数论欧几里得与扩展欧几里得

欧几里得算法：

求a，b的最大公约数
gcd（a,b）= gcd(b,a%b)

ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法：

如果a，b是整数，一定存在x和y使得ax+by=gcd（a，b）
也就是ax+by=m的话,m一定是gcd（a，b）的倍数
假设当前我们在求的时a和b的最大公约数，而我们已经求出了下一个状态：b和a%b的最大公因数，并且求出了一组x1和y1使得： b * x1+(a%b) * y1 = gcd
结论： x = y1 , y = x1 – a / b * y1
得到的是特解，如何由特解推出其他的整数解：
对于关于x，y的方程a * x + b * y = g 来说，让x增加b/g，让y减少a/g，等式两边还相等。
对于ax+by=c的一组解（x0,y0）,则它的任意整数解都可以写成（x0+k * b1,y0+k * a1）其中 b1 = b / gcd(a,b), a1 = a/gcd(a,b).
我们就可以用 (x0 % b1 + b1 ) % b1得到它的最小正整数解了
此处x0= x * c / gcd(a,b)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>using namespace std;int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法
{if(b==0){x=1;y=0;return a;  //到达递归边界开始向上一层返回}int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);int y1=y;    //把x y变成上一层的int x1=x;y=x1-(a/b)*y1;x=y1;return gcd;     //得到a b的最大公因数
}

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