Part 12(1) 广义积分(无穷积分和瑕积分)
广义积分和含参积分
- 将黎曼积分的积分区间从闭区间转为无穷,则成为无穷积分。
- 如果在积分区间上,存在值为无穷的情况,则成为瑕积分。
两类积分合称广义积分。
一般的想法是,将广义积分转化称一次定积分+一次极限。
- 无穷积分对应使用无穷极限
- 瑕积分对应使用点极限
Contents
- 广义积分和含参积分
- 1. 概念
- 1.1. 无穷积分
- 1.1.1. 正无穷的积分
- 1.1.2. 正负无穷
- 1.2. 瑕积分
- 2. 广义积分的主要理论结果
- 2.1. 无穷积分的性质
- 2.1.1. 线性性质
- 2.1.2. 有限端族的积分同敛散
- 2.2. 无穷积分的审敛法
- 2.2.1. 比较判别法
- 2.2.2. 比较判别的极限形式
- 2.2.3. Dirichlet判别法
- 2.2.4. Abel判别法
- 2.3. 常用
- 2.4. 瑕积分的审敛法
- 2.4.1. 步骤
- 2.4.2. 比较判别法
- 2.4.3. 比较判别法的极限形式
1. 概念
1.1. 无穷积分
1.1.1. 正无穷的积分
设函数f(x)f(x)f(x)在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上有定义,对于任何A>a,f(x)A>a,f(x)A>a,f(x)在[a,A][a,A][a,A]上黎曼可积,若
limA→+∞∫aAf(x)dx=M\lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)\,\mathrm dx=M A→+∞lim∫aAf(x)dx=M
则称MMM为f(x)f(x)f(x)在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上的无穷积分。记
limA→+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx\lim\limits_{A\to+\infty}f(x)\,\mathrm dx=\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx A→+∞limf(x)dx=∫a+∞f(x)dx
称∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx∫a+∞f(x)dx收敛,否则为发散。
类似的可以写出负无穷的情况(略去)
1.1.2. 正负无穷
同样也可以研究R\mathbb{R}R的情况。
函数f(x)f(x)f(x)定义在(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞)上,任意实数aaa,都有
∫a+∞f(x)dx,∫−∞af(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx, \int_{-\infty}^af(x)\,\mathrm dx ∫a+∞f(x)dx,∫−∞af(x)dx
收敛,则称f(x)f(x)f(x)在(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞)上的积分收敛。若存在一个aaa,使得两个积分其一不存在,则称原积分发散。
这提供了一个判别发散的好思路。
利用极限的语言,也可以写作:
limA→+∞B→−∞∫ABf(x)dx\lim\limits_{{A\to+\infty}\atop{B\to-\infty}}\int_A^Bf(x)\,\mathrm dx B→−∞A→+∞lim∫ABf(x)dx
其中A,BA,BA,B相互独立。
1.2. 瑕积分
瑕点就是积分区间上或边界处值无界的点。一般情况,若x=a,bx=a,bx=a,b均为瑕点,那么
limε→0+δ→0+∫a+εb−δf(x)dx\lim\limits_{\varepsilon\to0+\atop{\delta\to0+}}\int_{a+\varepsilon}^{b-\delta}f(x)\,\mathrm dx δ→0+ε→0+lim∫a+εb−δf(x)dx
就是一个瑕积分。若这个重极限收敛,则称瑕积分收敛。
2. 广义积分的主要理论结果
2.1. 无穷积分的性质
2.1.1. 线性性质
如果f1(x),f2(x)f_1(x),f_2(x)f1(x),f2(x)在(a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞)上都收敛,那么
∫a+∞[k1f1(x)+k2(x)f2(x)]dx=k1∫a+∞f1(x)dx+k2∫a+∞f2(x)dx\int_a^{+\infty}[k_1f_1(x)+k_2(x)f_2(x)]\,\mathrm dx=k_1\int_a^{+\infty}f_1(x)\,\mathrm dx+k_2\int_a^{+\infty}f_2(x)\,\mathrm dx ∫a+∞[k1f1(x)+k2(x)f2(x)]dx=k1∫a+∞f1(x)dx+k2∫a+∞f2(x)dx
这里给出了判定发散的一种通用方法,即
发散+收敛=发散发散+收敛=发散 发散+收敛=发散
这和极限相加中得到的结论是一致的。
