数学笔记29——反常积分和瑕积分
我们已经学习了有限区间上的积分,但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况仍无法理解。这就需要无穷积分和瑕积分来处理了,它们看起来十分有趣。
增长和衰减速率
通过上一章的内容,我们已经可以做出一些总结,在洛必达法则中,如果f(x) << g(x)且f,g > 0,那么当x→∞时,f(x)/g(x)→0;如果f(x) >> g(x) 且f,g > 0,那么当x→∞时,f(x)/g(x)→∞
反常积分
收敛和发散
反常积分是这样定义的:
从定义来看,也就是正常积分的上限N趋于∞。如果极限存在,它就是收敛的,否则就是发散的。
积分表示面积,在收敛的情况下,面积是有限的,如下图所示,面积最终将趋于定值:
在发散的情况下,面积是无限的,比如一条与x轴平行的直线。
计算反常积分
示例1:
也可以采用一种更简短的写法:
示例2:
在上限是∞的时候,1/x的积分是发散的。这似乎与直觉相反,虽然被积函数f(x) = 1/x随着x的递增而减小,但它的衰减速度还不够“快”,它仍然是发散的。
示例3:
到这里就可以结束了,如果我们还想继续探索一下,就要看看P的取值范围。首先p的值不能为1,当p < 1时,
当p > 1时,
对于该例来说,p < 1时是发散的,p > 1时时收敛的。
审敛法
我们通常对反常积分是发散还是收敛很感兴趣,然而计算极限往往令人沮丧,幸而我们了解增长和衰减速率,将被积函数替换成更快或更慢的函数,以此判断反常积分的收敛性,这种方法就是审敛法。
审敛法大概是这样描述的:
当x→∞且f,g ≥0时,
- 如果f(x) ∽ g(x),即f(x)/g(x)→1,则
- 如果g(x) >> f(x)且是收敛的,则也是收敛的
- 如果g(x) << f(x)且 是发散的,则也是发散的
示例1
判断 的收敛性
如果求解原函数,就需要动用三角替换,经过一些列转换后再求解极限,可能还要使用洛必达法则……现在尝试使用审敛法判断。
所以答案是发散的。
这里需要注意的是,相似的反常积分的下限是1。这么做有两点原因,第一点当然是分母不能为0;第二点是,当上限为∞是,下限不构成影响结果的主要因素。在反常积分中,我们关注的是趋于∞的尾端。将下限写为1仅仅是便于理解和书写,实际上可以写成大于0的任意数。
示例2
判断 的收敛性
结果是收敛的。
示例3
判断的收敛性
结果是收敛的,其中用到的衰减率是 1 ≤ x ≤ x2,- x2 ≤ -x
瑕积分
定积分的奇点
这很简单,
这个答案对吗?
我们熟知1/x2的图像,积分表示面积,那么它不可能是负数,一定是哪个环节出现了问题。
如果只计算x ≥ 0时的面积:
这个结果是无意义的,对1/x2在[0,1]上积分没有任何意义。换个角度看这个问题,假设积分下限是是一个无限接近0的数值,结果趋近于∞,这个积分是发散的。
在这个例子中,将0称为积分的奇点,对于不同的积分来说,奇点也不同。积分在奇点上是无意义的。
结论是,如果我们这计算时不注意积分的奇点,很容易导致计算错误。看来在今后的积分运算中又多了一条注意事项。
瑕积分的定义
将存在奇点的积分称为瑕积分,用数学符号表示就是:
需要注意的是a是从右侧接近0,这实际上和处理无穷的思路是一样的。
就是一个典型的瑕积分,奇点是0,结果是∞。
收敛和发散
与反常积分一样,我们关注的是瑕积分在奇点的收敛性。
当x→0+时:
当x→+∞时:
这里用红色的被积函数表示发散,绿色表示收敛,很容易对其进行计算。
可以通过图像直观地了解一下:
示例
判断的收敛性
看起来很简单,
当x→∞时,1/x2的积分是收敛的,所有结论是收敛。
真相确实如此吗?1/(x – 3)2的图像如下:
看起来没那么简单了,答案应该是发散才对。问题的原因就在于积分存在奇点,就是x = 3。一个简单的判定奇点判定法是当x = 3时被积函数没有意义。
等式右侧的第一个积分跨越了奇点,在奇点一节中提到过:积分在奇点上是无意义的,如果一个积分跨越了奇点,那么这个积分就是发散的。所以最后答案是发散。
综合示例
示例1
判断积分的收敛性
其结果是在-1和1之间波动,所以题目积分是不可积的。
更简单的方法是在0和∞之间,cosx的图像是来回摆动的,并未趋近于某个值,可以直接得出不可积的结论。
示例2
判断积分的收敛性
积分的奇点是0,需要判断这奇点上是否是收敛的。
先用分部积分求解,
极限是0·∞型,需要对其进行转换以便使用洛必达法则,
题目积分在奇点收敛于0,最终收敛于-4。
示例3
判断积分的收敛性
积分的奇点是0,积分跨越了奇点,需要分成两半:
题目积分在奇点收敛于0,最终收敛于6。
示例4
曲线f(x) = 1/x绕x轴旋转,求x在[1, ∞)上形成图形的表面积和体积。
上面的计算通过弧长计算表面积(弧长和表面积可参见数学笔记25——弧长和曲面面积),再利用审敛法求反常积分。这看起来没什么问题,但是有些繁琐。由于我们已经知道1/x在x→∞上是发散的,所以可以直接判断表面积也发散。
根据圆盘法(圆盘法可参见数学笔记17——定积分的应用2(体积))求计算体积:
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