣2+∣∣z∣∣2|x||^2=||y||^2+||z||^2∣x∣∣2=∣∣y∣∣2+∣∣z∣∣2
(3) 若x⊥yn(n∈N)x\perp y_n(n\in\mathbb{N})x⊥yn(n∈N)，且yn→yy_n\to yyn→y，则x⊥yx\perp yx⊥y
(4) 若x⊥Mx\perp Mx⊥M，则x⊥span{M}x\perp span\{M\}x⊥span{M}
(5) M⊥M^\perpM⊥是X\mathscr{X}X的一个闭线性子空间
(6) M‾⊥=M⊥\overline{M}^\perp=M^\perpM⊥=M⊥

定义1.6.19 正交集

设X\mathscr{X}X是一个内积空间，集合S={eα∣α∈A}S=\{e_\alpha|\alpha\in A\}S={eα∣α∈A}是X\mathscr{X}X的一个子集，称SSS是正交集是指eα⊥eβ(∀α≠β,α,β∈A)e_\alpha\perp e_\beta\quad(\forall\alpha\neq\beta,\alpha,\beta\in A)eα⊥eβ(∀α=β,α,β∈A)若∣∣eα∣∣=1(∀α∈A)||e_\alpha||=1(\forall\alpha\in A)∣∣eα∣∣=1(∀α∈A)，则称SSS为正交规范集；如果S⊥={θ}S^\perp=\{\theta\}S⊥={θ}，那么称SSS完备。

若对∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X有x=∑α∈A(x,eα)eαx=\sum\limits_{\alpha\in A}(x,e_\alpha)e_\alphax=α∈A∑(x,eα)eα，则正交规范集S={eα∣α∈A}S=\{e_\alpha|\alpha\in A\}S={eα∣α∈A}称为一个基（或封闭的），其中{(x,eα)∣α∈A}\{(x,e_\alpha)|\alpha\in A\}{(x,eα)∣α∈A}称为xxx关于基{eα∣α∈A}\{e_\alpha|\alpha\in A\}{eα∣α∈A}的Fouier系数

非{θ}\{\theta\}{θ}内积空间X\mathscr{X}X中必存在完备正交集

定义1.6.23 Bessel不等式与Parseval等式

设X\mathscr{X}X是一个内积空间，集合S={eα∣α∈A}S=\{e_\alpha|\alpha\in A\}S={eα∣α∈A}是X\mathscr{X}X的正交规范集，那么∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X有
∑α∈A∣(x,eα)∣2⩽∣∣x∣∣2\sum\limits_{\alpha\in A}|(x,e_\alpha)|^2\leqslant||x||^2α∈A∑∣(x,eα)∣2⩽∣∣x∣∣2

推论1：设X\mathscr{X}X是一个内积空间，集合S={eα∣α∈A}S=\{e_\alpha|\alpha\in A\}S={eα∣α∈A}是X\mathscr{X}X的正交规范集，那么对∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X有∑α∈A(x,eα)eα∈X\sum\limits_{\alpha\in A}(x,e_\alpha)e_{\alpha}\in\mathscr{X}α∈A∑(x,eα)eα∈X且
∣∣x−∑α∈A(x,eα)eα∣∣2=∣∣x∣∣−∑α∈A∣(x,eα)∣2||x-\sum\limits_{\alpha\in A}(x,e_\alpha)e_\alpha||^2=||x||-\sum\limits_{\alpha\in A}|(x,e_\alpha)|^2∣∣x−α∈A∑(x,eα)eα∣∣2=∣∣x∣∣−α∈A∑∣(x,eα)∣2

推论2：设X\mathscr{X}X是一个内积空间，集合S={eα∣α∈A}S=\{e_\alpha|\alpha\in A\}S={eα∣α∈A}是X\mathscr{X}X的正交规范集，则下三条等价
(1) SSS是封闭的（任意xxx可展，SSS是正交规范基）
(2) SSS是完备的（S⊥={θ}S^\perp=\{\theta\}S⊥={θ}）
(3) Parseval等式成立，即∣∣x∣∣2=∑α∈A∣(x,eα)∣2(∀x∈X)||x||^2=\sum\limits_{\alpha\in A}|(x,e_\alpha)|^2\quad(\forall x\in\mathscr{X})∣∣x∣∣2=α∈A∑∣(x,eα)∣2(∀x∈X)

定义1.6.29 同构

设(X1,(⋅,⋅)1),(X2,(⋅,⋅)2)(\mathscr{X}_1,(\cdot,\cdot)_1),(\mathscr{X}_2,(\cdot,\cdot)_2)(X1,(⋅,⋅)1),(X2,(⋅,⋅)2)是两个内积空间，如果存在X1→X2\mathscr{X}_1\to\mathscr{X}_2X1→X2的一个线性同构TTT满足(Tx,Ty)2=(x,y)1(∀x,y∈X1)(Tx,Ty)_2=(x,y)_1\quad(\forall x,y\in\mathscr{X}_1)(Tx,Ty)2=(x,y)1(∀x,y∈X1)，则称内积空间X1\mathscr{X}_1X1与X2\mathscr{X}_2X2是同构的。

如果Hilbert空间X\mathscr{X}X可分，必须且仅须它有至多可数的正交规范基SSS。当SSS元素个数N<∞N<\inftyN<∞时，X\mathscr{X}X同构于KN\mathbb{K}^NKN；当N=∞N=\inftyN=∞时，X\mathscr{X}X同构于l2l^2l2

定义1.6.31 最佳逼近和正交分解

CCC是Hilbert空间的闭凸子集，则CCC上存在唯一元素x0x_0x0取到最小模。
于是对任意y∈X,∃!x0∈Cy\in\mathscr{X},\exists!x_0\in Cy∈X,∃!x0∈C,使得∣∣y−x0∣∣=inf⁡x∈C∣∣y−x∣∣||y-x_0||=\inf\limits_{x\in C}||y-x||∣∣y−x0∣∣=x∈Cinf∣∣y−x∣∣。

设CCC是内积空间X\mathscr{X}X中的一个闭凸子集，任意∀y∈X\forall y\in\mathscr{X}∀y∈X，为了x0x_0x0是yyy上的最佳逼近元，必须且仅须Re(y−x0,x0−x)⩾0(∀x∈C)Re(y-x_0,x_0-x)\geqslant0\quad(\forall x\in C)Re(y−x0,x0−x)⩾0(∀x∈C)

若MMM是Hilbert空间X\mathscr{X}X上的闭线性子流形，∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X，yyy是xxx在MMM上的最佳逼近元，必须且仅须满足(x−y)⊥(M−{y})(x-y)\perp(M-\{y\})(x−y)⊥(M−{y})；若MMM是闭线性子空间，则(x−y)⊥M(x-y)\perp M(x−y)⊥M，则∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X，存在着下面的唯一正交分解
x=y+z(y∈M,z∈M⊥)x=y+z\quad(y\in M, z\in M^\perp)x=y+z(y∈M,z∈M⊥)
称yyy是xxx在MMM上的正交投影。

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