度量空间

线性空间实例：向量空间$K^n$、p方可和数列空间$l^p$、p幂可积函数空间$L^p(E)$、连续函数空间$C[a,b]$、k阶连续导数函数空间$C^k[a,b]$、矩阵空间$M_{mn}$

度量空间=定义了距离的集合。

• Holder不等式$\Rightarrow$柯西不等式$\Rightarrow$向量空间的距离
• Minkowski不等式$\Rightarrow$p方可和数列空间的距离

拓扑性质

• 基于开球（邻域）定义：内点/开集、聚点/导集
• 任意多开集的并是开集、有限个开集的交也是开集、开集的余集是闭集

连续映射：开子集的原像也是开子集

• 稠密集：度量空间X中，$\bar{A}\supseteq B$，则A在B中稠密。B=X时，称A为X的稠密子集。
• 可分性：可数子集稠密$\Rightarrow$可数正交基
• 完备性：柯西序列收敛
• 紧集：任意序列包含收敛子列$\Rightarrow$闭集、有界、完备

赋范线性空间

范数，一个泛函：非负，三角不等式，比例

所有线性空间为凸集，Banach-schauder不动点定理

Shauder基(e)：$\forall x \exists a_i  \left \|  x-\sum_{i=1}^\infty a_ie_i\right \|=0 $

有限维赋范空间的完备性：每个分量构成一个柯西序列

内积空间

内积：非负、比例、共轭对称、共轭双线性函数

内积导出的范数，存在平行四边形公式

正交、正交补、正交和、正交投影、正交基、Gram-Schmit正交化

最佳逼近：$\exists y_0 = \arg \inf_{y\in M} \left \| x-y \right \|$

线性算子

同一数域上的两个线性空间之间的线性映射

有限维空间上的线性算子可用矩阵表示

有界：$\left \| Tx \right \|_Y \leqslant C\left \| x \right \|_X$，这里C为一常数

连续性$\Leftrightarrow$ 有界；一点连续，处处连续

线性算子空间B(X,Y)，如果Y完备，那么B(X,Y)也完备。

线性泛函

对偶空间：赋范空间X上的有界线性泛函构成赋范空间时，称为X的对偶空间；H空间自对偶。

Riesz定理：H空间

• 任意有界线性泛函可用内积表示$\forall f:H\rightarrow K\exists z\in H, \forall x f(x)=<x,z>,\left \| z \right \|=\left \| f \right \|$
• 任意有界双线性泛函$f(x,y)=<Sx,y>，S:H_1\rightarrow H_2\left \| S \right \|=\left \| f \right \|$

Hilbert空间的有界线性算子

伴随算子T*：对于算子T，<Tx,y>=<x,T*y>

• $Tx(t)=\int_a^bK(t,s)x(s)ds,x(s)\in L^2[a,b];T*y(t)=\int_a^b\overline{K(s,t)}y(s)ds$

自伴算子：T*=T

酉算子：T*=T^-1

正规算子：T*T=TT*

正算子：<Tx,x> >= 0

正定算子：<Tx,x> >= C|x|

投影算子：$\forall x\in H, x=Px+y\,where\,Px=x_0\in M, y\in M^\perp; H=P(H)\bigoplus N(P)$。投影算子必为自伴算子和正算子。自伴、幂等的有界线性算子为投影算子。

无界线性算子：其定义域不可能为全空间。其中一种为稠定线性算子$T:D(T)\rightarrow H\,where\,\overline{D(T)}=H$

泛函极值

在赋范空间X上，$x_*=\arg \min_{x\in D}f(x)\,where\,D\in X,f:X\rightarrow R$

Gateaux 微分：$\delta T(x,h)=\lim_{a\to 0}\frac{T(x+ah)-T(x)}{a}$

Frechet 微分：$\delta T(x)=\lim_{\left |h  \right |\to 0}\frac{T(x+h)-T(x)-dT(x+h)}{\left | h \right |}$

经典泛函极值：$J(x)=\int_{t_1}^{t_2}f(t,x,\dot{x})dt\Rightarrow \delta J(x)=\int_{t_1}^{t_2}(f_x-\frac{f}{dt}f_{\dot{x}})hdt+[f_{\dot{x}}h]_{t_1}^{t_2}=0$

