c o s b x ⋅ e − x 2 cosbx \cdot e^{-x^2} cosbx⋅e−x2 在负无穷到正无穷的积分

∫ − ∞ ∞ c o s b x ⋅ e − x 2 d x \int_{-\infty}^{\infty} cosbx \cdot e^{-x^2}dx\, ∫−∞∞cosbx⋅e−x2dx

利用该结果可计算下式的傅里叶逆变换
F ( w ) = e − a 2 w 2 t F(w)=e^{-a^2w^2t}\, F(w)=e−a2w2t
其傅里叶逆变换为
1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ e j w x d w \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot e^{jwx} dw\, 2π1∫−∞∞e−a2w2t⋅ejwxdw
由于
e j w x = c o s ( w x ) + j s i n ( w x ) e^{jwx}=cos(wx)+jsin(wx) ejwx=cos(wx)+jsin(wx)
且下面积分
∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ j s i n ( w x ) ) d w \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot jsin(wx)) dw\, ∫−∞∞e−a2w2t⋅jsin(wx))dw
的被积函数为奇函数，故积分为0
所以，原积分可等价为
1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ c o s ( w x ) ) d w \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot cos(wx)) dw\, 2π1∫−∞∞e−a2w2t⋅cos(wx))dw
做变换，令
r 2 = a 2 t w 2 r^2=a^2tw^2 r2=a2tw2
则有
d r = a 2 t d w dr=\sqrt{a^2t}dw dr=a2t dw
则原积分可变为
1 2 π ⋅ 1 a 2 t ∫ − ∞ ∞ e − r 2 ⋅ c o s ( x a 2 t r ) d r \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2} \cdot cos(\frac{x}{\sqrt{a^2t}}r) dr\, 2π1⋅a2t 1∫−∞∞e−r2⋅cos(a2t xr)dr
由之前的积分
∫ − ∞ ∞ c o s b x ⋅ e − x 2 d x = π ⋅ e − 1 4 b 2 \int_{-\infty}^{\infty} cosbx \cdot e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi} \cdot e^{-\frac{1}{4}b^2} \, ∫−∞∞cosbx⋅e−x2dx=π ⋅e−41b2
可得
∫ − ∞ ∞ e − w 2 ⋅ c o s ( x a 2 t r ) d w = π e − x 2 4 a 2 t \int_{-\infty}^{\infty} e^{-w^2} \cdot cos(\frac{x}{\sqrt{a^2t}}r) dw=\sqrt{\pi}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}} \, ∫−∞∞e−w2⋅cos(a2t xr)dw=π e−4a2tx2
综上，原积分为
1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ e j w x d w = 1 2 a π t e − x 2 4 a 2 t \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot e^{jwx} dw=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}\, 2π1∫−∞∞e−a2w2t⋅ejwxdw=2aπt 1e−4a2tx2

定积分求解（1）cos(bx)*e^(-x^2)在负无穷到正无穷的积分相关推荐

matlab表示t从负无穷到正无穷,求cos(t 3π 4)乘刺激信号从负无穷到正无穷上的积分...
已知α是锐角,且tan[(π除4)+α]=2,求(sin2α乘cosα-sinα)除(sin2α乘cos2α) tan(α+π/4)=(tanα+1)/(1-tanα)=2(tanα+1)=2(1-t ...
基于蒙特卡洛法的定积分求解
基于蒙特卡洛法的定积分求解 0.摘要本文首先介绍了蒙特卡洛法的起源和应用,接着详细推导了基于蒙特卡洛法求解定积分的数学理论公式.然后进行相关的实验研究.本文的实验共有三个,分别为蒙特卡洛法可行性研究 ...
用C语言实现定积分求解的三种方法，梯形公式，辛普森公式，自适应辛普森公式
1.梯形公式: 梯形公式(trapezoidal rule)是一种求定积分的方法.它假定函数在区间上是一条直线,因此可以通过计算梯形的面积来估计函数的定积分 #include<stdio.h&g ...
定积分求解方法——换元积分法
换元积分法定积分换元积分法例题定积分换元积分法例题
定积分求解方法——分步积分法
定积分分步积分法分步积分法例题附[沃里斯公式] 分步积分法例题附[沃里斯公式]
c语言怎样写积分程序,C语言实现定积分求解方法
求定积分的方法有很多种,下面是我总结的几种比较常用的方法. #include #include #include #include #define N3 double fun(double x) { ...
C语言实现定积分求解方法
求定积分的方法有很多种,下面是我总结的几种比较常用的方法. #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h ...
在matlab中积分怎样表示,Matlab在积分中的应用.ppt
Matlab在积分中的应用 Matlab在微积分中的应用高等数学最基本的概念集中在极限.导数.积分.微分等几个部分,本章主要介绍Matlab在这几方面的应用一.极限.导数与微分 1.极限 limi ...
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？
清楚↑ 点击蓝字关注视学算法作者丨DBinary@知乎来源丨https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211 编辑丨极市平台极市 ...

定积分求解（1）cos(bx)*e^(-x^2)在负无穷到正无穷的积分

c o s b x ⋅ e − x 2 cosbx \cdot e^{-x^2} cosbx⋅e−x2 在负无穷到正无穷的积分

定积分求解（1）cos(bx)*e^(-x^2)在负无穷到正无穷的积分相关推荐

最新文章

热门文章