泛函分析讲义I-起源与发展

1. 泛函分析的起源与发展
- 1.1 泛函概念的提出（变分法）
- 1.2 Frechet的抽象公理化（度量空间）
- 1.3 积分方程与泛函分析
- 1.4 巴拿赫的开创：巴拿赫空间

泛函分析的三大空间：度量空间、线性赋范空间和Hilbert空间

Banach空间上的有界线性算子：有界线性算子、Riesz定理和共轭空间.弱收敛.自反空间（见本文2.3）

泛函分析的三大定理：开映射和闭图像定理、共鸣定理和Hahn-Banach定理（见本文2.4）

1. 泛函分析的起源与发展

泛函分析是数学发展中“公理化”的一个结果，例如早期默认“函数”考虑的具体取值而不是现在的把函数看成一个集合映射到另外一个集合的映射，这样很难理解“函数的函数”。

1.1 泛函概念的提出（变分法）

19世纪80年代到20世纪20年代是泛函分析的萌芽时期。它开始于意大利数学家沃泰拉 (v.volterra, 1860-1940 )和契莱尔1887年关于变分法的工作.

一个最优化问题：对于一条曲线 y = f ( x ) , f ( a ) = 0 , f ( b ) = 1 y=f(x), f(a)=0, f(b)=1 y=f(x),f(a)=0,f(b)=1, 计算 f f f 绕着x轴围成的物体的表面积, 表达式为
A ( f ) = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x 。 A(f)=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}} d x \text { 。 } A(f)=2π∫abf(x)1+f′(x)2 dx 。
想要找到使得这个曲面最小的函数，即输入一个函数，得到一个值（函数的函数）。

注释：还有等周问题（给定周长，求围成面积最大的曲线）。最优化知识具体参见【算法实践】的【优化理论】专栏

求解方法：按照求函数极值的一般套路是求导并令其等于0，因此这里需要 “函数的函数”的微分（变分法）。

在这个问题的研究上，volterra引进了原始泛函以及线性算子的概念，之后的数学家发展出泛函演算的概念。

volterra给出线函数的定义，指一个实值函数 F ( y ) \mathrm{F}(y) F(y), 它的值取决于定义在某个区间 [ a , b ] [\mathrm{a}, \mathrm{b}] [a,b] 上的函数 y ( x ) \mathrm{y}(\mathrm{x}) y(x) 的全体函数值.这些数本身被看作一个空间的点, 而对于这个空间, 可以定义点的邻域和点列的极限.
意大利学家 c.阿泽拉又对线函数进行系统研究, 给出线性空间概念。
法国学家发展了泛函演算, 特别是J.Hadmard（1865-1963）1897年为了研究偏微分方程而考虑了区间 [ 0 , 1 ] [0 , 1] [0,1]上全体连续函数所构成的族, 这构成无穷维线性空间，定义这个空间的函数为泛函。

1.2 Frechet的抽象公理化（度量空间）

函数的集合：G. Ascoli和C. Arzela在研究连续函数列一致收敛的条件时（一致收敛连续函数列 { f n ( x ) } \left\{f_{n}(x)\right\} {fn(x)}积分和极限可交换）, 研究了“函数的集合"（之前康托研究数的集合）。

由于无限维空间没有坐标，限制了对泛函求导。例如，定义微分需要坐标的概念，希尔伯特用一串无限的数列（广义的傅立叶系数）来替换函数，然后他去处理那些数列而不是函数本身。

1906年，J.Hadmard的学生，法国数学家弗雷歇（M.Frechet，1878—1973）考虑不使用坐标去定义微分。弗雷歇利用当时的集合论观念，将康托尔（cantor，1845一1918）、volterra、Arzela、J.Hadmard等的具体结果以抽象的术语统一起来，建立函数空间和泛函的抽象理论。

弗雷歇用抽象形式归纳统一了前人结果的共同点并加以推广：

（1）把函数或曲线看成一个集合或空间中的点，它们被看作一个抽象集合
（2）函数的极限可看作空间中点列的极限有极限概念的集合称为L空间，这是后来拓扑空间的萌芽
（3）集合上可定义实函数即泛函.由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性
（4）泛函可以进行代数和分析运算，这就成为名副其实的泛函分析了。

