【MATLAB】求解约束条件下的目标函数最值(fmincon用法解析)
【MATLAB】求解约束条件下的目标函数最值(fmincon用法解析)
- 一、简介
- 二、fmincon()的基本形式与参数
- 三、约束条件类型与参数写法
- 1.线性不等式约束(参数写法)
- 2.线性等式约束(参数写法)
- 3.非线性约束(参数写法)
- 四、例题
- (1)线性不等式约束下求最值示例
- (2)线性不等式和等式约束条件下求最值示例
- (3)非线性约束下求最值示例
- 五、总结
一、简介
Matlab 的函数 fmincon 用来求最小约束非线性多变量函数,是一个非线性编程求解器,算出指定的问题的最小值。
注: fmincon 同样可以用来求约束条件下的最大值,主要将目标函数取反(前面加一个负号)即可。
二、fmincon()的基本形式与参数
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
输入参数:
- fun 是目标函数,注意需要单引号,或者@,(即写为符号函数);
- x0函数fun参数值的初始化;
- 参数值的线性不等式约束 A, b;(A * x <= b)
- 参数值的等式线性约束 Aeq, beq; (Aeq * x = beq)
- 参数值的下界和上界 lb, ub
- 使用 options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。
- 非线性约束nonlcon,其参数值一般为约束函数。如果没有非线性不等式或等式约束,请设置 nonlcon = []。
输出参数:
- X 输出最优参数值
- Fval 输出 fun 在X参数的值
- Exitflag 输出fmincon额外条件值
fmincon 求解函数的基本形式:
三、约束条件类型与参数写法
约束条件下的函数极值有是三种情况
(1)线性不等式约束;
(2)线性等式约束;
(3)非线性不等式和等式约束;
1.线性不等式约束(参数写法)
线性不等式约束条件如下:
将不等式化为矩阵形式:
fmincon函数的参数可以确定为:
A = [1,2; 3,4; 5,6];
b = [10; 20; 30];
2.线性等式约束(参数写法)
线性等式约束条件如下:
同理转换为矩阵后,可知约束参数为:
Aeq = [1,2,3; 2,4,1];
beq = [10; 20];
3.非线性约束(参数写法)
非线性约束条件如下:
确认为参数时,需要设置为函数形式、。
function [c,ceq]=mycon(x)
c=-x(1)^2+x(2); %此处不要忘记将不等式改成不等式<=0的标准形式
ceq=-x(1)-x(2)^2+2;
注:函数调用时,nonlcon 参数值为 ‘函数名’
四、例题
(1)线性不等式约束下求最值示例
以上是关于求目标函数
f=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2f=100 *(x_2-x_1)^2+(1-x_1)^2f=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2
在线性约束 x1+2x2≤1x_1+2x_2\le1x1+2x2≤1 条件下的最小值,结果如下:
目标函数:
function f = fminx(x)f = 100 * (x(2) - x(1)).^2 + (1-x(1)).^2;
end
fmincon函数的使用:
[x,fval,exitflag] = fmincon(@(x) fminx(x),[0,0],[1,2],[1])
结果:
x =0.3363 0.3319fval =0.4425exitflag =1
注:结果含义为 在x1=0.3363,x2=0.3319时,取最小值:y=0.4425x_1=0.3363, x_2=0.3319时,取最小值:y=0.4425x1=0.3363,x2=0.3319时,取最小值:y=0.4425
(2)线性不等式和等式约束条件下求最值示例
目标函数: f=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2f=100 *(x_2-x_1)^2+(1-x_1)^2f=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2
约束条件:
这次使用目标函数为匿名函数的方式,一步到位:
fun=@(x)100*(x(2)-x(1))^2+(1-x(1))^2;
x0=[0,0];
A=[1,2];
b=10;
Aeq=[3,4];
beq=20;
[x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
结果为:
x =2.8511 2.8617fval =3.4378exitflag =1
(3)非线性约束下求最值示例
上面两题只有目标函数是非线性的,如果其约束条件也是非线性的,我们又该怎么办呢?
示例1:
目标函数求值代码:
fun=@(x)x(1)^2+x(2)^2+12;
x0=rand(2,1);
A=[];
Aeq=[];
b=[];
beq=[];
lb=[0,0];
ub=[];
exitflag=1;
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon')
非线性约束条件:
function [c,ceq]=mycon(x)
c=x(1)^2+2*x(2);
ceq=5*x(1)-4*x(2)^2-20;
结果为:
x =1.24710.0000fval =13.5552exitflag =-2
示例2:
目标函数为: fun=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2fun = 100*(x_2-x_1)^2 +(1-x_1)^2fun=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2
约束条件:在以(1/3,1/3)(1/3,1/3)(1/3,1/3)为圆心,1/3 为半径,0≤x1≤0.5,0.2≤x2≤0.80 ≤ x _1 ≤ 0.5 , 0.2≤x_2≤0.80≤x1≤0.5,0.2≤x2≤0.8 的边界约束
function f=fun1(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
endfunction [g,h]=fun2(x)
g=(x(1)-1/3)^2+(x(2)-1/3)^2-1/9;
h=[];
end[x,y]=fmincon('fun1',[1/3,1/3],[],[],[],[],lb,ub,'fun2')
结果如下:
x =0.5000 0.2500
y =0.2500
五、总结
非线性规划求最值的fmincon函数其实和线性规划的improg大同小异,关键是对非线性约束条件的把握,即nonlcon,以及option(一般情况下我们不用管,默认值就可以了,有需求具体查阅使用即可)。
参考博客|:
https://blog.csdn.net/qq_52753078/article/details/121244164
https://blog.csdn.net/qq_36932020/article/details/98670486
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