高斯消元法！

一、高斯消元法 Gaussian Elimination

高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个常用算法，常用于求解线性方程组和矩阵的逆。

本程序的运行效果：

1、高斯消元法的动画演示

2、高斯列主元消元法的动画演示

列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法，列主元素消去法计算基本上能控制舍入误差的影响，其基本思想是：在进行第 k(k=1,2,...,n-1)步消元时，从第k列的 akk及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素akk的位置上，再进行消元。

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二、高斯消元法的实用价值

1、求解线性方程组

废话。

2、求逆矩阵（矩阵的逆）

高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。设A 为一个N * N的矩阵，其逆矩阵可被两个分块矩阵表示出来。将一个N * N单位矩阵放在A 的右手边，形成一个N * 2N的分块矩阵B = [A,I] 。经过高斯消元法的计算程序后，矩阵B 的左手边会变成一个单位矩阵I ，而逆矩阵A ^(-1) 会出现在B 的右手边。
假如高斯消元法不能将A 化为三角形的格式，那就代表A 是一个不可逆的矩阵。
应用上，高斯消元法极少被用来求出逆矩阵。高斯消元法通常只为线性方程组求解。

3、求矩阵的秩

高斯消元法可应用在任何m * n的矩阵A。在不可减去某数的情况下，我们都只有跳到下一行。以一个6 * 9的矩阵作例，它可以变化为一个行梯阵式：

1 * 0 0 * * 0 * 0
0 0 1 0 * * 0 * 0
0 0 0 1 * * 0 * 0
0 0 0 0 0 0 1 * 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0

而矩阵中的 *' 是一些数字。这个梯阵式的矩阵T 会有一些关于A的资讯：
A 的秩是5，因为T 有5行非0的行；
A 的列的向量空间，可从A 的第1、3、4、7和9列中得知，其数值在矩阵T 之中；
矩阵中的 *' 表示了A 的列可怎样写为列中的数的组合。

三、高斯消元法与列主元消元法的代码

1、高斯消元法的C#源代码

/// <summary>
/// 高斯消去法求解线性方程组
/// </summary>
/// <param name="a"></param>
/// <returns></returns>
public static Matrix Gaussian_Elimination(Matrix a)
{Matrix x = new Matrix(a.Row, 1);//消元计算  for (int k = 0; k <= a.Row - 2; k++){for (int i = k + 1; i <= a.Row - 1; i++){double lik = a[i, k] / a[k, k];for (int j = k + 1; j <= a.Row; j++){a[i, j] = a[i, j] - lik * a[k, j];}a[i, k] = 0.0;}}//回代求解  for (int i = a.Row - 1; i >= 0; i--){double sum = 0;for (int j = i + 1; j <= a.Row - 1; j++){sum = sum + a[i, j] * x[j];}x[i] = (a[i, a.Row] - sum) / a[i, i];}return x;
}

2、高斯列主元消元法的C#源代码

/// <summary>
/// 列主元高斯消去法求解线性方程组
/// </summary>
/// <param name="a"></param>
/// <returns></returns>
public static Matrix Gaussian_Column_Principal_Elimination(Matrix a)
{Matrix x = new Matrix(a.Row, 1);for (int k = 0; k < a.Row - 1; k++){//选主元[这一列的绝对值最大值]  int max_ik = 0;double ab_max = float.MinValue;for (int i = k; i < a.Column - 1; i++){if (System.Math.Abs(a[i, k]) > ab_max){ab_max = System.Math.Abs(a[i, k]);max_ik = i;}}if (ab_max < float.Epsilon){throw new Exception("除0！");}else if (max_ik != k){slides.Add(Slide(a, x, a, max_ik, k, 1));// 交换  for (int j = 0; j < a.Column; j++){double temp = a[max_ik, j];a[max_ik, j] = a[k, j];a[k, j] = temp;}}//消元计算  for (int i = k + 1; i < a.Row; i++){double kk = a[i, k] / a[k, k];for (int j = k; j < a.Column; j++){a[i, j] -= kk * a[k, j];}}if (System.Math.Abs(a[a.Row - 1, a.Row - 1]) < float.Epsilon){throw new Exception("除0！");}}// 回代求解 for (int i = a.Row - 1; i >= 0; i--){x[i] = a[i, a.Column - 1];for (int j = i + 1; j < a.Column - 1; j++){x[i] -= a[i, j] * x[j];}x[i] /= a[i, i];}return x;
}

3、动画显示源代码

暂略，赞加。：）

四、高斯消元法的性能

1、高斯消元法的算法复杂度

高斯消元法的算法复杂度是O(N^3)；这就是说，如果系数矩阵的是N ×N，那么高斯消元法所需要的计算量大约与N^3成比例。

2、高斯消元法的局限性

高斯消元法可用在任何域中。
高斯消元法对于一些矩阵来说是稳定的。
对于普遍的矩阵来说，高斯消元法在应用上通常也是稳定的，不过亦有例外。

除0！

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