弗雷歇1906年还在抽象的空间中引进“距离”的观念，定义了度量空间：函数的集合，其中任何两个函数之间都可以定义“距离”，使得集合中元素间可相互比较。(这里的距离和现在说的距离还是有些不一样)，使之具有欧式空间距离的性质。

度量空间：设有集合 X X X, 且存在映射 ρ : X × X → [ 0 , + ∞ ) \rho: X \times X \rightarrow[0,+\infty) ρ:X×X→[0,+∞), 使得对任意的 x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X 都有:

非负性: ρ ( x , y ) ≥ 0 , ρ ( x , y ) = 0 ⟺ x = y \rho(x, y) \geq 0, \rho(x, y)=0 \Longleftrightarrow x=y ρ(x,y)≥0,ρ(x,y)=0⟺x=y;

对称性: ρ ( x , y ) = ρ ( y , x ) \rho(x, y)=\rho(y, x) ρ(x,y)=ρ(y,x);

三角不等式: ρ ( x , y ) ≤ ρ ( x , z ) + ρ ( z , y ) , ∀ z ∈ X \rho(x, y) \leq \rho(x, z)+\rho(z, y), \forall z \in X ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y),∀z∈X

映射 ρ ( ⋅ ) \rho(\cdot) ρ(⋅) 称为集合 X X X 上的一个度量, 称 ( X , ρ ) (X, \rho) (X,ρ) 为度量空间. 度量函数 ρ \rho ρ 有时也用 d ( ⋅ ) d(\cdot) d(⋅) 表示.

1.3 积分方程与泛函分析

变分法领域里所需泛函的性质相当特殊，对一般的泛函并不成立。此外，这些泛函的非线性造成了许多困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的。因此泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论。

step1:弗雷德霍姆在积分方程上的研究，使得希尔伯特（D.Hilbert，1862-1943）以积分方程为源头开始了在泛函分析上的多种研究。希尔伯特彻底改造了弗雷德霍姆的理论，其意义远远超出了积分方程论本身.

希尔伯特研究了无限维的双线性形式:
K ( x , y ) = ∑ i , j = 1 ∞ k i , j x i y j K(x, y)=\sum_{i, j=1}^{\infty} k_{i, j} x_{i} y_{j} K(x,y)=i,j=1∑∞ki,jxiyj
其中， ∑ j = 1 ∞ ∣ x j ∣ 2 , ∑ j = 1 ∞ ∣ y j ∣ 2 < ∞ \sum_{j=1}^{\infty}\left|x_{j}\right|^{2}, \sum_{j=1}^{\infty}\left|y_{j}\right|^{2}<\infty ∑j=1∞∣xj∣2,∑j=1∞∣yj∣2<∞。
希尔伯特意识到它与这类形式连续形态 ∫ a b x ( s ) y ( s ) d s \int_{a}^{b} x(s) y(s) d s ∫abx(s)y(s)ds的联系，即“无限的列" 可以描述一大类函数。

希尔伯特关于积分方程的一般理论同时渗透到微分方程、解析函数、调和分析和群论等研究中，有力的推动了这些领域的发展.
希尔伯特关于积分方程的成果还在现代物理中获得了意想不到的应用。希尔伯特在讨论特征值问题时曾创造了“谱” （spectrum）这个术语，他将谱分析理论从全连续二次型推广至有界二次型时发现了连续谱的存在。到20年代，当量子力学蓬勃兴起之时，物理学家们发现希尔伯特的谱分析理论原来是量子力学的非常合适的数学工具。

step2: 希尔伯特的学生、德国哥廷根学派的E.施密特（Erhard schmidt，1876-1959）迈出的，他引入实的和复的希尔伯特的几何观念，把函数看成是平方和序列的空间（抽象的 1 2 1^2 12空间）的点，并导出正交系，建立了所谓希尔伯特空间。

ℓ 2 \ell^{2} ℓ2 的空间理论: Schmidt给出所有满足 ∑ j = 1 ∞ ∣ x j ∣ 2 < + ∞ \sum_{j=1}^{\infty}\left|x_{j}\right|^{2}<+\infty ∑j=1∞∣xj∣2<+∞数列的集合，然后定义了 “内积”：
( x , y ) = ∑ j = 1 ∞ x j y j ‾ (x, y)=\sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \overline{y_{j}} (x,y)=j=1∑∞xjyj
这使得 ℓ 2 \ell^{2} ℓ2 任意两个元素可比较(和有限维的很多性质是一样的)，特别的，可以定义范数: ∥ x ∥ = ( x , x ) = ∑ j = 1 ∞ ∣ x j ∣ 2 \|x\|=\sqrt{(x, x)}=\sqrt{\sum_{j=1}^{\infty}\left|x_{j}\right|^{2}} ∥x∥=(x,x) =∑j=1∞∣xj∣2 ，而且三角不等式成立。

