#10010 「一本通 1.1 练习 6」糖果传递 (数学+贪心)

题目描述

原题来自：HAOI 2008

有 n个小朋友坐成一圈，每人有 ai 颗糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一颗糖果的代价为 1 。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入格式

第一行有一个整数，n表示小朋友个数；

在接下来 n行中，每行一个整数。

输出格式

输出使所有人获得均等糖果的最小代价。

样例

样例输入

样例输出

数据范围与提示

对于 30% 的数据，n<1000；

对于100% 的数据，n<10^9，保证答案可以用64 位有符号整数存储。

题目链接：https://loj.ac/problem/10010

对于这道，emmmm据说是小学奥赛题，我看博客半小时才弄通，最后发现是自家会长的博客，O(∩_∩)O哈哈~

跪拜大佬：https://blog.csdn.net/qq_41890797/article/details/90244567

我对这道数学题的思路：

1.设未知数； 2.求公式；3.求中位数的负数；^_^ha大废话，显然觉的这道题有很多值得深入挖掘的性质，比如每个人最终的状态求个平均值就好了。那么先不考虑算法（好像也不涉及算法），而是研究一波题面。
1.显然，代价的计算是一个麻烦的事情。我认为代价的计算应该是与路径有关，而不是与人有关。也就是说，我们关心的是两个人之间的路径上糖果移动的情况，可以设Xi：Ai—>Ai+1为糖果的路径转移。
2.我又发现，一条路径上糖果的移动方向只有一个，可以用正负来表示。接着我们还发现，只要知道了一条路径上糖果的移动情况，那么其他路径也是可以推出来的。
这时，公式已经出来了，也就是求出平均数然后列出每一条路径的糖果运送情况得到的，得到固定值Si的中位数，让Xn为中位数的相反数即可；

每人每次传递一个糖果代价为1

推公式过程

本题用到递推和贪心的算法思想，偏重对数学思维的检测。
（1）.需要注意的题中条件：
<1>.首先要明确：n个人围成环坐；
<2>.只能左右传递；
<3>.使得每个人得到均等的饺子ave；
（2）.找出递推式
<1>关注的每两个人之间的路径上饺子移动的情况。
<2> 设第i个人会给第i+1个人xi个糖果（带符号）即下图：那么 ai-xi+xi-1=ave;

1 2 3 4
初始值： 1 2 5 4
最终值： 3 3 3 3
移动情况：-2 -1 2 1

<3>将所有的式子列出来然后每一个做一个前缀和:那么xn−xi=∑ai−ave。
<5> 变形：xi=xn−（∑ai−ave）。（（∑ai−ave）为一个常量，简写为k）
<4>找到递推式，要求∑|xi|最小实际上就是要求∑|xn−k|最小。利用绝对值的几何意义，那么xn取这些常量k里的中位数时，愤怒值有最小值.

上代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e6+10;
int a[M],s[M];
int main()
{int n;ll sum=0;scanf("%d",&n);for(int i=1; i<=n; i++){scanf("%d",&a[i]);sum+=a[i];}ll ave=sum/n,ans=0;for(int i=1; i<=n; i++)s[i]=(a[i]-ave)+s[i-1];///减平均值后的前缀和sort(s+1,s+1+n);///为求中位数for(int i=1; i<=n; i++)ans+=abs(s[i]+(-s[(n+1)>>1]));///找（s[(n+1)>>1]为中位数）的负数printf("%lld\n",ans);return 0;
}