• 欧拉-拉格朗日方程：$f_x(t,x,\dot{x})-\frac{d}{dt}f_{\dot{x}}(t,x,\dot{x})=0$

约束条件：$\varphi_i(x)=0$

正则点：$\varphi_i(x_0)=0,\varphi_i'(x_0)$是n个线性无关的有界线性泛函，则称$x_0$为约束条件的正则点。从而$\varphi_i'(x_0)h=0\Rightarrow f'(x_0)h=0$

拉格朗日乘子法：设$x_0$为约束条件的正则点，如果也是泛函f的极值点，则存在$\lambda_i$，使得泛函$L(x,\lambda)=f(x)+\sum_i^n\lambda_i\varphi_i(x_0)$以$x_0$为驻点。

线性算子方程

线性算子方程的解是线性算子的逆问题。谱论讨论逆算子的一般性质以及和原算子的关系。

• 如果λI-T存在有界逆算子，λ称为正则值。正则值的全体称为正则集$\rho(T)$
• 否则λ称为谱点，所有谱点称为T的谱$\sigma(T)$。这里$\rho(T)\bigcup\sigma(T)=C$
  • (λI-T)x=0有非零解，λ称为特征值；特征值的全体称为点谱$\sigma_p(T)$
  • (λI-T)x=0只有零解，其中如果(λI-T)在X中稠密，λ称为连续谱$\sigma_c(T)$，否则为剩余谱$\sigma_r(T)$

自伴算子的特征值为实数，特征向量相互正交

自伴二阶线性常微分算子：$L[?]=?_0 (?)y′′+?_1 (?)?′+?_2(?)?, <?[?],?> = <?,?[?]>\Rightarrow ?[?]=(??′ )′−??, [\bar{?}?′−\bar{?′}?]_a^b=0$

自伴二阶线性偏微分算子：$L[u]=\frac{\partial }{\partial x}(p\frac{\partial u}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(p\frac{\partial u}{\partial y})+qu,<L[u],v>=<u,L[v]>\Rightarrow [u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}]_\Sigma =0$

算子方程的近似计算

弗雷德霍姆积分方程：$y(s)=f(x)+\lambda\int_a^bK(s,t)y(t)dt,\int_a^b\int_a^b\left |  K(s,t)\right |^2dtds<+\infty$

• |λ|充分小时，根据压缩原理，$\left \| Tx-Ty \right \|^2=\lambda^2\int_a^b\int_a^b\left |  K(s,t)\right |^2dtds\left \| x-y \right \|^2<\left \| x-y \right \|^2$
• 由此可导出逐次逼近法

变分原理：把算子方程转换为泛函极值

• 设空间H中的自伴线性算子A，对于给定函数$f\in R(A), Au=f$为确定性算子方程，如A为正算子，则该方程与泛函$J[u]=<Au,u>-<u,f>-<f,u>$的极小值问题等价。
• 对于非自伴算子A，借助辅助方程A*v=g，可转化为二元泛函的极小值问题$J[u,v]=<Au,v>-<u,g>-<f,v>$
• 特征值问题Au=λBu，对应的泛函极值<Au,v>-λ<Bu,v>=0
• 瑞利-里茨法：采用满足边值条件的近似函数$u=\sum_ka_k\varphi_k\Rightarrow J[u]=\bar{a}Ba-2Re[\bar{a}g]\,where\,B=[<A\varphi_k,\varphi_l>],g=[<f,\varphi_k>]^T$
• 有限元：把计算区域用三角形覆盖，[K](u)=P。K为剖分所得矩阵，P为边界条件向量，u为n各单元顶点u值构成的向量。

加权余量法

$Au(x)=f(x),Bu(x_b)=g(x_b),x\in\Omega,x_b\in\partial \Omega$

$R_e(x)=Au^{(n)}(x)-f(x),R_b(x_b)=Bu^{(n)}(x_b)-g(x_b),<R_e,w_\mu>_\Omega+<R_b,Pw_\mu>_{\partial\Omega}=0$