L 2 L^{2} L2的空间理论：Schmidt和Frechet给出所有满足 ∫ a b ∣ f ∣ 2 d x < ∞ \int_{a}^{b}|f|^{2} d x<\infty ∫ab∣f∣2dx<∞Lebesuge可测函数构成的空间，定义内积:
( f , g ) = ∫ a b f g d x (f, g)=\int_{a}^{b} f g d x (f,g)=∫abfgdx
从而也可以定义范数： ∥ f ∥ = ( f , f ) = ∫ a b ∣ f ∣ 2 d s \|f\|=\sqrt{(f, f)}=\sqrt{\int_{a}^{b}|f|^{2} d s} ∥f∥=(f,f) =∫ab∣f∣2ds 。

内积空间: 设 H \mathcal{H} H是实数域或复数域上的一个向量空间, g \mathrm{g} g 为
H \mathcal{H} H 上的二元函数, 若 ∀ ξ , η ∈ H \forall \xi, \eta \in \mathcal{H} ∀ξ,η∈H, 有 g ( ξ , η ) ∈ K g(\xi, \eta) \in \mathcal{K} g(ξ,η)∈K与之对应, 且满足下列条件:

g ( ξ , η ) = g ( η , ξ ) g(\xi, \eta)=g(\eta, \xi) g(ξ,η)=g(η,ξ)

g ( ξ + η , ζ ) = g ( ξ , ζ ) + g ( η , ζ ) g(\xi+\eta, \zeta)=g(\xi, \zeta)+g(\eta, \zeta) g(ξ+η,ζ)=g(ξ,ζ)+g(η,ζ)

g ( a ξ , η ) = a g ( ξ , η ) g(a \xi, \eta)=a g(\xi, \eta) g(aξ,η)=ag(ξ,η)

当 ξ ≠ 0 \xi \neq 0 ξ=0 时, g ( ξ , ξ ) > 0 g(\xi, \xi)>0 g(ξ,ξ)>0\

其中, ζ ∈ H , a ∈ K \zeta \in \mathcal{H}, a \in \mathcal{K} ζ∈H,a∈K, 则称V为 (对于 g g g 的) 内积空间, 或准希尔伯特空间。
内积空间 H \mathcal{H} H, 如果其中的每一个柯西序列都收敛于 H \mathcal{H} H, 称 H \mathcal{H} H 为完备的内积空间, 又称为希尔伯特空间。

step3: 匈牙利数学家F黎斯等借完备标准正交系确立了勒贝格平方可积函数空间与平方可和数列空间之间的一一对应关系（同构，只是同一种抽象希尔伯特空间的两种具体表现），制定了抽象希尔伯特空间理论，从而使积分方程理论成为现代泛函分析的主要来源之一。

两个空间元素一一对应: 如果一个 ( φ n ) \left(\varphi_{n}\right) (φn) 是一列 “足够多" 的单位正交列 ( \left(\right. ( 即 ( φ i , φ j ) = δ i j ) \left.\left(\varphi_{i}, \varphi_{j}\right)=\delta_{i j}\right) (φi,φj)=δij) 而 ( a n ) \left(a_{n}\right) (an) 是一个任意数列:
那么 ∑ n = 1 ∞ a n 2 < ∞ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}<\infty ∑n=1∞an2<∞ 成立的充分条件是存在 f ∈ L 2 f \in L^{2} f∈L2 使得 ∫ a b f ( s ) φ n ( x ) d x = a n \int_{a}^{b} f(s) \varphi_{n}(x) d x=a_{n} ∫abf(s)φn(x)dx=an 成立。