2.1.2. 有限端族的积分同敛散
∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm d x∫a+∞f(x)dx与∫b+∞f(x)dx\int_b^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx∫b+∞f(x)dx有限端都是下限,若函数f(x)f(x)f(x)在任何有限区间[a,u][a,u][a,u]上可积,则称它们为同一有限端的积分族。
∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx ∫a+∞f(x)dx
与
∫b+∞f(x)dx\int_b^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx ∫b+∞f(x)dx
同敛散。
2.2. 无穷积分的审敛法
类比无穷级数中的相关知识,我们都只是简单给出定理叙述。
首先给出一个引理:非负可积函数的无穷积分收敛的充要条件是其有界。(单调收敛定理)
这个定理的逆定理可以用来判别发散。
还有如下四个判定定理。
2.2.1. 比较判别法
∃A>0\exist A>0∃A>0,当x>Ax>Ax>A时,0≤f(x)≤K(x)0\leq f(x)\leq K(x)0≤f(x)≤K(x)
则:
∫a∞K(x)dx\int_a^\infty K(x)\,\mathrm dx∫a∞K(x)dx
是
∫0∞f(x)dx\int_0^\infty f(x)\,\mathrm dx ∫0∞f(x)dx
的充分非必要条件。
2.2.2. 比较判别的极限形式
类比无穷级数,定义极限形式。
若
limx→+∞f(x)K(x)=k∈(0,+∞)\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{K(x)}=k\in(0,+\infty) x→+∞limK(x)f(x)=k∈(0,+∞)
则两个无穷积分同敛散
证明方法是利用同阶无穷小的概念。
2.2.3. Dirichlet判别法
∫a+∞f(x)g(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\,\mathrm dx ∫a+∞f(x)g(x)dx
积分∫aAf(x)dx\int_a^Af(x)\,\mathrm dx∫aAf(x)dx有界,又g(x)g(x)g(x)单调趋于零。
2.2.4. Abel判别法
∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx∫a+∞f(x)dx收敛。且g(x)g(x)g(x)单调有界。
2.3. 常用
将三角函数分成(n,(n+1)π)(n,(n+1)\pi)(n,(n+1)π)的一系列求和。然后对非三角函数部分进行放缩,得到常数*三角的积分函数。
2.4. 瑕积分的审敛法
2.4.1. 步骤
- step1:寻找瑕点
- step2:在瑕点处,利用比较法,将易解的函数替代原函数,求得结果
2.4.2. 比较判别法
常用的中介积分是:
∫abdx(x−a)p,∫abdx(x−b)q\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(x-a)^p},\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(x-b)^q} ∫ab(x−a)pdx,∫ab(x−b)qdx
比较法将不容易求解的函数通过放缩转化为易解的函数。
注意瑕积分中的这个收敛区间和ppp级数、无穷积分正相反。小于1为收敛。
我们更多地使用
2.4.3. 比较判别法的极限形式
x∈(a,b],∀[c,d]⊂(a,b]x\in(a,b],\forall[c,d]\subset(a,b]x∈(a,b],∀[c,d]⊂(a,b]
limx→a+f(x)g(x)=l∈(0,+∞)\lim\limits_{x\to a+}\frac{f(x)}{g(x)}=l\in(0,+\infty) x→a+limg(x)f(x)=l∈(0,+∞)
则同敛散。
这个极限形式,将瑕积分的审敛问题转化为一个求函数与幂函数的分式结构的瑕点处极限的问题。
注意求解过程中洛必达法则的应用。
瑕积分时常出现的是分母为0的结构,这种结构不容易消除,即便换元仍然很难满足我们的需要。所以00\frac{0}{0}00型的洛必达又派上了用场。
想要看出这个比较极限并不容易,我们的解法是先使用变量代换。从正向解决之后,再反代回来。这是解决极限问题的常用想法。
科学哲学卡片 以正向代反向
常用的比较结构
1x12+14\frac{1}{x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}} x21+411
∫01lnx\int_0^1\ln x ∫01lnx
Part 12(1) 广义积分(无穷积分和瑕积分)相关推荐
- Part 12(2) 含参广义积分(含参无穷积分和瑕积分)
含参积分是一类包含积分结构的函数,但积分变量不是函数自变量 文章目录 3. 含参变量广义积分 3.1. 含参积分相关理论 3.1.1. 含参积分常义积分的定义 3.1.2. 含参常义积分的分析性质 3 ...