• 矩量法：$R_b=0\Rightarrow <Au^{(n)},w_\mu>_\Omega=<f,w_\mu>_\Omega$
  • $u^{(n)}=\sum_kc_k\varphi_k$
  • 权函数选择：Galerkin $w=\varphi$、点配法$w_\mu(x)=\delta(x-x_\mu)$、子域法$w_\mu(x)=1\,if\,x\in\Omega_\mu$、最小二乘法
• 边界积分法：$R_e=0\Rightarrow <Bu^{(n)},Pw_\mu>_{\partial\Omega}=<g,Pw_\mu>_{\partial\Omega}$
  • 边界元：用满足内域条件的函数来逼近边界，对边界进行剖分，从而降低问题维度

广义函数

基本空间D(Ω)

• 定义在Rⁿ中开域Ω上无限次可微的函数全体$C^\infty(\Omega)$
• 设$\varphi(x)$为定义在Ω的函数，$\varphi(x)$的支集：$Supp\varphi(x)=\overline{\{x|x\in\Omega,\varphi(x)\neq 0\}}$
• 具有紧支集的$C^\infty(\Omega)$中函数集合$C_0^\infty(\Omega)$
• 收敛性：$\varphi_n$定义在紧支集 K 上，$\lim_{j\to 0}\forall a \max_{a\in K}(\partial^\alpha \varphi_j(x)-\partial^\alpha \varphi(x))\to 0$

广义函数：在基本空间D(Ω)上的连续线性泛函f。f的全体记为D'(Ω)。注意和基本空间一样，不是赋范线性空间。

• 连续性：$\varphi_n$收敛$\Rightarrow<f,\varphi_n>$收敛
• $\delta_a$函数：$\delta_a(\varphi)=<\delta_a,\varphi>=\varphi(a)$
• 导数：$<\partial f/\partial x,\varphi>=<f,\partial\varphi/\partial x>$，并且求导计算保持收敛性。
• 乘法：$<tf,\varphi>=<f,t\varphi>$
• 卷积：$<S*T,\varphi>=<S(x), <T(y), \varphi(x+y)>>$
• 平移：$<t_hf,\varphi>=<f,t_{-h}\varphi>$
• 存在性：每个局部可积函数都可定义一个广义函数$\forall f\in L(\Omega),\exists T_f, \forall \varphi\in C_0^\infty(\Omega),T_f(\varphi)=<f,\varphi>=\int_\Omega f(x)\varphi(x)dx$

傅里叶变换

• 速降函数：$\forall a\forall m\exists C_{am},|\partial ^a\varphi (x)|\leqslant \frac{C_{am}}{(1+|x|^2)^m}$
• 速降函数空间$S(R^n)\supset D(R^n)$
• $\varphi\in S(R^n)\Rightarrow F(\varphi), F^{-1}\in S(R^n)$
• $S(R^n)$连续泛函的全体称为缓增广义函数空间$S'(R^n)$
• $<F[T],\varphi>=<T,F[\varphi]>, \forall \varphi\in S(R^n) \forall T\in S'(R^n)$

Sobolev空间：巴拿赫空间

• 函数集合$W^{m,p}(\Omega)=\{u\in L^p(\Omega)|\partial^au\in L^p(\Omega),|a|\leqslant m\}$
• 范数：$\left \| u \right \|_{m,p}=(\int_\Omega\sum_{|a|\leqslant m}|\partial^audx|^p)^{1/p}$
• $W^{0,p}(\Omega)=L^p(\Omega),H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega)$

小波变换

窗口傅里叶变换：构造了可以平移的窗口，频域和时域窗口不能同时达到最小值

• $G_f(\omega,\tau)=\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t-\tau)e^{-j\omega t}dt$

选择平方可积，平均值为零的函数$\psi(t)$来构造可平移、可伸缩的基本小波：$\psi_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt a}\psi(\frac{t-b}{a})$

定义连续小波变换为$W_f(a,b)=\frac{1}{\sqrt a}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\Psi(\frac{t-b}{a})dt$

逆变换为：$f(t)=\frac{1}{c_\psi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{a^2}W_f(a,b)\Psi_{a,b}(t)dadb$

连续小波对a,b具有共变性

• $f(t-b_0)\leftrightarrow W_f(a,b-b_0)$
• $f(a_0t)\leftrightarrow \frac{1}{\sqrt a_0}W_f(a_0a,a_0b)$

参考文献

• 王长清，近代应用解析数学基础，西安电子科技大学出版社，2001
• 张恭庆、韩源渠，泛函分析讲义，北京大学出版社，2008