黎斯1910年发表于《数学年刊》上的论文是泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好开端：研究积分方程仿照 L 2 L^2 L2空间导出 L p L^p Lp空间，也就是p次方可积函数全体构成的空间，后又研究 l 1 l^1 l1空间, 他发现了 L p L^p Lp上连续线性函数全体构成一个“对偶的”空间 L q L^q Lq，且 p 十 q = 1 p十q=1 p十q=1。（ L p L^p Lp不是希尔伯特空间，但定义了范数。这个时候，黎斯开始了应用范数概念作为研究抽象空间的另一种方法）。

1.4 巴拿赫的开创：巴拿赫空间

巴拿赫系统的发展了Frechet的思想，提出了“赋范线性空间”这个概念并且研究了上面的一些非常重要的算子性质（泛函分析的三大定理：开映射和闭图像定理、共鸣定理和Hahn-Banach定理），其中包含了泛函的一个基调：研究空间之间的映射，也就是所谓的“函数的函数”。

赋范线性空间：带有一个“范数”的线性空间（ l 2 , L 2 l^2,L^{2} l2,L2空间的性质）

赋范线性空间设 X X X为数域 K \mathbb{K} K上的线性空间, 存在映射 T : X → R , x ↦ ∥ x ∥ T: X \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\|x\| T:X→R,x↦∥x∥, 满足:

∥ x ∥ ≥ 0 \|x\| \geq 0 ∥x∥≥0, 且 ∥ x ∥ = 0 ⇔ x = 0 \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0 ∥x∥=0⇔x=0;

∥ x ∥ + ∥ y ∥ ≥ ∥ x + y ∥ , x , y ∈ X \|x\|+\|y\| \geq\|x+y\|, x, y \in X ∥x∥+∥y∥≥∥x+y∥,x,y∈X;

∥ α x ∥ = ∣ α ∣ ∥ x ∥ \|\alpha x\|=|\alpha|\|x\| ∥αx∥=∣α∣∥x∥ (绝对齐次性).

则称 X X X 为赋范线性空间. 完备的赋范线性空间称为Banach空间.

可以不依赖 “坐标” 定义连续，导数（可以在无穷维空间研究微积分）

连续：一个函数 F : X → X F: X \rightarrow X F:X→X 如果满足对于任意 lim ⁡ n → ∞ ∥ x n − x ∥ = 0 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}-x\right\|=0 limn→∞∥xn−x∥=0 的数列， lim ⁡ n → ∞ ∥ F ( x n ) − F ( x ) ∥ = 0 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|F\left(x_{n}\right)-F(x)\right\|=0 limn→∞∥F(xn)−F(x)∥=0 成立，称这个函数是连续的。如果函数 F : X → R F: X \rightarrow \mathbb{R} F:X→R 是映到实数，等价于 lim ⁡ n → ∞ F ( x n ) = F ( x ) \lim _{n \rightarrow \infty} F\left(x_{n}\right)=F(x) limn→∞F(xn)=F(x)。
F F F 的导数 F ′ ( u ) F^{\prime}(u) F′(u)：称函数一个函数 F : X → X F: X \rightarrow X F:X→X 在某一点
u u u 可导当且仅当存在一函数 A ∈ L ( X ) A \in L(X) A∈L(X) 使得
∥ F ( u + h ) − F ( u ) − A h ∥ = o ( ∥ h ∥ ) 。 \|F(u+h)-F(u)-A h\|=o(\|h\|) 。 ∥F(u+h)−F(u)−Ah∥=o(∥h∥)。
G G G 导数（方向导数）：设 h ∈ X h \in X h∈X, 称 d F ( u , h ) d F(u, h) dF(u,h) 为 F F F 在点 x 0 x_{0} x0 方向 h h h 上的 ( G ) (\mathrm{G}) (G) 导数如果
∥ F ( u + t h ) − F ( u ) − t d F ( u , h ) ∥ = o ( t ) \|F(u+t h)-F(u)-t d F(u, h)\|=o(t) ∥F(u+th)−F(u)−tdF(u,h)∥=o(t)

参考文献：

A Brief History of Functional Analysis, https://courses.mai.liu.se/GU/TATM85/FA-history.pdf
《泛函分析（原书第2版》,（美）沃尔特·鲁丁（Walter Rudin）
泛函分析简史（3）：继承者们！ https://zhuanlan.zhihu.com/p/26112911?group_id=831227740945543168
泛函分析讲义，张恭庆
泛函分析发展史 https://www.doc88.com/p-3784256003344.html