有监督回归:约束条件下的最小二乘法
1.前言
前面介绍的最小二乘学习法,是众多机器学习算法中极为重要的一种基础算法。但是,单纯的最小二乘法对于包含噪声的学习过程经常有过拟合的弱点。如下图所示:
这往往是由于学习模型对于训练样本而言过于复杂。因此,本篇博客将介绍能够控制模型复杂程度的、带有约束条件的最小二乘学习法。
2.部分空间约束的最小二乘学习法
在有参数线性模型:
的一般最小二乘学习法中,因为参数{Θj}j=1->b可以自由设置,使用的是如下图所示的全体参数空间:
本篇博客中将要介绍的部分空间约束的最小二乘法,则是通过把参数空间限制在一定范围内,来防止过拟合现象。
在这里,P是满足P^2=P和P’=P的b*b维矩阵,表示的是矩阵P的值域R(P)的正交投影矩阵。如下图所示:
通过附加PΘ=Θ这样得约束条件,参数Θ就不会便宜到值域R(P)的范围外了。
部分统建约束的最小二乘学习法的解Θ’,一般通过将最小二乘学习的设计矩阵Φ置换为ΦP的方式求得的:
对于引言中的例子,如果我们采用了部分空间约束的最小二乘学习法,可以得到如下图所示:
虽然和引言部分使用了同一组数据,但是我在这里添加了一个条件进行约束,将及函数参数限制在cos(2.5x)和sin(2.5x)之内。
通过上面结果,我们也能看到,过拟合现象得到了一定的减轻。
注意:正交矩阵P通常是手动进行设置的,利用的是主成分分析法,正交投影矩阵P也可以基于数据进行设置。
3.L2约束的最小二乘学习法
部分空间约束的最小二乘学习法中,只是用了参数空间的一部分,但是由于正交投影矩阵P的设置有很大的自由度,因此在实际中操作起来是有很大难度的。还有一种很不错的方法值得参考——L2约束的最小二乘学习法。
如下图所示:
L2约束的最小二乘学习法的参数空间
L2约束的最小二乘学习法十一参数空间的原点为圆心,在一定半径范围的圆内(大部分是超球)进行求解。R表示的就是圆的半径。
3.1 拉格朗日对偶问题
3.2 拉格朗日对偶问题求解
这里之所以把朗格朗日待定因子λ变为λ/2,是为了乐曲计算域Θ相关的偏微分时产生的2。拉格朗日对偶问题的待定因子λ的解由圆的半径决定。如果不根据半径R来决定λ,而是直接指定的话,L2约束的最小二乘学习法的解Θ’就可以通过下式求得:
上式的第一项Jls(Θ)表示的是对训练样本的拟合程度,通过与第二项的“约束”相结合,来防止对训练样本的过拟合。
方法:对上述目标函数进行关于Θ的偏微分,并设为零,即可求得最小的训练损失。
L2约束的最小二乘学习法的解为:
在这里,I是单位矩阵,在L2约束的最小二乘学习法中,通过将矩阵Φ'Φ和λI相加提高其正则性,进而就可以更稳定地进行逆矩阵求解。因此,L2约束的最小二乘学习法也称为L2正则化的最小二乘学习法,其实我们刚才讲的“约束”项正是正则项,λ为正则化参数。
3.3 设计矩阵的奇异值求解
如果考虑设计矩阵Φ的奇异值求解:
L2约束的最小二乘学习法的解Θ’就可以像下式这样表示:
当λ=0时,L2约束的最小二乘学习法就与一般的最小二乘法相同。当设计矩阵Φ的计算条件很恶劣,比如包含非常小的奇异值Kk的时候,Kk/(Kk^2+λ)就会变成非常大的数值,训练输出向量y包含的噪声就会有所增加。另一方面,在L2约束的最小二乘学习法中,通过在分母的Kk^2中加入征得常数λ,使的Kk/(Kk^2+λ)避免变得过大,进而就可以达到防止过拟合的目的。
3.4 平移到高斯核模型
同理,对于下面的高斯核模型:
执行L2约束的最小二乘学习法的实例如下所示:
在这个例子里,带宽h设为0.3,正则化参数λ为0.1。通过加入正则项,使得过拟合现象得到很好地抑制。
4.模型选择与总结
4.1 总结
本篇文章,通过使用部分空间约束的最小二乘学习法或L2约束的最小二乘学习法,使得最小二乘学习过程中的过拟合现象得到了一定成都的缓和。
但是,我们不得不承认,这些方法都过分依赖于正交投影矩阵P和正则化参数λ的选择,在一定策划给你堵上制约了这些方法的实际应用。因此,为了使有约束条件的最小二乘学习法能够得到最好的结果,选择合适的P和λ至关重要。
另外,使用线性模型时,基函数的种类和数量的选择,以及使用核模型时核函数的种类等选择,也都需要进行优化。
对于高斯核的带宽和正则参数λ对学习结果的影响如下图所示:
4.2 模型选择
实际应用中,最常用到的是“交叉验证法”。
在交叉验证法中,把训练样本的一部分拿出来做为测试样本,不将其用来学习,而只用于评价最终学习结果的泛化误差。
具体而言就是按照下图的流程进行泛化误差的评价,通过运用交叉验证法,可以对繁华误差晶型较为精确地评估。
交叉验证法
交叉验证法的算法流程
4.3 交叉验证法的实例
同样,我们还是来研究高斯核模型:
带宽h∈{0.03,0.3,3};正则化参数λ∈{0.0001,0.1,100};分割的几何数m=5。
实验结果如下图所示:
交叉验证试验
结论:(h,λ)=(0.3,0.1)时,误差达到最小值。
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