- 定积分求解(1)cos(bx)*e^(-x^2)在负无穷到正无穷的积分
c o s b x ⋅ e − x 2 cosbx \cdot e^{-x^2} cosbx⋅e−x2 在负无穷到正无穷的积分 ∫ − ∞ ∞ c o s b x ⋅ e − x 2 d x \int ...
- (1-cosx)/(x^2)从负无穷到正无穷的积分怎么求?
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> (1-cosx)/(x^2)从负无穷到正无穷的积分怎么求? 这道题需要先进行简单地变形,然后利用帕塞瓦尔定理,再计算结果. 1 ...
- 在matlab中积分怎样表示,Matlab在积分中的应用.ppt
Matlab在积分中的应用 Matlab在微积分中的应用 高等数学最基本的概念集中在极限.导数.积分.微分等几个部分,本章主要介绍Matlab在这几方面的应用 一.极限.导数与微分 1.极限 limi ...
- 瑕积分的收敛判别和性质
文章目录 收敛充要条件 非负函数瑕积分收敛判别 定理11.6(比较原则) 推论1(与无穷同) 若选用的比较对象是$\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^p}\Rightarrow$柯西判别法 ...
- 数学笔记29——反常积分和瑕积分
我们已经学习了有限区间上的积分,但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况仍无法理解.这就需要无穷积分和瑕积分来处理了,它们看起来十分有趣. 增长和衰减速率 通过上一章的内容,我们已经可以做出一些总结,在洛 ...
- 单变量微积分笔记29——反常积分和瑕积分
我们已经学习了有限区间上的积分,但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况仍无法理解.这就需要无穷积分和瑕积分来处理了,它们看起来十分有趣. 增长和衰减速率 通过上一章的内容,我们已经可以做出一些总结,在洛 ...
- php积分获取上限,蚂蚁会员积分获取上限是多少?有哪些获取方法?
今天是2017年的最后一天了,您获得了多少蚂蚁积分呢?不怎么玩支付宝的朋友可能不知道蚂蚁会员积分有什么用,它可以用来兑换代金券.流量券等,用处还是挺大的.所以,很多朋友都想要获得更多的积分,不过,获取 ...
- VIO-SLAM中的欧拉积分、中点积分与龙格-库塔积分
在 SLAM 系统中经常用到各种不同的数值积分方法,工程上最常见的有三种:欧拉积分(Euler method).中点积分(Midpoint method)和龙格-库塔法积分(Runge–Kutta m ...
最新文章
- iOS 2D绘图详解(Quartz 2D)之概述
- 用 GDI 操作 EMF 文件[8]: 绘制图元文件时改变画笔与画刷
- 查看Linux软件信息
- 口的内存映射 stm32f7_STM32F7高速缓存
- 06-CoreData增删改查
- Shiro 身份验证
- 基于JAVA+SpringBoot+Mybatis+MYSQL的校园招聘管理系统
- gradle拷贝静态资源文件_Gradle复制文件/目录方法
- BIO、NIO、AIO入门认识
- redis list设置过期时间_面试官:你在Redis中设置过带过期时间的Key吗?
- UI_DEV_Environment 之 StoryBook
- Python编写:好友管理系统
- Python实现BT种子转化为磁力链接
- 【合同】产品设计:ID与MD设计合同模板
- 摸鱼刷题||听说打工和摸鱼更配
- 百度地图小区边界爬取
- 微信分享链接网页下载的无法打开解决方案,微信跳转外部浏览器
- UVM 中的消息机制
- 系统监控必备工具procmon
- 百度推广——搜索营销新视角(百度官方出品,俞敏洪、吴晓波、徐雷力荐!)
热门文章
- Java基础之for循环遍历数组
- 有什么计算机可以拆分数字,汇总:WPS表技能-在单元格中拆分文本和数字
- layer单页弹框去掉滚动条
- php gmtime,gmtime_s - [ C语言中文开发手册 ] - 在线原生手册 - php中文网
- 代码篇——DataGrid
- 小程序中图片宽度实现100%,高度自适应
- 怎么在小红书上高效推广?怎么引流到微信呢?
- linux英伟达显卡内核不匹配,Linux 5.11内核将支持英伟达RTX 30系显卡
- Ubuntu 安装MongoDB以及远程访问
- 新个税扣缴细则明确:工资薪金所得适用累计预扣法