约束条件下多变量非线性函数的区间算法.doc

一种求解约束条件下多变量非线性函数所有全局最优解的区间算法李爽，许才军，王新洲(武汉大学测绘学院，湖北，武汉，430079)摘要研究和实践中经常会遇到附有约束条件的非线性优化问题，对这类问题，通常采用随机搜索的方法来解决，但是，随机搜索法不能证明所得到的解就是全局最优解。本文给出了一种求解约束条件下非线性优化问题所有全局最优点和最优值的区间算法，认为该算法非常宜于解决优化问题，它能求出问题的所有全局最优解，给出解的包含区间，并很容易获得解的逼近误差，这是随即搜索等其它方法做不到的。理论分析和数值结果均表明，区间算法是稳定而可靠的。关键字区间算法；全局约束最优；非线性函数0概述研究和实践中经常遇到某些问题的模型参数，由于要考虑到很多具体设计或参数的物理意义等方面的要求，会受到某种约束或限制的情况。比如在地球物理反演当中，断层的长度和宽度不能为负值，甚至约束可能是非线性的，这就使问题成为附有约束条件的非线性优化问题。对这种问题的求解，目前用的较多的是遗传算法和模拟退火算法，但这两种方法由于采用随机搜索，不能保证每次运算都能得到全局最优解，对这种随机搜索的改进也只是提高了运算获得全局最优解的概率，不能达到准确无误的效果。本文提出一种求解该问题的扩展的区间算法，采用穷尽搜索原则，能够同时求出目标函数的所有全局最优解，解决了其他方法难以做到的问题。在区间运算中约定，是实数R上所有闭区间I的集合，是上的维区间矢量，是优化问题的定义域，那么RBA,，MIMX优化问题的一般表示为RKJXHIGFJIXX,10,N定义1函数R，设在的定义域内，若对任意，都有MFMIXFXX}{FF则称为函数的包含函数1。IFM定义2如果，，则的中点为，宽度为IA,BAA2/BAID；如果，，，则的中点为ABAWMT1MII，宽度为。T1,IDIIDAX1IIW定义3如果，，则定义表示区间A的上界，定义INFA表示I,BASUP区间A的下界，即SUPAB，INFAA。其它相关的定义可参见文献2。1算法设初始域为，分别是的包含函数，是以为元素的区间XHGF,HGF,L,RYY列，其中是分割得到的子域、是子域上目标函数的极小值，是子YY,21R域的标志矢量，的分量取值0或1，若，表明到目前为止，对任意，还不R0IRX能判断是否满足或，称是未定的；若，则表示，对任意XGIXIYI，都满足和。表示到目前为止在可行点的最小值。把多维XHFF区间向量称为盒子(BOX)。本文得到国家自然科学基金项目(编号49904001)以及高等学校骨干教师资助计划资助2123李爽(1971)，女，博士生。现主要从事大地测量地球物理反演和优化理论的研究，EMAILGEO_LISHSINACOM11穷尽准则区间算法是使穷尽准则得以实现的主要工具，其它算法迫于无法解决该准则的计算量才转而求助随机搜索。穷尽准则在区间算法中有两次体现。体现1初始化域被分割，测试每个子域是否满足等式和不等式约束。假设是分XY割产生的一个子域，计算和，判断是否KIYGI,21,RKIYHI,2,1,可行。若可行，则保留至L中；不可行，则舍弃。若不能做出是否可行的判断，则Y被分割，以至进一步判断的子域是否可行。把中的子域按照不递减的次序进行排LY列，以使得算法总分割第一个未定(无法判断是否可行)的子域，而且，在这个子域上，目标函数具有最小的下界，这利于优先求取全局最小点。体现2用表示中的所有元素，对它们进行中点测试，舍弃中满足,RZZL的不可能包含最优解的子域。ZF12计算步骤假设目标函数的参数个数为，用表示一个已知的可行点，给定松弛参数，MX01如果，则原约束优化问题被解决，如果，则表示通过把原问题的等式约束0101用不等式约束所代替，解决原XHJX,HJ,XXRKJ问题的松弛问题。计算步骤为步骤1设；Y步骤2如果存在，取，否则；XXFF步骤3设，；0,,1RRINYFY步骤4初始化区间列；YL步骤5在方向分割，得到，并使},1,{MWIVI21V、，然后从中删除的纪录，但保留作为的标志；21VY,R21V、步骤6对,J1)设；RRJR12)计算；INFJJFV3)如果，转至⑺；J4)对于，如果，计算。若，转至⑺；若KI,0IJIVG0JI，则；01VGI1JIR5)对于，如果，计算。若，转至R,2,IRJIHJIV⑺；若，则；1JIHJI6)若，则，，并对进行单调性测,JJVMDC,INJCFFJ试，若测试后未被删除，则把按第二个元素不递减的顺序存入；,JVL7)结束循环。J步骤7若为空，则步骤13，终止计算，表明初始域内没有可行点；L步骤8指定的第一个元素为；,RYY步骤9中点测试删除中满足的所有元素；ZF步骤10把的第一个元素指定为；,步骤11如果终止条件成立，转至步骤12，否则，转至步骤5；步骤12终止时对中的，有两种可能LLZ,11)如果没有标志矢量，则表明，或者不能判定可行域是否为空，或者如1,R果已知可行域不为空，能够得出，；DILZDX1FY2)如果存在标志矢量，则能够得出，，,0ILZX1；FY步骤13计算结束。13收敛条件设是上述算法第次迭代时的区间列，是其长度，即元素个数，是NLNNLNLN,1中的所有区间，，在中，的值被表示为，的值被表示为。ILIZU1LYNYFF对任何，对于的包含，假设当时，XIYHGF,HGF,0YW，，0FW0Y(1)成立，即都是连续函数。还假设，在可行域的内部存在一个点列，满足当HGF,DNX时有N(2)XX引理1设是算法产生的区间序列，，那么当时，1NYNYW。0NW证明假设初始区间是，其边长数是，是所有边长中的最大值，则满足M的所有区间的数量可由数列算出，即至多有2/,1N12M个。满足的区间的数量至多个，也就是有限个，由于MN2/4/WY是零序列，所以，对任意的，只有有限个盒子的宽度大于等于。1/K0因此，可以得出，任给一，存在，使得对任意，总有。下N0NNYW面用反证法，假设对，存在，使得对任意，，这说明存在000的一个子列，并且对，有。这与前面只有有限个盒1NYVKY,1VVKYW子的宽度大于等于相矛盾。所以引理得证，当时，。N引理2设为上述算法的初始区间，松弛参数，(1)、(2)两式成立，则X是嵌套序列，并且，即；当，NUNUD1D，，↘。FYFNNF证明从算法本身可直接得出是嵌套序列，，，和UNFYNNF。顾及对于，和引理1，能够得出NF1LI,INZWY当，(3)0首先证明。对所有，有成立。根据(3)，FYNNLI,1NIZYFYF当时，有，再根据(1)，有。由于，所以0YWNNYF。用假设法证明，假设，根据，则有FYNNFFFYN，由此得出和，即对足够大的，将不00FSUPFNN是可行域，应该已经被算法在中间的处理中舍弃掉。所以前面假设不成立，得F证。下面证明↘。由和足够得出。设是满足NFNFNF1FNNX(2)的点列，是的子